Je vais m'occuper maintenant des racines de l

quation du quatrième degré,

x"^ -{- px"^ -j- qx -\- r = o.

Ces racines dépendent de celles de la réduite

23|.2ps«^(^^4;-)^^^:::=0 (/?),.

et; Ton a , par le n° 20 , les deux systèmes de valeurs ,

a:=i(+v/^'-\/^'-\/£")( )=i(-\/i+\/^y- Vn

x=K- V ^'4- v/^'- ^£") [ ] =K+ \/zy- \/i+ V^O

dont il faut choisir celui dans lequel le produit des trois termes est du signe contraire au signe du coefficient q ; cr, ce signe résulte de celui dont chaque radic«l e:;fc

DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. ^3

affecté, et de celui que prend le produit

suivant la nature des racines z\ z.", 2,*, de la réduite.

On doit d'abord observer que la combinaison de5 signes des termes de chaque valeur de x donne + dans le premier système , et — dans le second.

Cela posé, \°. l'équation (/î) ayant son dernier terme négatif , doit, lorsque ses trois racines sont réelles, les avoir toutes positives, ou seulement une positive et les deux autres négatives ; car le dernier terme étant le produit de toutes les racines prises avec un signe contraire , ne peut être négatif que lorsque ses trois facteurs sont négatifs, ou qu'il n'y en a qu'un seul. Dans le premier cas , les racines z', z", a", étant positives, le produit V^z'. y/z". V/z.*, ne peut avoir que le signe -f- , et par conséquent c'est le premier système de valeurs qu'il faut prendre, si q est négatif, et le second , si q est positif.

Dans le second cas , si l'on désigne par z' la racine positive de l'équation (/î), et qu'on pose 2;"= — *, 2,"= — /3 , il vient, suivant la remarque du n" 172 des Élémens ,

ce quichange l'ordre des signes caractéristiques de chaque système , en sorte qu'il faut prendre le premier lorsque q est positif, et le second lorsque ce coefficient est négatif,

2^ Quand l'équation ( 7Î ) a une racine réelle et deux imaginaires , sa racine réelle est nécessairement positive , car les deux imaginaires ne pouvant provenir que d'une équation du second degré , dont le dernier terme soit positif, et qui «oit par conséquent de 1^

j4 COMPLÉMENT

forme z^-{- ^z-{-B = o, il faut que le facteur du premier degré , qui contient la racine réelle , soit de la forme z — y, sans quoi le dernier terme du produit du premier facteur par le second , serait positif.

En résolvant l'équation z^-^yiz'\-B = o, on aura

mais pour qtie ses racines soient imaginaires , il faut que

faisant dofx pour abréger ,

il viendra

Désignant par z la racine réelle , on posera

et pour connaître le véritable signe de yz". yz' , il faudra faire attention à celui de u. Si ce dernier est positif j il viendra

V/â'. \/'^'. \/7" = \/{oe+ii^)z';

ce produit étant positif, le choix du système des valeurs de X se fera comme si les trois racines de l'équation (/i) étaient réelles et positives-, mais si « est négatif, il faut observer que

DES ÉLÉMENS D'.ALGÈBRE. jS

parce qu'il en résulte

et qu'alors le choix du système des valeurs de x doit être le même que si la réduite avait deux racines négatives (*).

35. Quant à ce qui regarde la nature des racines de l'équation du quatrième degré proposée , on voit 1°. qu'elles seront toutes réelles, lorsque celles de l'équation (/î) seront réelles et positives :

2°, Que si cette dernière a deux racines négatives , la proposée aura ses quatre racines imaginaires , excepté le cas où les deux quantités négatives z" , z", seraient égales entr elles ; car alors elles se détruiraient dans deux racines qui deviendraient réelles et égales , à

— -j- \/ z dans le premier système, et à -f" a V^-^' ^^"^ le second :

3°. Si deux des racines z" et z" de la réduite sont imaginaires , deux des quatre valeurs de x contiendront l'expression

qui, quoiqu'affectée de symboles imaginaires, est réelle et égale à

{*] Telles sont, à peu de chose pris, les remarques faites jj^i M. Brei. Depuis on a propose (Journal de l'Ecule Pnljteihnique, 76 et Se cahiers, p. aSg) d'éviter l'ambiguite des sj-sicnics

des valeurs de x, en tirant de Tcquation V/c'- \^ z" • \-'' t" ^= — 7 (30), la valeur de l'un des trois radicaux, ce qui nduit les deux systèmes de valeurs à un seul , auquel on peut donner la lormc

mais ces formules n'ont pas la symétrie qui règne d.ins les antres.

ces deux racines seront par conséquent réelles : les deux autres contenant la quantité

qui revient à

seront par conséquent imaginaires.

Pour reconnaître par les coefïiciens mêrpes de la pro-posée , dans quel cas l'équation (/?) a ses trois racines réelles, il n'y a qu'à faire disparaître le second terme, de cette dernière, afin de pouvoir la comparer avec la formule j'^-)-Py-f-Ç = o; pour cela on supposera.,

2 =^ ^ , ce qui donnera

équation dont les trois racines seront réelles quand

3G. Je ne quitterai pas ce sujet sans faire remarquer que les racines imaginaires des équations du quatrième degré sont de la même forme que celles des équations du second et du troisième, c'est-à-dire de la forme A ±. B y — i. En effet, lorsque la réduite a deuxracines négatives, z" , z'", en les représentant par — «* et — /S", les quatre valeurs de x deviendront

DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. 'J'J

Les deux premières, combinées ensemble, donneront un facteur réel du second degré; il ea sera de même des deux dernières.

Quand la réduite a deux racines imaginaires de la forme « -|- /S \/ — i et « — /î V^ — i , les deux racines imaginaires de la proposée deviennent

en faisant ^ z =y et Zct — 2 \/«' -j- ^S" = — ^.

La proposée pourra donc encore, dans ce cas, être formée par' la multiplication de deux facteurs réels du second degré.

37. Tels sont les résultats algébriques de la résolution des équations générales des troisième et quatrième degrés j ils s'accordent bien avec les lois de la composition des équations, mais leur application numérique est souvent très pénible et fort peu satisfaisante. L'expression des racines des équations du troisième degré est composée de deux parties (19) , de telle sorte qu'en effectuant séparément les extractions de racines indiquées dans chacune, on ne parvient quelquefois qu'à des valeurs approchées , pour des racines qui sont cependant des nombres entiers. Cet inconvénient augmente encore pour le quatrième degré ; car si l'on voulait exprimer immédiatement par leurs coefficiens les racines des équations de ce degré, il faudrait , sous les radicaux du second degré qui affectent les racines a', z", z", de la réduite , mettre des expressions contenant déjà des radicaux du troisième degré, sur des radicaux du deuxième. La difficulté du cas irréductible du troisième degré, s'introduisant alors

dans le quatrième, et ayant de même lieu dans les degrés supérieurs , augmente encore beaucoup l'imperfection de la résolution littérale des équations de ces degrés. Ce sont ces défauts que Lagrange avait en vue, lorsqu'il disait : a On peut assurer d'avance, que quand 51 même on parviendrait à résoudre généralement le V cinquième degré et les suivans , on n'aurait par là T) que des formules algébriques, précieuses en elles- 11 mêmes, mais très peu utiles pour la résolution effec- •)i tive et numérique des équations des mêmes degrés , « et qui par conséquent ne dispenseraient pas d'avoir 11 recours aux méthodes arithmétiques {*).i'>

C'est d'après ces motifs d'un aussi grand poids , que j'ai cru ne devoir donner dans les Élémens d'Algèbre que la résolution numérique des équations, qui u est, à n proprement parler, ime opération arithmétique fon- 11 dée , à la vérité , sur les principes généraux de la r théorie des équations , mais dont les résultats ne sont » que des nombres où l'on ne reconnaît plus les pre- 11 miers nombres qui ont servi d'élémens ( c'est-à-dire 11 les coefficiens de l'équation à résoudre ) , et qui ne 11 conservent aucune trace des différentes opérations 11 particulières qui les ont produits. L'extraction des 11 racines quarrées et cubiques est l'opération la plus n simple de ce genre ; c'est la résolution des équations )■> numériques. du second et du troisième degré, dans 11 lesquelles tous les termes intermédiaires manquent, n

Yiète a sûrement été guidé par des considérations de ce genre , lorsque , dans son Traité <Ie numerosa potes-^ totum adfectarum resolutione, il a cherché à résoudre immédiatement les équations numériques par une suite

(■*) De In Résolution des Equations numériques de tous les degrés (a^ «lit. , Avertissement , page viij ).

DES ÉLEMEXS D'ALGÈBRE. f§

d'opérations purement arithmétiques et combinées entre elles, à-peu-près comme le sont c^îUes qu'on emploie pour extraire les racines des nombres. Si sa méthode était uniforme pour tous les cas qui peuvent se présenter, en sorte que , par une succession régulière des mêmes procédés, elle conduisît infailliblement à la racine cherchée, lorsque cette racine est assignable exactement en nombres, et dans tous les autres cas, à une valeur de plus en plus approchée , elle ne laisserait rien à désirer dans la résolution numérique des équations, que l'on pourrait alors regarder comme aussi complète que l'extraction des racines : mais il n'en est pas ainsi. Malgré les efforts que llarriot, Ougtred , Wallis, Pell et d'autres , ont faits pour perfectionner la méthode de Viète , elle est toujours demeurée très défectueuse ; et Lagrange, en dernier lieu, a monti"é u qu'elle ne peut n réussir d'une manière certaine pour les équations dont n tous les termes ont le même signe, à l'exception du r> dernier tout connu ; car alors ce terme devant être n égal à la somme de tous les autres, on peut, par )i des tâtonnemens limités et réglés , trouver successiî"» vement tous les chiffres de la valeur de l'inconnue « jusqu'au degré de précision qu'on aura fixé. Dans i-> tous les autres cas, les tâtonnemens deviendront plus « ou moins incertains , à cause des termes soustractifs. t» Lagrange fait voir, de plus, que l'on peut toujours ramener une équation quelconque à cette forme , « pourvu » qu'on ait deux limites d'une racines, l'une en plus, « l'autre en moins, et qui soient telles, que toutes les )■) autres racines , ainsi que les parties réelles des racines ■)i imaginaires , s'il y en a, tombent hoits de ces limites. » Mais ces limites étant au moins aussi difiiciles à trouver que les racines mêmes de l'équation , la méthode donnée dans les Elémens , n° 221, est prtférable à cette recherche.

Bo ' COMPLEMENt

Des racines imaginaires en général.

S8. Oii a vu , dans le n° 36 , que les racines imaginaires des équations du quatrième degré pouvaient se distribuer par couples > tels que

en sorte que chaque couple donnait un facteur du second degré , dont les coefTiciens étaient réels.

Les analystes ont aussi reconnu que toute équation de degré pair est déôoraposable en facteurs réels du second degré. Voici la démonstration qu'en a donnée M. Laplace {Journal des séances de l'Ecole Normale , Leçons, i" édil., t. II ^ pag. 3i5, et Journal de l'École Polytechnique, 7® et 8' cahiers, pag. 56).

Il faut prouver d'abord que toute équation d'un degré quelconque p , aura un facteur réel du second degré,

SI toute équation au degré - — ^—, a un facteur réel,

soit dupremieY , soit du second degré.

Je représente par (P) l'équation du degré p , et ses racines par u, fi, y, <^, etc. Ceia posé, j'observe que les facteurs du second degré de cette équation , formés nécessairement par la multiplication des facteurs du ptemier degré , combinés deux à deux, seront

x^ — ( « -4- /3 ) a- + a/3 X^ — (» -^ y) X -{• ay

etc.

et dépendront par conséquent de la recherche des fonctions de la forme ««-4-/3 et ««/3, Ces fonctions seraient

CES ÉLÉMENS d'ALGÈBRE. Si

déterminées si l'on en connaissait deux de la forme

les lettres M et 3/' désignant des nombres donnés; car «n faisant

« + /3 + Mu/i =

+ /3 + il/«^

on trouverait

Mais pour parvenir à l'équation de laquelle dépend la fonction « -h /3 -\-Mu/3 , il faut former toutes les valeurs qu'elle prend, en y mettant successivement, au lieu de » et de /3, toutes les racines «c, /S, y , <^, etc. de la proposée, combinée deux à deux (8), ce qui donne

" ■ résultats , et fait voir par conséquent qua

l'équation cherchée, que je désignerai par (Ç) , mon-

terait au degré ^-—^^ -.

i". Si l'on admet d'abord que cette équation ait toujours une racine réelle, en donnant à M une infinité de valeurs, on formera une infinité d'équations semblables, dont chacune aura une racine réelle, renfermant une des combinaisons qu'on peut faire des racines de la proposée dans la formule x -\- là -\- Mttii ; or, le nombre de ces combinaisons étant limité , il faudra nécessairement que la même combinaison soit répétée plusieurs fois avec diverses valeurs de M. On peut donc affirmer qu'il existe au moins deux fonctions de la forme

contenant les mêmes racines « et .5, et dont les valeurs CompL des Élém. d'Ab^. 6

Çj COMPLÉMENl"

N et N' sont réelles; d'où il résulte que les valeurs

correspondantes de « + ^ et de cc/î le sont aussi.

2°. Si l'équation (Ç) n'a point de racines réelles , mais seulement un facteur réel du second degré, dont les racines soient imaginaires, en donnant à M une infinité de valeurs , on obtiendra une infinité de fonctions «-h/3 + Mcc/î, dont l'expression sera de la forme ^ i^y^ZI^. et on prouvera, comme ci -dessus, qu'il doit s'en trouver plusieurs qui ne diffèrent que par les valeurs de M. On aura donc

d'où on tirera