cT" /(^^^^V^F^^^y^M
6o COMPLÉMENT
car les quantités écrites sous les radicaux deviennent identiques avec ê', fi", 6'", 6^", lorsqu'on remplace yS, y, ^, par leurs valeurs respectives «% «^, tc'^; et prenant ensuite pour n les nombres depuis 5 jusqu'à i , on retombe sur les expressions du n° cité. C'est le changement que subit l'exposant n , qui indique ici la multiplicité des valeurs dont les radicaux sont susceptibles, puisque cela revient à mettre pour « ses diverse* valeurs.
Vander monde (Mem. de VAcad. de Paris, 1771 )>' qui a le premier donné à cette remarque toute l'étendue dont elle est susceptible, a conçu que le problème de la résolution des équations générales consistait à former , avec les diverses racines de l'unité (qui servent à caractériser la multiplicité des valeurs d'un radical quelconque) et avec les racines de l'équation proposée, une fonction qui pût devenir successivement égale à chacune de ces dernières. C'est à ce point qu'on doit arriver par toutes les méthodes; car quelle que soit la composition du résultat , en y remplaçant les coefFiciens de l'équation proposée par leurs expressions con- nues , on le changera touiours en une fonction des racines, fonction qu'il faudra déterminer, soit immédiatement, soit en la faisant dépendre d'autres fonctions. C'est aussi ce que Lagrange prouvait en même temps par l'examen des diverses méthodes proposées antérieurement pour résoudre les équations littérales ( Mém. de VAcad. de Berlin, année 1770), et dont nous donnerons une idée générale dans la suite.
D'après ces principes, le point fondamental de la question était la découverte d'une fonction non symétrique, établissant entre les racines de l'équation proposée une relation différente de celles qu'exprime la composition des coefficiens, et qui dépendît d'une équation plus facile
DES ÉLÉMEKS d'ALGÈBRF; 6i
à résoudre que la proposée. Lagrange, à la fin de soa beau travail , ne put donner que des vues générales pour déterminer a priori le degré de l'équation d'où doit dépendre une fonction des racines dont la composition est connue. En poursuivant ces vues, M. Paolo RufFmi a prouvé qu'avec cinq lettres on ne pouvait déjà plus former des fonctions non symétriques qui n'eussent que quatre valeurs (Mémoires de la Société italienne, tom. XII, et Theoria générale délie equazioni); et M. Cauchy (dans le 17* cahier du Journal de F École Polytechnique , p. 9) a démo.^tré ce beau théorème : Le nombre des valeurs différentes d'une fonction non symétriques de n quantités , ne peut s'abaisser au-dessous du plus grand nombre premier p contenu dans n , sans devenir égal à z. C'est ainsi qu'on a pu former des fonctions de trois lettres qui n'eussent que deux valeurs (19), et des fonctions de quatre lettres qui n'en eussent que trois (20); mais celles de cinq et de six lettres , qui doivent admettre plus de deux valeurs, n'en sauraient avoir moins de cinq. Telle est la vraie difficulté de la résolution des équations générales. M-PaoloRuifini, qui, dès 1798, avait entrepris de prouver qu'elle était insurmontable, a reproduit et perfectionné ses raisonnemens dans ses ïxijîessioni interno alla soluzione délie equazioni algebraiche générale {Modena, i8i3). INIais s'il faut renoncer à exprimer, par un nombre limité d'opérations algébriques généralement indiquées , les racines d'une équation quelconque au moyen de ses coefficiens , on doit v avoir d'autant moins de regret , que la forme de ces racines en rend l'application numérique toujours très longue et quelquefois impossible , ainsi qu'on va le voir (*).
(*) L'emploi des permutations n'est pas seulement utile pour résoudre les équations des dct;rcs supérieurs au premier ; il s'offre aiusi daiis la recherche des valeurs des inconnues déterminées par
6a COMPLEMENT
^Observations su7' les expressions des racines des équationi du troisième et du quatrième degré,
29. Lorsque l'équation du troisième degré est de la forme a:' + px -f- ç = o , c'est-à-dire que le coefïïcient p est positif, des trois racines qu'elle comporte , deux sont imaginaires, une seule est réelle (19); mais si p est négatif, ou qu'on ait
x'^' pjC + ^ =: O ,
le radical quarré v-syP ■+"i9% qui entre dans l'expression des trois racines, se changeant en \/ — lïjP^-hiq^t devient imaginaire, si —■ p^ surpasse jq'^. Toutes les racines sont alors affectées d'imaginaires , et paraissent par conséquent telles. Cependant on a vu (^Élém. 21 3) que toute équation de degré impair avait nécessairement une racine réelle; il y a donc pour le cas qui m'occupe ime contradiction au moins apparente , et qu'il faut lever.
Cette contradiction tient à ce que l'on aurait tort de prononcer qu'une expression composée, renfermant dis imaginaires, est imaginaire , à moins qu'on n'ait prouvé qu'elle les conserve lorsqu'elle est développée, La formule
les équations gcnc'ralcs du premier degré. M. Laplace avait mon: tré par ce moyen, dès 177a [Mèm. de V^cad. des Sciences) , q\iclqnes-uncs des propriétés des fonctions qui entrent dans ces valeurs. Vandcrmonde , en les trouvant de son côte , introduisit dans le calcul une notation Lien ingc'niensc, et qui pourrait devenir fort utile. M. Monge donna ensuite ( Journal de l'Ecole Polytechnique, \5^ cahier; une interprétation georaétriquc très curieuse des fonctions dont il s'agit. Enfin elles ont fourni , h MM. J. Binet ctCauchy, le sujet de deux beaux Mémoires. (Journal de l'£çole Polytechnique, iGe et i;e cabiers.}
DES ÉLÉMENS d'aLCÈBRE. ba
peut s'écrire ainsi ,
•I l'on fait, pour abréger,
ets'il arrivait que les quantités a-{-b\/'-i eta-^by — i fussent des cubes parfaits de la forme
(^ + i7\/^)3 et (.4 — Z?/^=^)3, ^ et B étant des quantités réelles , on aurait alors
valeur réelle.
Si l'on avait, par exemple.
en s'assurerait , par l'élévation au cube , que
V/a — 1 1 V/ — 1 = 2 — \/'— 1 , «t on trouverait 4 pour la somme des deux radicaux.
Les premiers analystes qui s'occupèrent de la résolution des équations des degrés supérieurs , après avoir remarqué l'espèce de paradoxe développé ci-des?us, parvinrent en effet à tirer de l'expression même de la première racine un résultat délivré des imaginaires , lorsque les quantités comprises sous les radicaux cubiques étaient des cubes parfaits.
3o. ce C'est de cette manière, dit Lagrange (*) , que
(*) Séances des Ecoles Normale» (Leçons, t. III, pag. agS, première édition), Journal lU l'Ecole Polytechnique (,7« ec 8» c^liiers, pag. aaG;,
V Bombelîi s'est convaincu de la réalité de l'expression îi imaginaire de la formule du cas irréductible (c'est le )> nom qu'on donne à celui que j'examine); mais cette •)•> extraction n'étant possible en général que par les )■> séries, l'on ne peut parvenir de cette manièÉe à une ■)•) démonstration générale et directe de la proposition 51 dont il s'agit.
■)■) Il n'en est pas de même des radicaux quarrés et de »♦ tous ceux dont l'exposant est une puissance de 2. En 55 effet, si on a la quantité
îi composée de deux radicaux imaginaires , son quatre 55 sera
sa 4- 2 \/âH-^j
35 quantité nécessairement positive : donc, en extrayant » la racine quarrée , on aura
« pour la valeur réelle de la quantité proposée. Mais si ,
55 au lieu delà somme, on avait la différence des mêmes
y) radicaux, alors son quarré serait 20 — o, y/a'^-j-Z»^
S5 quantité nécessairement négative; et tirant la racine,
}5 on aurait l'expression imaginaire simple
V'2a — 2 \/a^ -f- ^''' 55 Si on avait la quantité
\/« + 6\/— 1 -\-Va — b\/^ i , V on l'élevrait d'abord au quarré, ce qui donnerait
Vaa -h 2 y'a^ -^ b^ -^ u \/a' + b%
DES ÉLEMÈNS d'AL6ÈBRE. G5
« quantité réelle et positive; on aura donc aussi, en V extrayant la racine quarrée, une valeur réelle de la j> quantité proposée , et ainsi de suite. Mais si on voulait y> appliquer cette méthode aux radicaux cubiques , on Y) retomberait dans une équation du troisième degré, Yt dans le cas irréductible.
» Soit en effet
i^ en élevant d'abord au cube, on aura
T) savoir :
sa 4" Sx \/ à" -f- />^ r= x^, » ou bien
rc'' — 3x\/a=' + Z>"— sa = o, •)'> formule générale du cas irréductible, puisque
ï (2^)' + rr (- 3 \/ ^M=^^)^ = - K y) S'ib ^=Oy on aura
:> il faudra donc prouver que b ayant une valeur quel- 51 conque réelle , x aura aussi une valeur correspondante •)■) réelle. Or l'équation précédente donne
^/ ~- X^ 2rt
)> et élevant au cube , on trouve
Compl. des Élém. d'-dlg. 5
- a:9 — Gax^ — i Ba'x' — 8a' b^ = ,
)i équation qu'on peut mettre sous cette forme :
r) ou bien sous celle-ci :
11 Cette dernière forme fait voir que b est nul, lorsque i\ a:^ = 8û!, qu'ensuite 6 augmentera toujours sans inr> terruption, lorsque x augmentera; car le facteur 11 (x^-)-a)* augmentera toujours, et l'autre facteur 11 augmentera aussi , parce que le dénominateur x^ aug-
11 mentant, la partie négative —, qui est a abord = i ,
51 deviendra toujours moindre que i. Ainsi, en faisant 11 augmenter par degrés insensibles la valeur de x"^ depuis 51 8a jusqu'à l'infini, la valeur de b"^ augmentera r.ussi 11 par degrés insensibles et correspondans , depuis zéro 11 jusqu'à l'inlini. Donc réciproquement à chaque valeur 11 de 6% depuis zéro jusqu'à l'infini, il répondra une r> valeur de x"^ comprise entre 8a et l'infini ; et comme 11 cela a lieu , quelle que soit la valeur de a , on en peut 11 conclure légitimement que , quelles que soient les 5) valeurs de a et de ô , la valeur correspondante de x-^, 11 et par conséquent aussi de x , sera toujours réelle. 11 Mais comment assigner cette valeur? Il ne paraît pas 11 qu'elle puisse être représentée autrement que par l'ex- 11 pression imaginaire, ou par une expression en série, 11 qui en est le développement (que je ferai connaître T> par la suite); aussi doit-on regarder ces sortes d'ex-
Î)E? ÉLÉMENS d'algèbre. ff^
>» pressions imaginaires, qui répondent à des quantités
V réelles , comme faisant une nouvelle classe d'exprès- « sions algébriques, qui, quoiqu'elles n'aient pas, comme 7) les autres expressions , l'avantage de pouvoir être éva-
V luées en nombre dans l'état où elles sont , ont néan-
V moins celui qui est le seul nécessaire dans les opéra-
V tions algébriques, de pouvoir être employées dans ces n opérations comme si elles ne contenaient point d'imay» ginaires (*). :■>
C'est l'impossibilité de réduire sous une forme en même temps réelle et composée d'un nombre limité de termes algébriques, les racines d'une équation du troisième degré, quand ^p^ est négatif et surpasse ^ q^, qui a fait donner à ce cas le nom de cas irréductible; l'expression de la première racine n'est alors qu'un cas particulier de celle-ci :
qui appartient aussi, comme nous le verrons dans la suite , aune quantité réelle , mais inassignable algébriquement et d'une manière finie , par tous les moyens connus jusqu'ici, quand n n'est pas une puissance de a.
3i. Non-seulement dans le cas irréductible la première racine est réelle , mais les deux dernières, qui sont maginaires dans tous les autres cas, deviennent réelles dans celui-ci. On peut d'abord le voir immédiatement lorsque les quantités â-}- by^ — i et a — by — i sont des cubes parfaits ; car en substituant leurs racines
(*) On emploie ces expressions avec succès dans l'application de FAIgèbre à la Geomttiie, par rapport h la division des angles. Cette théorie se trouve développée dans l'Inti-oduction de mon Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral.
Ç^g COMPLÉMENT
j4^B y/— 1 et A — B \/ — 1 à la place des radicaux cubes dans la deuxième et la troisième racines (19), et efFectuantles multiplications conformément au n' 17a des Èlémens, on trouve
52. On peut, sans le secours de l'extraction des ra-^ cines démontrer que lorsque les trois racines de l'équation x^ -\-px -f- (/ = o sont réelles , p est négatif, qu'on a nécessairement ^p^>i(7%et que, réciproquement, lorsque â^p'^ surpasse ^^% les trois racines sont réelles.
En effet , soit a une racine réelle de l'équatioa 3^3 -^px -(- g = o , on aura
d'où q =--a?—pa,
et par conséquent
ce' — û'-|-p(x— a)=o-,
divisant alors par x — a, on obtiendra réquation
ic»+aJ + a* + /î = o,
dans laquelle sont renfermées les deux autres racines de la proposée, et dont on tire
x=-ia±:/— ia=^— p- On voit d'abord, à l'inspection de ce résultat, qua les racines qu'il fournit ne pourront être réelles, à
DES ÉLÉMENS d'ALGÈBRE. %
moins que p ne soit négatif et en même temps égal à |a% ou plus grand.
En changeant donc le signe de p, et supposant. . . p = 2a^-\^d, on aura
x^ — px-^q=o, a? — pa-^q-=o;
les trois racines seront a, — z^-\-V^d, — ^a — yd; et en mettant pour/j sa valeur dans l'équation a-^ — pa-{-(]=^'^> on trouvera
qz=z — j a^ -}- ad-
Pour comparer cette valeur de ^ à celle de p, sans con-^ naître celle de a , il faut élever p au cube et q au quarré, afin que la plus haute puissance de a soit la même dans les deux résultats ; il viendra ainsi
p^ = ILa'-hHa^d-^la^d^-\-d\ q^=zi~,a^^\a^d^a^d\ d"où
iTP' = i-y+Tza^d + -ka^d^-\-ijd\
et par conséquent
ijp'-{q*=.-hci'd-\a^d^+ijd^
= 3d^^a^-^a^d^^d^) =:3di{a^^^,dr.
La dernière valeur Zd ( ^a^ — ^dy étant toujours posi-» tive, tant que d sera positif, puisque son second facteur est un quarré , donne évidemment
et le contraire ne pourra avoir lieu , à moins que d ne soit négatif, c'est-à-dire à moins que les deux dernières racines de la proposée ne soient imaginaires. En faisant d=o^ on a
hp' = in'
et les trois racines, qui sont encore réelles, ont entre elles une relation remarquable, indiquée par les valeurs suivantes: a, — ^a, — ^a.
Il est donc prouvé par ce qui précède, que si une équa-^ iioji du troisième degré a au moins y dans tous les cas , une de ses racines qui soit réelle, toutes le deviennent lorsque p est négatif, et que -f^P^ surpasse ^q". Or, on a vu (^hlém. 21 3) que toute équation d'un degré impair a au moins une racine réelle , quelques valeurs qu aient ses coejfficiens ; donc toutes les trois sont réelles dans le cas cité.
33. En attendant que j'expose les séries qui expriment les valeurs approchées des racines des équations du troisième degré dans le cas irréductible, je rap-» porterai ici un procédé beaucoup plus simple, donné par Clairaut dans ses Élémens d'Algèbre.
Ce procédé consiste à ramener l'équation
x^ — px-\- q=.o à la forme z^ — z^=.r , en faisant a-=7nz, et déterminant la quantité m de manière à rendre le coefficient de z égal à l'unité. Par la substitu-» tion indiquée, il vient ' >
posant m^t=:p, on a
nv"
et
nr
mais pour que la dernière de ces valeurs soit toujours positive, on prendra m du signe contraire à celui de q. Cela posé, l'équation z'' — z = rne peut tomber dans le cas
irréductible, qiie lorsque ^>i»"'', c'est-à-dire lorsque
r<^Y ~<^ -, ce qui ne peut avoir lieu qu autant
3 V 3 que la valeur positive de z est entre les limites i et
— =. En effet, il est visible que z doit surpasser l'unité
pour que la quantité 2,^ — z soit positive; mais si l'on
faisait z= — ==1/7, on aurait pour résultat — 7^, V/3 ' 3\/3
nombre plus grand que r.
Si donc on suppose a=l-4-<^, la lettre <^ ne poui ra représenter qu'une petite fraction , moindre que ta différence o, 1 547 qui se trouve entre 1 et \/ -^ ; le cube 0,0037 de cette fraction peut être négligé , et le résultat de la substitution de i -f- «^ à la place de z daud l'équalioii proposée, en omettant <^-', conduit à
2^ -f 0$^ = r, d'où l'on tire
cT^-i ±1^/7+37,.
et par conséquent
puisqu'on ne cherche que la valeur de z qui surpasse l'unité. La limite de l'erreur que l'on peut commettre par cette méthode, ne s'élève , sur la valeur de z, qu'à un millième d'unité. En effet, si fon suppose z=. v/f , valeur qui répond à rr=^ \/j, et pour laquelle ^ est le plus grand possible, la formule ci-dessus' donnera
