œ" — b"^ -\- 2ab = o ; or, on a

«2 4- Z,^ — 2aè = (a + &)=* — 4aZ? =p* — 4^ i substituant dans l'éqtiation précédente, il vient

d'où l'on tire

Mettant pour z sa valeur a — b, et combinant cette équation avec celle-ci :

on en tirera, pour a et b , les valeurs suivantes :

^—P+\/p-'-4q v^-p-VW^^q

qui sont les mêmes que celles que donne la méthode ordinaire.

ig. Pour simplifier les calculs relatifs à l'équation générale du troisième degré, on la suppose privée de son second terme , ce qui lui donne la forme suivante :

x^ -{-px-\-q-=io\

et par des raisonnemens analogues à ceux du n" précédent, On cherche à priori une fonction des racines qui les détermine facilement et qui dépende d'une équation plus aisée à résoudre que la proposée, La forme la plus simple que l'on puisse donner à cette fonction, est la -\- mb -}- ne ; et en y changeant entr'elles lesr racines a, b, c , elle offre six combinaisons différentes.

DES ÉLÉMEXS D'aIGLBRE.

savoir,

/a -f- mô -f- ne , /« + me -f n^ ,

ib-j-ma + ne, Ib -{- me + na ,

Je -f- ma -\-nb , U- -L. ,nb -f

ua

ainsi 1 équation dont elle dépend est du sixième de-rémais cette équation deviendrait résoluble à la manière

de celles du second, si elle prenait la forme

z 4-^c^+Z? = o. Dans cette hypothèse, on en déduirait

et faisant pour abréger ,

les trois racines cubiques de l'unité étant i , «, «' (jb^) les six valeurs de z seraient ' ' '

lion...

2, «2., ct'z, 2,", •-:;", «V. Prenant donc deux àe^ valeurs de la fonctiun... la + mb + nc, pour les quantités z' et z", faisant * par exemple , '

la-\-mb^ ne = z\ Ib -\- ma -\- ne = z\

on assujétira les quatre autres aux relations des dl^ verses valeurs de s , au moyen des équations

lc-{'ma + nb=zcc{la^mb^nc),

le + mb -{-na^cc^lb ^ma-^nc)[

lb-i-mc-hna = «'( /a -j- mb -}- ne ) ]

la-^mc-\- nb = k'\ Ib -\- ma + ne ) ]

se forment en comparant deux combinaisons dans

lesquelles aucune des lettres a, b, c n'a le même

Compl. des Elém. d'Alg, 3

coefTicient, et d'où l'on tire, en transposant,

(Z — un )c-|-(^ — ««0 a + (« — ecm)b=^Of ( l — an )c-{-(m — etl ) 6 -4- ( 'i — ««'" )a = o , ( / — tt^m ) 6 -f- ( ^ — «^^ )c + (n — «^/)a = o, (/ — (x.^m)a + (m. — «'^7i)c-t-( ti — «*/) b=o.

Comme ces équations doivent se vériRer indépendamment des valeurs particulières de a, b, c, on égalera séparément à zéro les coeiliciens de ces diverses quantités, ce qui donnera entre les inconnues ly m, n, les équations suivantes :

/ — «rt=o, m — «Z=:o, n — »m = o , l — u'^m = o , m — ei^n = o , n — «* / = o.

Si l'on détermine /, m, «, au moyen des trois premières , on trouvera

/ = aii , 771

a'rt , 71 z= it^n

et si l'on se rappelle que «"=1, on verra que ces valeurs de / et de 771 satisfont aux trois équations de la seconde ligne; en sorte que le coefTicient n reste indéterminé. En le supposant^ pour plus de simplicité, égal à i, on aura les valeurs

c'est-à-dire que les coelFiciens /, m, n seront les racines cubiques de l'unité : les valeurs de z.' et de s" seront par conséquent

7!=ua-\-u'b-\-c y z" = a^a-\-ub-\-c;

et représentant par z la fonction la -{- mb -\- ne , dont le cube ne doit avoir que les deux valeurs z'^ et z"^, il viendra (8)

^^^^^^a+u-^b-^-cy) {s^— («^a-f«6+c)3} = o. Ce produit est facile à exprimer, au moyen des coeffi-

DES ÉLÉMEXS d' ALGÈBRE. 55

cîens de l'équation x^-\-px-{-q:=o\ car après en avoir chaàsé la quantité «, à l'aide des relations rapportées dans le numéro 16, il ne contiendra plus que des fonctions s}Tnétriques des racines a, b, c. En ne développant pas d'abord les seconds termes de chaque facteur, on trouve

mais

développant le produit (<ta-{- u^b-^() (»^a-\-<tb-\-c) ^ avec l'attention de substituer 1 au lieu de «\ — 1 au lieu de « + •* et de «* ~\- »'' (16) , il viendra

a* -j- b- -\- c^ — ac — ab — bc , quantité équivalente à

a'+b'-h<^'-\-2ab'^9Mc-^tibc\ -z.li , l -.

r: L z -zu /=(<ï+o-t-0'— 3fa64-ac4-ûc)

puisque l'équation proposée étant sans second terme , on doit avoir

a-\- b -{- c = o; et de là on tire

Faisant ensuite le cube de tta -f- «-Z> + f , ainsi qne celui de <t-a -j-etb -\- c , prenant la somme des résultats , et mettant 1 pour t"' et pour «^ , — 1 pour « ^ «% et' -f «t' et ** + *^ (iQ > il viendra

aa^ -f- ab^ -f- ac^ -f- 1 zabc

— 5a-c — 5ac^ — Za^b — ^ab" — Zb'c — 5bc',

expression qui, ne renfermant que des fonctions s\Tnétriques, peut être déterminée par les formules du n° 7.

Avec un peu d'attention , on voit aussi qu'elle est équl-*

valente à

g [aZ» (a+Z» + c) — flèc]!

— 9 Ibc (a +Z> 4- c) — fièc]| On a donc enfin

2.^ -f- 27^2.3 — 27p' = o ; équation qu'on appelle la recZu/fe, ou \a résolvmte , et dont les racines désignées ci-dessus par a' et 2,", sont

Mais les équations

jointes à l'équation a-\-b + c=^o, résultante de l'évanouissement du second terme de la proposée , et au moyen des réductions indiquées n° 16, donnent

et si on met pour les quantités 2,', z\ a, «^ leurs valeurs, on trouvera

DES ÈLÉMEXS d'aLGÈBRP. 3^

De cestroîi racines, la première seule paraît réelle ; les deux autres sont sovs une forme imaginaire.

Je reviendrai dans la suite sur ces formules , pour faire connaître les diverses circonstances que présente la résolution de^ équations du troisième degré ; pour le moment, je me bornerai à observer que les quantités z et z" ayant chacune trois valeurs , puisqu'elles désignent des racines cubiques , il pourrait résulter de l'emploi successif de ces valeurs trois s^^stèmes de racines a, b , c; mais celui que j'ai rapporté plus haut est le oeul qui satisfasse à l'équation

x' -f- px -\- q ■=z o.

Les deux autres ofTrii aient respectivement les racines des équations x^ -f- «P-^ ■^" <7 = °> :c^^tt^px -{- q := o , liées à la proposée, de manière à fower avec elle , par la multiplication, une équation rationnelle du neuvième degré , et qui conduiraient également à l'équation en z, obtenue ci-dessus, parce que cette dernière ne contient que le cube dep^ qui est aussi celui de «p et de x p.

Pour distinguer le système des racines qu'il faut employer , il suiïit d'essayer s'il rend la fonction

ab -^ ac -{- bc égale au coefficient de x dans l'équation proposée : or les valeurs trouvées ci-dessus donnent

û6 4- ac + ^»c = — i z' z",

tt on a d'ailleurs

-V = — op.

90. Je passe au quatrième degré. En désignant par a^ b , c , djlei racines de l'équation sans second terme

x^ -\- px"" -j- qx-{- r=zc ,

on cherche encore à trouver une fonction de ces racines qui soit de la forme ha -j- Ib -{- me -{- nd ^ et qui dépende

d'une équation moins élevée ou moins difficile à résoudre que la proposée. Dans une telle fonction , les lettres c , b, c, d, peuvent être combinées de vingt-quatre manières différentes , et par conséquent elle doit dépendre d'une équation du vingt-quatrième degré -, mais on peut, en établissant des relations entre les coefficiens indéterminés k, l, mçtn , réduire le nombre des combinaisons. En supposant d'abord /j = /, il ne reste plus que douze cbangemens possibles dans la distribution des lettres a, b, c, d; et ces cliangemens se réduiront à six, si on fait 771 = n : la fonction ci-dessus deviendra alors

susceptible de cinq autres changemens,

l(^b-hc)+7nia + d), /(è+fZ) 4-771 (fl-f-r), /(c-f-cZ) -}- 771 (a + Z>).

On ne peut plus dmiinuer le nombre de ces combinaisons sans les rendre tontes identiques • mais en posant / — — m, on aura les six quantités

lla-^d—b — c), l(^b^c — a — d),

telles que les deux qui sont sur une même ligne ne diflfèrentque par le signe ; en sorte que l'équation'du sixième degré , dont elles dépendent , doit avoir ti'ois racines positives, et autant de négatives respectivement égales à chacune des premières. Cette équation sera donc de la forme

z^ 4- Az^ 4- iîc^ + C = o ( Éhm. 208 ) ,

DES ÉLÉMEXS D'aLCÈBRE. 5^

et réductible au troisième degré , en prenant a* pour l'inconnue. Mais ai , au lieu des quantités

/(a + 6 — c— fZ), etc. ,

on prend leurs quarrés, on n'aura que trois fonctions différentes, puisque

et aimi des, autres; et faisant / = i dans ces dernières fonctions , l'équation qui doit les donner sera le produit des trois facteurs

s — (a -^b — c — cî)\ z — {a-{-c — b—dy, z — (a -\- d — b — c )\ Or,

{a -\- b — c — dy =

a^-\-b*-^c*-^d*-{-Qab — 2or — aad — abc — i2hd-\-zcd=.

{a-i-b-\-c-\-dy — 4ac-^4ad — 4bc — 4bd;

et comme l'équation proposée manque de second terme , on a

(a}-t — c — dy=z— 4ac — 4«^ — 4^^ — 4^^i mais puisque , d'après la composition des équations ,

p :=z ab -\~ ac -j- ad -{- bc -^ bd -^ cd , il eij résultera

— 4ac — 4^^ — 4^c — 4^^ = — 4p -\- 4^^ + 4<^'^ •

donc enfin

(^a + b — c — dy — — 4p ^ 4ab -{- 4cd.

On trouvera de même

(^a + c — b — dy — — 4P ■\' ¥c -^ 4^^l> \a-\-d--b—cy— — 4p-^4ad-\-4b(.\

4o COMPLÉMENT

Si, pour plus de simplicité, on prend l'inconnue z égaTff au j des fonctions (^a -{- c — b < — dy, etc. , l'équation en z sera le produit des trois facteurs

z -f- p — {ab + et/),

Il ne s'agit plus maintenant que de développer ce produit, et d'exprimer en p, q et r, les fonctions symétriques de a, b , c et d, qui s'y trouvent contenues.

Pour effectuer le calcul avec plus de facilité , on posex'a

ce qui donnera les trois facteurs

u — {ab-^cd), u — {ac-\-bd), u — (acZ-j-ôc).

Le coefficient du second ternie de l'équation en u sera égal à

— (^ab -\- ac -{- ad -\- bc -^ hd -\- cd") ,

ou, ce qui est la même ch«se, à — p ; celui du troisième sera

a^bc -f- a^bd -f- a^cd

-|- ab^c + o.h'^d -f- b-cd

-f- abc^ -\- ac'd -j- bc^d