quatrième , en metunl pour les expreaions

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DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. 85

lequel on a divisé , un second facteur réel du deuxième degré. Il est donc bien prouvé qu'une équation (P) , de degi^ pair , aura au moins un facteur réel du deuxième degré, si l'équation {{)) a toujours un facteur réel , soit du premier degré, soit du second;

Sg. Cela posé, tout nombre pair étant nécessairement le produit d'un nombre impair multiplié par quelqu'un des nombres 2,4) ^, 16, etc* , c'est-à-dire par une puissance de 2 , sera compris dans la formule 2'"n , m représentant un nombre entier quelconque, et n un nombre impair; le degré de l'équation {Q) , expriraé-

en gênerai par '-—^ , sera donc égal a

= 2'"~'n (2'"rt — 1 ) ,

si'p^a*"/!. Faisant (2'"n — \)n = n, n sera encore un nombre impair, puisqu'il est le produit de deux nombres impairs, n et 2'"n — 1 -, et d'après ce qui précède , l'équation du degré 2"'/i aura un facteur réel du second degré , si l'équation du degré Q'"~'n a un facteur réel, soit du premier, soit du deuxième. Par la même raison, l'équation du degré 2'"~'n' aura un facteur réel , si l'équation du degré a'"~^n'(2'"~'/i' — i) ou gm— a„" ^ ^jj facteur réel , soit du premier , soit du deuxième degré. En continuant ainsi, on passera par une suite d'équations dont les plus hauts exposans seronl de la forme

les nombres n, n, n", n'",.... étant tous impairs , et on arrivera enfin à une dernière équation de degré impair, qui aura nécessairement un facteur réel du premier degré ( Èlém. 2i3 ) ; par conséquent l'avant-dernière ea.

aura un du second degré, ainai que chacune des autres , jusqu'à la proposée inclusivement. Si ï\)n conçgit ensuite que celle-ci soit divisée par le facteur du second degré dont on vient de prouver l'existence, le quotient «tant encore de degré pair, contiendra au moins un facteur réel du second degré, par lequel on pourra le diviser de nouveau. Sans qu'il soit besoin d'aller audelà, on voit qu'une équation quelconque d'un degré pair est toujours décomposable en facteurs réels du second degré ; et puisqu'une équatioji de degré ittipair se ramène à une équation de degré pair, en la divisant par le facteur réel qu'elle a nécessairement, il s'ensuit qu'une équation de degré quelconque ne peut avoir que des racines réelles ou des racines imaginaires semblables à celles des équations du second degré , c^ est-à-dire réductibles à la forme A it B y — i .

4o. Il semble qu'après avoir vu la forme des racines imaginaires des équations en général et celle des racines quelconques des équations des degrés qu'on sait résoudre , on doit revenir sur la remarque faite dans le n° 181 des Èlémens, que, si pour une équation algébrique quelconque il y a toujours une expression réelle ou imaginaire qui, soumise aux opérations indiquées dans celte équation, donne un résultat dont tous les termes se détruisent, la même équation sera nécessairement le produit d'autant de facteurs simples que son plus haut exposant renferme d'unités. La résolution des équations des quatre premiers degrés fait voir la vérité de cette proposition dans les équations même du cinquième , qui ont nécessairement une racine réelle ( Elémens 2i3 ).

Il est visible qu'en général la question se réduit à prouver que toute équation d'un degré pair a au moins

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une racine, soit réelle, soit imaginaire. La proposition du numéro précédent n'a été démontrée qu'en regardant l'équation proposée comme le produit d'un nombre de facteurs simples égal à l'exposant de son degré ; en sorte que la difficulté stbsiste- encore dans son entier. Il était nécessaire de l'écarter de? Élëmens , qui ne doivent contenir que les notions les plus évidentes ; mais il convient de la montrer toute entière à ceux qui ont déjà pénétré assez avant dans l'Analyse pour en saisir l'esprit. Si Ton n'a pas encore de démonstration complète à leur offrir de la proposition dont il s'agit , on peut du moins leur donner des raisons assez fortes pour qu'elle ne soit plus douteuse.

«L'esprit du calcul algébrique ( Lagrange , Delà n Résolution des Equations numériques, o.' édlt., p. 1 c5) n qui est indépendant des valeurs p.'irticulières qu'on peut n donner aux quantités , fait qu'on peut regarder tout )* polynôme ( x ""-f- etc. ) comme formé du produit >i d'autant de facteurs simples x — a, x — b, x — c etc. j» qu'il y a d'unités dans l'exposant m du degré de ce y* polynôme, quelles que puissent être d'ailleurs les » quantités a , b , c , etc. »

Développons un peu cette remarque.

La formule x — —{p-\- V^>^ — f/, qui représente les racines de l'équation x^ -i- px -i- q zr= o , ne cesse pas de le faire, quoique cette équation devienne absurde ; seulement elle se réduit alors à un symbole purement algébrique, qui ne correspond plus à auctme quantité existante, mais qui, étant soumis aux opérations indiquées dans l'équation , n'en rend pas moins la somme de tous les termes égale à zéro. Par cet exemple, on doit comprendre que s'il existe pour un seul cas une expression de la racine d'une équation de degré pair cette expression doit encore subsister pour tout autre

Or on a vu ( Elém. 214), que toute équation de degré pair a au moins deux racines réelles , lorsque son dernier terme est négatif; mais la valeur de ces racines dépendant de celle des coelTiciens de l'équation proposée , doit nécessairement être, composée d'une certaine manière avec ces coefficiens, ou en être une fonction^. Quoiqu'on ne puisse pas assigner la forme de cette fonction, son existence n'est pas moins évidente; la méthode des séries et le calcul différentiel fournissent les moyens d'en avoir des développemens. Cela posé, il est visible qu'elle doit encore subsister lorsqu'on y changera le signe du dernier terme de l'équation proposée, et qu'alors elle deviendra la racine de l'équation dont le dernier terme est positif; elle pourra, par ce changement, cesser d'être réelle, mais non pas d'exister comme expression analytique ; il sera donc toujours permis de la représenter par un symbole qui jouira des propriétés communes à toutes les racines des équations.

On pourrait opposer à ce raisonnement les remarques des numéros t'y et 69 des Élémens; mais on y répondrait en faisant observer que les exceptions indiquées dans ces remarques ne peuvent se rencontrer dans les équations algébriques à une seule inconnue. En effet, ces équations ne peuvent être identiques sans qu'on le reconnaisse à leur simple inspection; et il est évident {Élém. 2J2) qu'aucune valeur infinie n'y saurait satisfaire, lorsque leurs coefficiens sont finis.

41 . D'Alembert démontra le premier que les expressions imaginaires pouvaient toutes se réduire à la forme ^ rh /> \/ — 1 . La vérité de cette proposition , à l'égard des expre.s>ions résultantes des opérations algébriques , suit naturellement de ce qui précède; car en les éga-

Jant à des inconnues , et faisant disparaître les radicaux qu'elles contiennent, on parviendra à des équations dont les racines imaginaires seront de la forme....

On peut encore s'asaurer directement de cette vérité , en observant :

1*". quea-f Z? \/ ~— a'— y V' -^-f-a"4-i'V— ^-fetc. =(a—a'-f a^-fetcO+C^—i '4-6 ''4-etc.) \/^^i )

a», que (a-\-b V^^^) {.a'+h' \/^)

=aa—bb'-^(ab-^ab') \/^ ;

que

aa

•èV — 1 («'-f-A' V/— 0 ia—b' V^— 0

bb'

a'b — ab' /

4<'. que (a -h è V^^T = A-\-B \/^.

Pour prouver cette dernière proposition , on changera (a+t \/I^)"' en a'"(i-j--V^ — i)"" ; et en obsers'ant que

on verra que si on désigne par i un nombre entier quelconque , on doit avoir en général

go COMPLÉMENT

ce qui renferme tous les cas ; car il est évident qu'il n'existe aucun nombre entier qui ne soit compris dans l'une des quatre formules

c'est-à-dire qui ne soit divisible par 4> ou qui ne le devienne quand on en ôte i j ou 2, ou 3 unités.

Cela posé , on trouve par le développement de la puissance m du binôme ,