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En réunissant les termes réels entr'eux et les termes imaginaires entr'eux, on pourra représenter ces expressions par

2(C + DV/=^0 et E-{-F\/^i', et par là, lefacteur a:* — («+/3)x-h.*/3 deviendra

L'existence de ce facteur entraîne celle d'un autre, qui serait

car soit X—r/^ le quotient que donne l'équation (P), lorsqu'on la divise par le premier facteur : les

DES ÉLÉMEXS D'ALGÈBRE. 83

quantités X et V doivent être uéceseairement telles , que les parties imaginaires contenues dans le produit de ce facteur, par.Y— iV^, fce détruisent , puisque le dividende est entièrement réel; et si l'on multiplie le second facteur par X-flV^, on aura un nouveau produit, dans lequel la partie réelle sera encore la même que celle du précédent; et la partie imaginaire n'ayant fait que changer de signe, s'évanourra aussi.

En général , toute expression réelle qui a un facteur de la forme a -f- b\/^ , en a nécessairement un de la f(Tme a — b{/ — i.

Maintenant si les polynômes

et x'-.2(C— Z>v/— I ).r^E— F\/:^i

n'ont point de diviseur commun , il, renferment entre eux quatre facteurs simples de l'équation (P) , qui multipliés l'un par l'autre, donnent un facteur du quatrième degré dont les coefficiens sont réels, et l'on a montré, numéro 36, que toute équation du quatrième degré peut se décomposer en facteurs réels du second (*).

(•) On peat anssi former immédiatement deux facteurs réels da «econd degré, au moyen des facteurs iniaein.ircs rrmport.s cidessus. Il suffi, pour cela de décomposer ceux-ci dans leurs facteu.. du premier degré, qui seront de la forme

x-ic + D{/—) + >/7T7v^.

x-'C-\. DV^i) - \/* + &V-U

x~{C-DV-^) - \/.-.^V~i; grou[.ant ensuite le pramier avec Je troi.icme, et le second arec

Si les deux polynômes

ont un diviseur commun, en les mettant sous^la forme

on verra que ce diviseur doit être commun aussi aux deulquan'ités x»- ^C. ^. E et .Dx-F, et on eu conclura qu'il ne peut être que de la forme x-/ • on aura donc

J ,. nrpmiers multipliés eritr'cux , donnent im facteur '",Vu rcond'des.éfet en divisant réquaùon (P) par e troisième , on obtiendra , si elle est d'un degr;e pa,r , un nùÔ'ent de degré impair, qui aura lu>-men,e un fetiur ilel du premier degré , formant avec celur par