H etc

et en réunissant les termes affectés de y — i, qui sont ceux de rang pair, il vient

+(Tâ- .js ^+^"'-y— ■

Pour passer de ce développement à celui de

{ 1 \/ — 1 j , il suffit de changer le signe de la

quantité - dans tous les termes où elle se trouve élevée

DES ÉlEMENS D'ALGÈBRE. gi

à une puissance impaire , et on aura ainsi

m(m — ! ) 6^ . m(in — i ") (m — a) (m — 5) b^

1 ^ ^ il__JLi i etc.

/mb m(m — \)(m — 9) b^ , \./

— ( - + etc. )V—i.

Multipliant ces résultats par a"", et faisant

a'-'l i i^ ^ j__i il — ^-11 i etc. ) = yi ,

- + etc.) = Z?.

/rn b m(m — i)(rn — 0) b^ a'"[ ^^ ^

il viendra

Lorsque j'aurai fait voir que le développement de la puissance m du binôme convient également au cas où l'exposant m est fractionnaire ou négatif, il sera démontré, par ce qui précède, que, quelle que soit m,

(a 4- 6 \/^^i )•" = A + BV"^^\.

Au moyen de ces résultats, on ramènera à la forma A -\- B V — i toute expression résultante de la combinaison de plusieurs quantités de la forme a:^by — 1 , par addition , soustraction , multiplication , division et élévation aux puissances , soit entières , soit fractionnaires.

42. Il suit de la proposition démontrée n" 09 , que pour obtenir les racines imaginaires d'une équation quelconque , il faut la décomposer en facteurs du second degré- mais ce moyen exige la résolution d'une équation

jj j , m(m — i) ,,, , . ,

du degré —^^ (38), avant mmie qu on puisse

savoir si la proposée du degré m a ou non des racines imaginaires. Les géomètres ont cherché des méthodes pour reconnaître l'existence de ces racines indépendamment de la résolution d'aucune équation, et je vais exposer ce que Lagrange a trouvé de plus général à cet égard.

Si on désigne par rt, j3, y , ^, etc. les racines réelles d'une équation de degré quelconque , ses racines imaginaires pouvant être assemblées par couples de la forme a±zb\/ — 1, a'±.b'\^ — i, etc. (Sg), les différences des racines combinées deux à deux sei'ont nécessairement de l'une des formes suivantes :

« — /S entre deux racines réelles , «e — a-zçiby — i entre une racine réelle et une racine imaginaire,

(a — a)±.{b — b')y — i entre deux racines imaginaires de couples dilférens ,

S.by — 1 entre deux racines imaginaires du même couple.

En faisant les quarrés de ces expressions, on trouvera pour la première un résultat réel et positif, et pour la quatrième un résultat réel et négatif; les deux autres donneront des résultats imaginaires, à moins qu'on n'ait «=:a, ou a=za', ou b-=.b' -, mais chacun de ces cas introduit des racines égales dans l'équation aux quarrés des différences. Il suit de là qu'en faisant abstraction des racines égales , l équation dont les racines sont les quarrés des différences qui se trouvent entre celles de la proposée, aura autant de racines négatives que cette dernière a de couples dijférens de racines imaginaires^

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. gS

43. On voit, par ce qui précède, combien il serait à déairer qu'on eut au moins une règle sûre pour connaître, sans calcul, le nombre des racines positives et négatives d'une équation quelconque, puisqu'on serait alors en état d'assigner, au moyen de l'équation aux quarrés ùti différences, le nombre des racines réelles et celui ^S racines imaginaires de la proposée. Malheureusement la règle qu'a donnée Descartea pour remplir cet objet, généralisée autant qu'elle peut l'être, se réduit à ce que :

T'oute équation ne saurait avoir un nombre de racines positives plus grand que celui des variations de signe qui se trouvent entre ces termes , ni un nombre de racines négatives plus grand que celui des permanences du même signe; et si elle ne contenait que des racines réelles , elle en aurait précisément autant de positives que de variations de signe, et autant de négatives que de permanences du même.

Les variations de signes sont les changemens de 4- en — ou de — en -f-, qui ont lieu d'un terme à l'autre; et ily a permanence chaque fois que le signe d'un terme est le même que celui du précédent. L'équation

jr* — 8x^ + 7x* -h gx— 4=0, par exemple, a trois variations de signe, savoir, de -j- x^ à — 8x*, de — 8x^ à -|- /x*, et de + gx à — 4 ' du terme +7X' au terme -f-gx, il y a une permanence du signe -f-.

Parmi les diverses démonstrations qu'on a données de cette règle, je choisirai celle qui est due à Régner, parce qu'elle m'a paru la plus simple de toutes.

Soit l'équation

dans laquelle les signes -{- et — se succèdent d'une ma-

g4 COMPLÉMENT

nière quelconque ; en la multipliant par le facteur x — Uf

qui donne la racine positive x = ei, on aura

Les coefiiciens placés dans la première ligne de ce résultat, sont ceux de la proposée, pris avec le mêtne signe dont ils étaient d'abord affectés ; et les coefiiciens de la seconde ligne sont formés de ceux de la première , multipliés par «, mais pris avec un signe contraire, et reculés d'un rang vers la droite. Cela posé, tant que les coefTiciens supérieurs seront plus grands que les inférieurs, ils détermineront le signe du terme dans lequel ils se trouvent; et comme ils n'ont pas changé de signe, il y aura entr'eux les mêmes variations et les mêmes permanences que dans la proposée; mais le dernier ternie qr La ayant toujours un signe contraire à celui du coefFicient supérieur ±iU de l'avant-dernier, il en résultera une nouvelle variation que la proposée n'avait point.

Lorsqu'on rencontrera un coefficient inférieur de signe contraire à son correspondant supérieur, et plus grand que celui-ci , il y aura une permanence de la proposée qui se changera dans une variation; carie signe du terme où cela arrivera étant déterminé par celui du coefficient inférieur, sera contraire au signe du terme précédent, qu'on suppose le même que celui de son coelFicient supérieur.

On sentira la vérité de cette assertion, en observant <]u'on ne peut être obligé de recourir au coefficient inférieur pour reconnaître le signe d'un terme, que dans des cas semblables à l'un des* deux suivans ,

DES ÉLÉMENS D'aLGÈBRE. «5

en supposant qu'on ait /?«>5; l'ordre de la succession'

des signes sera dans le premier -\ , et dans le second