abd"- -f- acd' -f- bcd

Cette fonction est symétrique, car elle ne change point, quelque permutation qu'on fasse entre les quantités a, b , c, d y et elle n'est qu'un cas particulier de la fonction a^h^d + etc. ,'dont l'expression est

Pour en avoir la valeur , on fait /i = a, p = j , ^ = ! ,

DES ÉLÉMEN'S d'aLGÈBRE. 4^

dans la formule ci-dessus, dont on ne prend que la moitié j à cause que p ^= q '/û vient

cherchant ensuite les valeurs de 5,, «Sa, S3, S^, et observant que le second terme manque dans léquation proposée, on trouve — 4'' po"f réiultat.

On arrive immédiatement à ce résultat, en remarquant que la fonction a'^bc + etc. est équivalente à

a {abc -\- abd -f- acd -f- bcd) — abcd\

-+- b {abc -\- abd + acd + bcd) — abcd\

-f- c {abc 4- abd -f- acd -f- bcd) — abcdÇ 4- d {abc ■+- abd -f- acd -\- bcd) — abcd) (a -| Z, -| c+f/) {abc -f abd + acd-\-bcd) — ^abcd,

et se réduit par conséquent a — 4^bcdj puisque

a-\-b-^c-{-dz=o.

Le dernier terme de l'équation en u étant égal à

^{ab + cd) {ac-{-bd) {ad-\-bc),

a pour développement

__ f a^bcd + ab\d -\- abc^d + abcd^ -ï \ -}- a'^b'c-' -f a'b'd'^ -f- a^c'd" -f- 6=c c?"^ j '

La valeur de la première ligne se déduirait de l'expression générale des fonctions de la forme a'^b^c'id' -f- etc. en y faisant n=.'3,pz=q = r= 1 ; mais on voit bien aisément qu'elle n'eat autre chose que

abcd {a^ -^ b^ -^ c^ -j- d') = rS^ — — spr.

La seconde ligne aura pour expression, d'après ce qui précède ,

i {SI — 5S,S, + 2^6 ) = — 9.pr 4- 9' ; réunissant ces deux parties, et changeant leurs signej.

4a COMPLÉMENT

on trouvera -}- 4pr — q^ pour le dernier terme de l'équation cherchée, qui sera par conséquent

u^ — pu^ — 4ru -^ 4p^ — ^* = o :

mettant z + p au lieu de u , il viendra

Soient maintenant 2,', z", z", les trois racines de cette équation , qui est la réduite , on aura

{a-\-c—b—dy=4z"\ d'où \a-i-c—b—d~±Q\/7 (^a+d-'b—cy=4z"'} [a-{-d—b—c=±Q \/z'\

Les trois dernières équations étant ajoutées alternativement avec l'équation a-f-6-|-c-f-c? = o, qui résulte de l'évanouissement du second terme, donneront, en ne prenant d'abord que le signe supérieur dont chaque radical est affecté ,

a-^b= \/7, a+c= V7', a -\' d=i \/^ ; mais la somme de celles-ci , étant écrite dans la forme

za-\-a-{-b-\-c '\-dz= v/7+ v/2^+ \/7', se réduit visiblement à

d'où , par ce qui précède , on conclut sans peine

d=l{^\/z'-.\/z:'+\/z''); et en prenant les signes inférieurs des radicaux^ on

DES ÉLÉMESS D'ALGÈBRE. 4^

aurait eu

a = \{— \/7— VU'— V7'), b = ii- /£+ \/£+ V^^').

Ces huit valeurs comprennent toutes les combinaisons qu'on peut faire des deux signes dont chaque radical est affecté ; cependant on n'en doit employer que quatre. Cette espèce d'ambiguïté tient à ce qu'on n'a pas

déterminé immédiatement les fonctions

a-\-b — c — d, etc. ; mais leur quarré, qui reste le même , quel que soit leur signe et celui du cofiicient q , puisque l'équation en z ne contient que le quarré de ce coeflicient. Il suit de là que les racines trouvées doivent également satisfaire au cas où q est négatif comme à celui où il est positif; en sorte que ces huit valeurs réunies sont les racines de l'équation résultante du produit des deux suivantes ,

x^ -f- p.r* -f- çx -f- ;• = o , x^ -^ px* — qx -{-r^^ o, qui ne diffèrent que par le signe de q •, et que par conséquent le système de valeurs, qui répond à la première équation, doit donner la somme des produits des racines prises trois à trois avec un signe contraire , égale à une quantité positive, et l'autre doit donner cette même somme égale à une quantité négative.

Ce caractère servirait à faire reconnaître l'ensemble des valeurs qui conviennent à chaque équation en particulieri mais on y arrive plus simplement en multipliant entre eux les premiers membres des trois équations

a -i- b — c — f£z=±:2 \/z' , , a -i- c -^ b — d = ^zV'V' , a+d'-b — c=::t2\/7';

car en réduisant les fonctions symétriques qui composent le produit, on trouve que sa valeur est égale à — Sq] il faut donc , dans tous les cas , prendre les signes des radicaux tels que leur produit soit d'un signe contraire à celui du coefficient q; mais comme pour déterminer , d'après cette condition , le système de valeurs qu'il convient d'employer, on doit, suivant la remarque de M. Bret ( Coirespondance sur l'École Polytechnique, t. II, pag. 218) , avoir égard à la nature des racines z\ z", z", de la réduite,, je renvoie cet examen aux articles dans lesquels je discuterai la nature des racines des équations du troisième et du quatrième degré.

21. La méthode par laquelle ces équations ont été résolues précédemment est due à Lagrange (y>/em. de l'Académie des Sciences de Berlin , années 1 770 et 1771 ); mais, pour l'exposer, j'ai suivi la marche tracée par M. Laplace , dans le Journal des Séances de l'École Normale. (Leçons, t. II, pag. 3o2, 1'* édition, ou Journal de V École Polytechnique , 7' et 8' cahiers , pag. 46). Quelque féconds que soient les principes de cette méthode, elle n'a pu s'étendre aux équations générales des degrés supérieurs au quatrième , parce que la fonction dés racines qui sert à les déterminer dépend d'une équatioil plus élevée que la proposée, ainsi que je vais le montrer en présentant l'extrait delà i3* note de la seconde édition du Traité delà résolution des équations numériques , par Lagrange.

En désignant par x , x", x'",. . . x^'"^ (*), les racines de l'équation générale du degré m, il cherche une fonc-

(*) Ici, et dans tout ce qui suit, la notation (m) désigne U nombic des i^cccns que doit poitei la lettre Jafâi<^wrç.

DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. ^3 .

tion de ces racines de la fomie

X + «JC" + «^X* 4- «m-l^^Cm) ^

dans laquelle «c est l'une quelconque des racines de l'équation y"* — 1 r=o, autres que l'unité positive. Il est aisé de voir que cette expression renferme celles qui ont été trouvées ci-dessus pour le troisième et le quatrième degré i car elle devient, dans le premier de ces cas,

et il suffit d'y changer x" en a , x'' en è et x' en c , pour ea faire la valeur de z obtenue page 34.

Lorsqu'il s'agit du quatrième degré , il faut remarquer que l'équation^* — 1= o , outre -\-i et les racines imaginaires -f- y — 1 et — y — 1 , a encore la racine — 1, qui , donnant «^ = 1 , change l'expression

x' + ctx" -}- X^x" -f- «'x"

en X -j- X — X — x'^ ,

forme qui s'accorde avec ce qu'on a trouvé pag. 38. On voit ici que la présence de la seconde racine réelle de l'équation y^ — 1=0, simplifie la forme de la fonction cherchée ; et il arrive quelque chose d'analogue toutes les foLs que l'exposant du degré de l'équation proposée n'est pas tin nombre premier.

32. Supposons d'abord que le nombre m soit premier, et prenons 5 pour exemple; la fonction cherchée sera alors

x 4- «x" -f «'x" -f- «^x'' + cc^x\

m étant une des racines imaginaires de l'équation

y' — 1 =0. La formation des diverses valeurs de cette fonction s'opérera en y effectuant toutes !&> permutations possibles entre les cinq racines x , x", x'*, x'^, x%

OU bien en laissant ces lettres dans le même ordre, mais en permutant de toutes les manières possibles leurs coefliciens i , a, «^, et'\ «+ , ou enfin , comme i = «°, en permutant seulement les cinq exposans

dont la lettre u. est successivement aiFectée.

Par chacune de ces opérations on trouvera les mêmes valeurs au nombre de 1 .2. 3. 4- 5 = 120 (^Elém. iSg); mais ces valeurs peuvent se partager en groupes , ayant des relations qui en facilitent la recherche, ainsi qu'on va le voir.

Posons premièrement l'équation

et multiplion,s successivement ses deux membres par et, «% c6^) v}y en observant que «^"^" = «" (i6) , nous aurons , en y comprenant la première valeur ci-dessus , un gi'oupe composé des cinq permutations suivantes :

t! — x' + «x" + ct'-cd" 4- «^x'* + «+x*

u\: =z ux' + u-x" + «'x'" H- «^x'^ + x\

uH' = a^x + «V + cc^x'" -\- x'" + «X%

uY ~ c^^x 4- «^x" + x' + «-ï^" + «'-^',

uh' =z u^x' + x" -h 0^^^" + ''"x"' + '*'-^-'i

et par quelque puissance de « qu'on multiplie l'une quelconque de ces équations , on n'en saurait reproduire de nouvelles.

Il est facile d'apercevoir que les exposans o, i, 2, 3, 4/ de la lettre a., quoiqu ayant changé de place , ont toujours conservé dans leur succession le même ordre (si l'on regarde la dernière place comme contiguë à la première) et que , d'après ce caractère qui lie toutes ces permutations entre elles , chacun des exposans a occupé successivement toutes les places.

Cela posé , si on met à part, dans Tensemble des 120 permutations, toutes celles où«°=i occupe la première place, et qui, différant par les arrangemens qu'on peut faire des quatre autres exposans , sont au nombre de 1.2.3.4 = 24, chacune de ces permutations, par la suite de multiplications indiquées ci-dessus, formera un groupe de cinq permutations toutes différentes entre elles, dans chaque groupe, et d'un groupe à l'autre, puisque dans ce dernier cas l'ordre général de succession des exposans sera interverti par le dérangement opéré dans celui des quatre derniers.

Si donc on désigne par t', t" , t" . . . .t^^+), les 24 permutations où M° occupe la première place , les valeurs dea 120 permutations seront comprises dans 24 groupes, savoir, le précédent et ceux que donneraient f", t",, . . t^^^^ ; de même l'équation de laquelle dépend la fonction cherchée , se partagera donc en 24 produits composés chacun de cinq facteurs de la forme

et ne contiendra par conséquent que des puissances de t , dont l'exposant sera multiple de 5, ce qu'on peut voir aussi en observant qu'elle doit rester la même lorsqu'à la place de t on y substitue it"t, valeur telle que (^a"ty:=t^. Faisant donc t^ = û, l'équation en d ne sera plus que du degré 1.2.3.4 = 24.

Cette dernière équation peut elle même se décomposer en six facteurs qui dépendent de nouveaux groupes de permutations qu'on formera de la maniera suivante, dans les 24 permutations où u° occupe la première place. En laissant de côté ce terme, si, dans les quatre qui restent on remplace « successivement par chacune des autres racines imaginaires de l'équation y^ — 1 , ce qui revient à changer « en »", ti\ «^ (i6).

en ayant soin de réduire tous les exposans de a, lors-^ qu'ils surpassent 5 , on obtiendra les quatre permutations suivantes :

si l'on n'écrit que les exposans de u.

Traitant de même toutes les permutations des quatre exposans i, 2, 3, 4> où 1 est à la première place, et qui, ne diiFérantque par l'arrangement des trois autres, sont au nombre de 1 . 2 .3 = 6 , on formera cinq nouveaux groupes composés chacun de quatre permutations , toutes différentes entre elles , et d'un groupe à l'autre , parce qu'en plaçant ces groupes à côté les uns des autres à la suite du précédent, on aura, sur la première ligne, l'exposant i accolé aux 6 arrangemens qu'on peut faire des nombres 2,3,4» ^^^ ^^ deuxième ligne , 2 ^ccolé aux 6 arrangemens qu'on peut faire des nombres 4, 1 >3, et ainsi de suite, ce qui n'offre aucune répétition.

Désignant donc par 6", 6", 6'^, les trois quantités dérivées de

ê' — (x' 4- ex" -j- ctV + u'x'" + u^x'f en y changeant successivement et en at'^, a?, a^, on aura pour déterminer les quatre valeurs de ô comprises dans le premier groupe indiqué ci-dessus , l'équation du quatrième degi'é

(<l J') (ô r ) (0 — 0") (9 - fl'O = o> dont les coefTiciens , fonctions symétriques des quantités e', e", 6", fi'", étant rapportés aux racines x , x" , etc. de l'équation proposée , n'auront qu'un nombre de valeurs égal à celui des groupes.

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 4g

En effet , parmi les vingt-quatre permutations dont ces racines sont susceptibles dans l'expression de 9, celles qui n'opéreraient que des échanges entre les valeurs de Ô appartenantes au même groupe, ne produiraient aucun changement dans les fonctions symétriques <3e ces quantités, (^uant aux autres peruiutafions, elles ne feraient qu'échanger les groupes entr'eux; car une valeur de ô appartenante à un groupe quelconque, ne peut devenir celle d'un autre, sans que toutes les valeur» composant le premier ne deviennent celles du second, puisque les valeurs d'un même groupe se déduisent toutes de l'une quelconque d'enlr'elles par le changement de tt en «', «' et «e'.

Soient donc 7", 7",. . . . 7"^', les coefTiciens de la même puissance deÔ, dans les équations du quati'ième degré qu'on tirerait des six groupes de valeurs dont il est susceptible; ces coefliciens ne pouvant tout au plus que s'échanger eutr'eux dans les diverses permutations des racines x', x", etc. , l'équation du sixième degré

t)ù T désigne l'inconnue, et qui ne comprend que des fonctions symétriques des 7' accentués, demeure toujours la même, et peut ainsi se former rationnellement par les coefTiciens de l'équation proposée.

Quand l'un quelconque des coefliciens de l'équation du quatrième degré en Ô que je représenterai par

Ôi r93^ rô^ — etc. = o,

«st connu, on peut obtenir tous les autres, en observant que cette équation doit être un diviseur de celle cju'on formerait avec les vingt-quatre valeurs de Ô, combinées toutes ensemble, et dont les coefliciens, ûéce*^ Compl. des Élem. d Alg. ^

5q complément

sairement fonctions symétriques des racines .r, x\ etc. , s'exprimeraient par ceux de la proposée. Pour cela, il suffit de diviser la dernière équation en 6 , par celle du quanième degré , et d'égaler séparément à zéro les quatre termes du reste de la division {Elém. 210): on formera entre T, t/, etc. , des équations au moyen desquelles on pourra déterminer trois de ces coelhciens, en fonctions rationnelles de celui qui reste , de T, par exemple. L'équation finale que l'élimination des autres fournirait, serait nécessairement vérifiée par la valeur de 7' trouvée immédiatement. ^

La détermination de la fonction t' = V'^ , dépend donc en dernière analyse de la résolution d'une équation du sixième de>2;ré en T, suivie de celle d'une équation du quatrième degré en 6. Tel est l'état le plus simple auquel on ait pu jusqu'ici ramener la resolution de l equation générale du cinquième degré.

23 II est bien aisé d'étendre au degré dont l'expogant est un nombre premier quelconque m, ce qui vient . d'être indiqué pour l'exposant 5. Avec l'expression

on formera premièrement le groupe des m valeurs

i', cet', uH', «'"-'f' ;

et il y aura autant de ces groupes qu'il y a de manières d'arranger les m— 1 exposans 1, Q, 3,. ..m-~i, c'està dire 1.2.3 (m — 1 )•, ce nombre sera donc 1 exposant de l'équation finale en 6=r.

Ensuite, dans les premières valeurs de chacun de ces groupes, désignées par t\ t" i'\ etc. changeant « en

«* «^ .«'""S on partagera les 1 .ci.ô {m— i)

valeurs* de 6 en autant de groupes composés de m— i

DES ÉLÉMEN'S d'aLGÈBRE. 5l

Valeurs conjuguées, qu'il y a de manières d'arranger les m — 2 exposans a, 3, ...m — i,c'est-à dire i.2.3...(m — 2); ainsi les coefFiciens de l'équation ayant pour racines les m — i valeurs comprises dans un même groupe , n'auront' que 1.2.3 (m — 2) valeurs différentes ; d'où

il suit que la résolution de l'équation proposée du degré m , ne dépend que de celle de deux équations , l'une du degré i . 2 . 3 . . . ( m — 2 ), et l'autre du degré m — 1 .

24. La formation immédiate des coefiîciens de ces équations , par le développement des fonctions des racines de l'équation proposée est à peu près impraticable dès le cinquième degré ; et Lagrange n'a pas entrepris <3e Tachever , malgré qu'il en ait simplillé le travail par quelques artifices dont je vais donner une idée, parce qu'il se présentera une occassion de les appliquer dans la suite de cet ouvrage.

La première chose à faire c'est le développement de l'expression

t' — {x -\- *r" -f- a^x' -f «'"-'xC'") }"•.

Il est évident qu'étant ordonné par rapport aux puiseances de et , qu'on peut toujours abaiiser au-dessous de l'exposant m, il sera de la forme

«' = I -f ^r + «"i"- . • . 4- «'""' ^"^"—^ , les lettres |, T, 1", etc. désignant des fonctions des racines de la proposée , susceptibles d'autant de valeur» que 6' , et ne changeant que par les permutations qui le font changer.

Si d'abord on pose « = i , et qu'on indique par ê" la valeur que prend alors fi', on aura, par l'expression cidessus ,

mais , la yaleur de i' ou t''" , en x', x", etc. , devenant

5a COMPLÉMENT

dans la même circonstance ,

I x' -f- a;' H- x". . . .+ xW}"»,

se réduit à la puissance m de la somme des racines de réquation proposée : désignant donc par A cette somme que le coefficient du second terme fait connaître , oo auia

d'où

et par conséquent

É'^^^+c^— or+(«"—i)i"..- +('«'"-'— oi*^"-^.

Les valeurs de è" , è'\ . . . OC'"-'), se déduiront de l'expression ci-dessus par le seul changement de u en «%

•On pourra employer à la formation des coefficiens de l'équation

qui renferme un groupe de valeurs de ô , le procédé du n° 9^ mais on facilitera le calcul des sommes des puissances semblables de fl', è", etc. , par le développement de

qui donnera un résultat de la forme

l'indice ra, placé au bas de la lettre |, indiquant la puissance de 6' à laquelle ces coefficiens se rapportent; et conmie «"", fl'"", elc. se déduisent de la précédente en substituant a'^, «^, . . .«'""', au lieu de u, on aura

SJ — ()'" -f e"" 4- T" . . . + etc. =

(m— i)i„ +(«-{- «^-i-«^..+«'"-or™

+ («^-H«^ )!"» -fetc.

DES ÉLÉMEXS D'aLGÈBRE. 53

expression OÙ les coeflîciens àel'„, |"„, etc. ne différeront entr'eux que par l'arrangement des termes (16). Or, parle n° cité, on a

« + «' + «'... -f «"'"' = — 1 ; donc

SJ = {m — i)în — 1\ — I";, — r„ — etc.

= niln {in + l'n. "f 4"n + etC.) J

mais la quantité comprise dans la parenthèse étant ce que devient S'" lorsque «=1 , sera égale à ^'"'': donc enfin Sn^ =m|, — A""".

En faisant n = 1, 2, 5,...m — 1, dans cette formule qui ne contient que le premier terme de ô'"', on formera toutes les quantités nécessaires à la détermination des coefiiciens T, U, etc. , de l'équation en 9.

25. Il nous reste maintenant à faife voir comment les racines de l'équation proposée se déduisent des valeurs de la fonction ô. Pour plu? de simplicité , nous représenterons ici par et, /3, y, ^, les racines de l'équation y^ — 1=0, différentes de l'unité : car nous nous bornerons aucas où m=5. En employant successivement chacune de ces racines dans l'expression de 6 , nous formerons les quatre équations

y'7 =x'-\- ax" + c^x" 4- «"x'^-f «^x^

V/r =:x'-f vx" + V^x"+'AV^+V':r%

auxquelles joignant l'équation

nous en aurons le nombre nécessaire pour déterminer toutes les inconnues.

Si on ajoute d'abord toutes ces équations , en observant que «" -f. ^" -f- y« j- <^'' -|- t := o , tant que n n'est pas divisible par 5 (i5), on aura

multipliant ensuite les quatre premières respectivement par «6^, /3', y^, cT'^, avant de les ajoutera la dernière , il ne restera dans la somme que l'inconnue x" , et l'on aura

On obtiendra des résultats analogues par rapport aux trois autres racines x"\ x'^, x^, en prenant successivement pour facteur de chacune des quatre premières équations , une pui.ssa'ice des racines u, /S, y, «^, telle, que l'inconnue cherchée soit multipliée par la 5^ puissance de ces racines ; et il est facile de voir que ce procédé est général ('*).

26. Passons maintenant au cas où l'exposant m de l'équation à résoudre est un nombre composé, dont les facteurs premiers sont n et p. En n'employant dans la fonction

que les racines de l'équation y" — 1=0(17), les puissances de et se répètent de n en n ; rassemblant tous les termes qui sont multipliés parla même, on a

{*) Lagrange i-epresente ^ par v^' j parce que faire 4 = 1, c'est la mcme chose que de substituer a." au lieu rie a, et qu'on peut par consiqnont regarder l'expression de ^î' comme dérivée de celle de Ô', en y changeant a. co a°, et substituant ua " à l'acceul ' (24.).

DES ÉLÉMFNS D'ALGÈBRE. 55

t'= (x' +a:C''^')-{-xC^"+':)-|-etc.), -f «e (x" + xC''^-)4- jC "+ ) -f- e^c.) , + *^ (x" + x^^^ ) + xC^"-+-0 -f- etc.) , 4-etc.,

expression de la forme

t' = A" + a. Y" + ct^X" 4- A"-' -YC"). ^

Regardant alors les quantités X', X", X\ . . . XC"), comme les racines d'une équation du degré n, on poun'a appliquer à la nouvelle expression de t' les raisc^nnemens des n°' 22 et 24 i on fera t'"=.b' ; on aura en conséquence

6'= I + tf|' + «H". . . + *"-'|t«-'),

expression dans laquelle les fonctions A'', A', A", etc. ," se comporteront comme x', x", x", etc., dans celle du n* 22, en sorte que la nombre n étant supposé premier, on partagera encore les valeurs deô en groupes qui en contiendront ra — i, données par une équation dont les coeffîciensdépendrontd'équations des degrés 1 .2. 3... (a — 2), ayant pour coefTiciens des fonctions rationnelles de X', X\ etc.

Ces dernières dépendront à leur tour d'équations qui

se formeront en effectuant entre x\ x", xt"0, toutes

les permutations par lesquelles cesfonctions A', A", etc., changent de valeurs , permutations dont le r'imbre se réduit beaucoup à cause que les racines x', x", etc. s'y trouvent sans coefilciens. En effet, d'après sa composition ,

ne saurait changer de valeur par toutes les perrantaHons qu'on ferait entre les p racines dont il est formé ; il ne faudra donc avoir égard qu'aux combinaisons différentes que donnent les m racines x', x", x'", . . . prises en nom- )iïQp-j et comme toutes ces racines doivent se partager

entre les n fonctions X', X", . . . XC"), il y aura autant de valeurs de toutes ces fonctions qu'il y aura de manières de partager m racines en groupes qui en renferment chacun un nombre p.

Or, 1°. un groupe quelconque pourra se former de

manières, ce qui revient à

en ajoutant en même-temps au numérateur et au dénominateur les nombres consécutifs depuis i jusqu'à m — p inclusivement.

2*. Quand on aura choisi pour X' l'une de ces combinaisons , la deuxième fonction X" se formera d'autant de manières que les m — p racines restantes, prises en nombre/?, fourniront de combinaisons diverses, c'est-àdire de

manières ; et chacune de ces combinaisons pouvant ré-t^ pondre à chacune des précédentes, le système des fonc-s tions X', X" pourra se former d'autant de manières que l'indique le produit des deux nombres que je viens de trouver , et qui se réduit à