Q . 3 . . . m 1 .2.3. . .n. (i .2.3. . .pj

pour le nombre de valeurs différentes que prendront les coefTiciens de l'équation en X, par les permutations des m racines x', x", etc. de la proposée.

Or, les cnelFiciens de l'équation en 9, exprimés par les fonctions A', X", etc., dépendant immédiatement d'ime équation du degré i .2.3. . .(n — 2), dépendront d'une équation du degré

-.1.2.3. ..(rt— 2)

— („i)n(i.2.3...p)"* lorsqu'on les rapportera aux racines x', x", etc.

27. Quand les valeurs de ô sont obtenues , on form* celles des fonctions X', X'\ . . . X^"^ , comme on a formé celles de x, x", etc. , dans le n° 26 , mais en substituant aux racines imaginaires de ^"^ — 1=0 celles de... y— 1=0.

Pour parvenir ensuite aux valeurs des racines de l'équation proposée , il faut chercher les coeiFiciens du facteur formé des p racines comprises dans le même groupe, et dont A" donnera la somme. Ce facteur sera par conséquent de la forme

xP — X'xP~' 4- xxP-" — (MxP-^-f- etc. = o ;

et les conditions qu'il doit remplir pour diviser exactement l'équation proposée {Elém, 210) déLcrminerout les coefFiciens inconnus A, f^,, etc. en fonctions rationnelles de X'.

Il suit donc de ce qui précède, que la résolution d'une équation générale du degré Tn=^np, dépend, en dernière analyse , de deux équations , l'une du degré

et l'autre du degré p , ce qui est plus simple que lorsque m est un nombre premier.

Lorsque 771=: 6, on peut prendre 77=2, pz=5; la première de ces équations devient du degré

et l'autre du 3*. Suivant les formules du n' 23, les équations auxiliaires se seraient élevées, l'une au degré 1,2.3.4 = 24°, l'autre au 5*.

Il est bon de remarquer que l'équation du degré p

étant un facteur de la propoâée, celle-ci se décompose en n facteurs, au moyen de n valeurs de la fonction X\

28. Si les fonctions de la forme de t' , dépendant d'équations plus difficiles à résoudre que la proposée, dèi qu'elle passe le quatrième degré, ne peuvent conduire à la résolution des équations générales d'un degré quelconque , il ne parait pas qu'on puisse attendre plus de succès d'aucune autre fonction des racines, ni d'aucune autre méthode. Le principe de celle-ci ne pourrait différer qu'en apparence de celui de la méthode précédente ; car, suivant la marche de l'Algèbre, la résolution d'une équation générale doit rei. fermer toutes ses racines dans une seule expression , puisqu'il n'y a pas de raison pour obtenir ime certaine racine plutôt que toute autre. Cette loi se vérifie, en effet, sur les expres>ions obtenues précédemment-, toutes les racines de l'équation proposée dérivent d'une seule, par rechange des diverses racines de l'unité entr'elles.

Pour le second degré, par exemple, l'expression de« racines étant

se change en a et en è, selon qu'on prend le radical avec le signe -f- ou le signe — .

Il est facile de voir aussi que les expressions des racines de l'équation du cinquième degré, obtenues dans le n° 25, sont comprises dans la formule suivante ,

x'-\-x" -{-x"' -hx'^ -f- x'