Je n'ai point écrit le coefTicient inférieur dans le

premier terme, puisque, par l'hypothèse, il n'influe point sur le signe de ce terme.

Il est donc évident que chaque fois qu'on descend da la ligne supérieure dans la ligne inférieure pour déterminer le signe, il y'a alors une variation qui ne se trouvait point dans l'équation proposée; et si après ce pas- ^ sage on reste toujours dans la ligne inférieure, on retrouve les mêmes variations et les mêmes permanences que dans la proposée, puisque les coefilcieiis de cette ligne ont tous un signe contraire à leur signe primitif. Quand ou remontera de la ligne inférieure à la ligne Éupérieure , il en pourra résulter ou une variation ou une permanence; car il n'existe aucune connexion entre le signe d'un coefHcient inférieur et celui du coefficient supérieur du terme suivant. Mais en supposant même que ce passage produisît dans tous les cas une permanence , comme le dernier terme de la nouvelle équation fait partie de la seconde ligne , il faudra toujours revenir au moins uue fois de plus dans cette ligne que dans la première , et par conséquent la nouvelle équation aura au moins une variation de signe de plus que la proposée : il en serait de même à chaque racine positive qu'on introduirait.

Si on multiplie ensuite l'équation proposée par le facteur x-\-tt, qui donne la racine négative xz=: — «, on aura

^m-t-.-+-pi j.m-f-,^ 1 r""-' ...±.U 'ix±.Uu]^ __

Les coefficiens placés dans la première ligne sont encore ici les mêmes et de même signe que dans l'équation

gS COMPLÉMENT

proposée; ceux de la seconde ligne sont aussi formés de ceux de la première , multipliés par <* et reculés d*uii rang vers la droite -, mais dans le cas actuel , ils ont conservé leur signe primitif.

En raisonnant comme ci-dessus, on verra "que chaque fois qu'on sera obligé de prendre le signe du coefficient inférieur, on obtiendra une nouvelle permanence qui n existait point dans la proposée. Les exemples ci-joint*

analogues à ceux qu'on a donnés plus haut, rendront cette conséquence bien évidente, puisque Rcc étant plu» grand que S , on aura dans l'un + + , et dans l'autre — . — . Lorsqu'on remontera de la ligne inférieure dan» la ligne supérieure , il en pourra résulter indifféremment ou une variation , ou une permanence ; mais en accordant que ce soit une variation qui ait toujours lieu, on pourra, malgré cela, conclure que le nombre des permanences sera au moins augmenté d'une unité, puisque le dernier ternie se trouvant dans la seconde ligne , forcera toujours à revenir à cette ligne au moins une fois de plus que dans l'autre. Il suit de là que chaque racine négative donnée à la proposée apportera avec elle au moins une permanence. En rapprochant cette conclusion de la précédente , on verra que le nombre des racines positives d'une équation quelconque ne saurait surpaS" ser celui des variations de signe quelle renferme , et le nombre des racines négatives celui des permanences.

Si l'équation proposée n'avait ^ue des racines réelles, on prouverait aussi par là qu'elle doit avoir précisément autant de racines positives que de variations, et autant de racines négatives que de permanences. En effet, quel que soit le nombre de variationi et le nombre de perma-

Ï)ES ELÉMENS d'ALGÈBRE. Cfl

nences qu'ait apporté chaque racine positive et cliaquo racine négative , le nombre des unes et des autres , dans le résultat final, doit être égal à celui des termes diminué de l'unité , ou à l'exposant du degré de l'équation, ou enfin au nombre des racines ; mais les variations ne sont produites que parles racines positives, et les permanences que par les racines négatives : il faut donc qu'il y ait autant de variations que de racines positives , autant de permanences que de racines négatives, et vice versa.

44- Les racines imaginaires modifient cette proposition, parce qu'elles ont lieu, soit avec des variations , soit avec des permanences. Cela i.e voit sur l'équation même du second degré x"± apx -f-^ = o, dont les racines sont imaginaires, quelque signe qu'ait p^ tant que p* est moindre que q.

On peut assez souvent reconnaître immédiatement la présence des racines imaginaires par la règle cidessus , lorsqu'une équation manque de quelques termes. Dans l'équation x^-^px-\-q = o , par exemple, si l'on remplace par io.x* le second terme qui manque, il vient

x^ ± O . X* -j- px -{- (7 = o ;

et quand on n'a égard qu'au signe supérieur, on ne trouve que des permanences , tandis que le signe inférieur donne deux variations. Ces résulta|p, dont l'un semble indiquer trois racines négatives , et l'autre deux racines positives , ne s'accordant point entr'eux, font voir que la proposée a des racines imaginaires. Si on avait

x^ — px -\- q ^= o, *

en l'écrivant ainsi ,

x^dro.x* — px-\- q:=zo , Compl. des Elém, d'Alg. 7

gS . COMPLÉMENT

quelque signe qu'on employât, on trouverait toiijo«r» deux variations et une permanence : l'accord de ces résultats prouve que cette équation peut avoir ses trois racines réelles , mais non pas qu'elle les ait en effet; car on sait d'ailleurs que cela n'arrive que quand -—p^ ^i <?*•

45. Cela posé , je désigne par (D) l'équation au quarré des différences (42) , qu'on peut former d'après Je n" 9. Il est évident , par la règle du n° précédent, que si tous ses signes sont alternativement positifs et négatifs, c'est-à-dire si elle, n'a que des variations, elle n'aura que des racines réelles et positives, et toutes celles de la proposée seront réelles. En effet, si celle-ci avait des racines imaginaires , parmi les racines de l'équation (D) , il s'en trouverait nécessairement de réelles et négatives (42); elle aurait donc des permanences, ce qui est contre la supposition.

Le dernier terme d'une équation étant , comme on sait, le produit de toutes ses racines prise» avec un signe contraire , sera négatif, si le nombre des racines réelles positives est impair ; car le dernier terme du produit d'un couple de racines imaginaires est toujours positif. En appliquant cette remarque à l'équation (D) , on verra que si son dernier terme est négatif, elle aura un nombre de racines négatives pair ou .impair, selon qu'elle sera d'un degré impair ou pair. Dans le premier cas , la proposée aora un nombre pair de couples de racines imaginaires , et xin nombre impair dans le second. En général, il suit de la nature des racines de l'équation (D) et de ce qu'on a vu n° 4^) ^"6 1^ proposée ne saurait avoir plus de couples de racines imaginaires qu'il ne se trouve de permanences de signe dans l'équation (D).

Les considérations précédentes ne mènent encore qu'à s'assurer si une équation donnée a des racines ima-

DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. Vjg

iginaires, et à trouver une limite que leur nombre ne puisse excéder; mais en suivant l'esprit de la méthode , enfermerait de nouvelles équations auxiliaires, les unes qui ne pourraient avoir de racines négatives qu'autant que le nombre des racines imaginaires de la proposée ne serait pas moindre que quatre, les autres qu'autant qu'il ne serait pas moindre que six, et ainsi de suite. Il faudrait former, dans le premier cas, l'équation qui donne les quarrésdes différences qui se trouvent entre les sommes des racines ajoutées deux à deux; dans le second , celle qui donne les qiiarrés des différences qui se trouvent entre les sommes des racines ajoutées trois à trois, etc.

4S. Si on parvenait à trouver d'une manière quelconque les racines négatives et inégales de l'équation (D), on en déduirait les racines imaginaires de la proposée. En effet, en substituant dans cette dernière a-j~b\/ — 1 au lieu de or, et en égalant séparément à zéro la partie réelle et la partie imaginaire, on aurait deux équations pour déterminer les inconnues a et b; mais si on connaissait à priori la valeur de b, et qu'on la substituât dans l'une et dans l'autre de ces équations , a serait donné .par le diviseur commun des deux résultats, égalé à zéro {Élém. 189). 0r, en nommant -;-z' l'une des racines négatives de l'équation (D) , cette racine exprimera le quarré de la différence entre les deux racines imaginaires comprises dans la formule cité ^ — i,et on aura par conséquent .

lOO COMPLEMENT

De l'extraction des racines des quantités en partia commensurables et en partie incommensurables.

47. On a vu dans les numéros 29 et 3i , combien il pourrait être utile de savoir quand une expression compliquée de radicaux est une puissance parfaite ; aussi les analystes se sont-ils occupés de la recherche des caractères auxquels on reconnaît ces puissances.

Soit \a-\- {/b ; l'expresion 0+ yb ne peut être quelequarré d'une autre de cette forme, \/u4-\-[/B, dans laquelle se trouve comprise celle-ci , ^'4- \/B , en supposant que ^=^'^. Cela posé, on aura

comparant d'un côté Ja partie commensurable, et de l'autre la partie incommensurable , on formera les deux équations

a^A + B, \/b=i2\/ÂB;

quarrant de nouveau , il viendra

a^ = A'-\-QAB-\-B\ bz=4AB;

retranchant la seconde équation de la première, on aura

a-'—b = A^ — 2AB-\-B^;

et prenant enfin la racine quarrée de chaque membre d« cette dernière, on en conclura

Si l'on combine cette équation avec a = A-{-B , on en tirera les valeurs

^^ia + îV^^^^^^, B=:ia — l{/a'^ — b, ^'après lesquelles les quaatités ^ et ^ ne peuvent être

DES ÉLÉMEXS u' ALGEBRE. loi

rationnelles comme on le suppose, à moins que a* — b ne soit un quarré parfait.

Soit pour exemple V 7 + V 4^'> on aura

Soit encore l'expression littérale

équivalente à

\/4mn -\- \/ — 4 ( Tn + /i )- ( m — n )* -, il viendra pour cet exemple

az=^Tnn, b = — 4('" + ")"(^ — ^Tj a' — b= 4/7i\-f Sm'rt^ H- 4/i« = 4 ( m» + n« )*, \/A=\/amn-^m''-\-n' , \/ Ji=z \/ u.mn — rri^ — /î%

Enfin si l'on avait on trouverait •

Quand, au lieu de Va + V/ 6 on a y a — V^^ il faut prendre ^A — \/Z>, A et B conservant les mêmes valeurs que ci-dessus.

Dans ces deux cas, la racine «cherchée est double, comme toutes celles du second degré ^ car on a dans

le premier cas

■^V^Â+^/b, ou —}/—\/'B,

et dans le second ,

-^-X/—x/b ou —\/Â+\/B.

48. Je vais chercher actuellement les cas ou il est possible d'extraire la racine cubique d'une expression

de la forme a -f- \/ b. Pour y parvenir, il faut décou-» vrir la forme que l'on doit donner à cette racine. On ne peut supposer qu'elle soit \/ A-]ry B , carie cube de celte quantité étant

A \/Â + '5Av'B'\''5B\/1+B\/~B ■=.(^A + oB) VA -\-{'5A+ B )Vb,

contient deux radicaux quarrés essentiellement différens , Il n'en sera pas de même de la forme A -j- \/ B » mais pour la généraliser un peu, j'écrirai

son cube sera alors

€iA^ + 5A' {/B-i- 3AB-\.B[/b).

En comparant la partie rationnelle de cette expressioa avec a, et la partie irrationnelle avec yb, je trouverai les équations

ar=C(A^-i-3AB), \/bT= C(5A^-\-B)\/B;

quarrant l'une et l'autre , j'obtiendrai

a^7=^ O (^A^ -{- GA^B -f- ^J^B' ),

DES ÉLÉMEiNS D'ALGEBRE. lOû

d'où Je conclurai

•t par conséquent

La lettre C étant indéterminée, on peut en disposer pour que la quantité (a" — Z» ) C soit un cube parfait; lorsque cette détenninatiou sfra efFecftuée, on aura,

en taisant pour abréger — =zc , \ équation

A^— B ~c, d'où

substituant dans l'équation a =: C ( y/^ -f- 3AB ) , il viendra

4CA^ — ZcCA — a — o.

Cetf^ dernière aura nécessairement une racine conimen- *urable, si y^ etZÎ sont rationnels.

En prenant pour exemple la quantité 2. -{- w y — i du n° 29 , il viendra

a = 2, iiV/ — \^=^\/b on b-=. — 121, a' — 6 = 125,

Le nombre 126 étant un cube parfait, on pourra faire C = 1 , et on aura

c = 5, A^ — B = 5 et 4A^—i5A — 2 = o.

L'équation en A ayant pour diviseur commensurable

ui-—2., donne

A = a; puis on trouve

B = 4 — b = —i, d'où il résulte

on obtiendrait par le même procédé ,

Soit encore la quantité 52 -}- 3o \/3 , qui donne a = b2, {/b =:z5o\/5, a'' — b = 4.

Ici, pour rendre ^C un cube parfait, il faut faire C=r2 ; il vient ensuite

Maintenant si l'on pose Q.A=zy , on aura l'équation

dont y — 4 ^st "'^ diviseur, et l'on arrivera enfin à

d'où

49. Ces exemples suffisent pour montrer comment on peut parvenir à extraire une racine quelconque d'une expression irrationnelle donnée. La difficulté consiste à deviner la forme sous laquelle cette racine doit se présenter ^ et lorsque cette forme est trouvée, et qu'on ea

DES ÉLÉMENS d'ALGÈBRE. loS

compare la puissance avec l'expression irrationnelle proposée, on obtient des équations en nombre égal à celui des indéterminées , et qui doivent conduire à une équation finale ayant des diviseurs commensurables.

Ainsi, pour ramener à la forme (^+V-^')r^

l'expression \a-\- \/6, on aura

a-\- \/b = C{A-\' }/~B y, équation qui se partagera dans les suivantes :

^:^cf^>.4.^il^>.-^^+"^"-')("-|)fe:g2^''-4g^+ etc.) ,

D'après ces valeurs , il est visible que

a = \C{{A+ y/B Y-{-iA— VTiY}, Vb = {C [ (A+\/Br-iA- V^U)"}; et comme

— (^+ \/7Jy''+2{A'—By—iA—\/By'']>

on aura , après les réductions ,

a}—h—0(^A^—By, ou A^—B=\J—7-r-'

ir faudra donc premièrement, par une détermination

. , a" — h convenable de C , rendre la quantité — j-— une puissance exacte du degré n ; lorsque cette condition sera remplie, on aura une valeur rationnelle de B , qui, substituée dans l'expression de A ^ devra conduire à une

équation ^yant des diviseurs commensurables , si A peut'

être rationnel.

De l'abaissement des équations.

5o. Il y a des circonstances oii une équation peut être ramenée à un degré inférieur à celui sous lequel elle se présente; cela arrive toujours lorsqu'il existe entre ses racines des relations particulières, ou qu'elle devient divisible par un facteur rationnel. La recherche des caractères' auxquels on reconnaît qu'une équation est susceptible d'abaissement, et celle des moyens d'effectuer ces abaissemens , font partie de la résolution des équations ; c'est pourquoi j'en traiterai succinctement ici. Je supposerai d'abord qu'on ait l'équation

x^ -f- px^' -f- <J^^ -\~ rx -}- s :=: o ,

dont les racines soient représentées par a, b, c et d , et qu'on sache qu'entre deux de ces racines il existe une relation indiquée par l'équation ma-^nb ^=zk , m, n et k étant des quatitités connues, on pourra trouver a et b d'une manière fort simple ; car a et b étant les racines de l'équation proposée, on aura

a^ -vf- pa"' + x}a^ -\- ra -^ s ■-■= o , b^ -\- pp -j~ qb^ -\- rb -{- s := o -f

mais si de la dernière de celle-ci on élimine b, au moyen de l'équation ma-^nb = k , l'équation résultante devra nécessairement s'accorder avec l'équation a^ -f- pa^ -\- qa'' -j- ra -}- s = o ;

et puisque l'une et l'autre seront satisfaites par la même valeur de a, elles auront un facteur commun qu'on obtiendra en cherchant leur plus grand commun diviseur,

DES ÉLÉMEXS d'ALGÈBRE. I07

«tqui fera connaître la valeur de a {Èlém. 189) : oa frouverait h de la même manière. Il convient d'observer que dans le cas où les deux racines a et è entreraient semblablement dan:; la relation donnée , ce qui arriverait si on avait m = n , d'où il résulterait

le diviseur commun dont je viens de parler monterait au second degré. La raison de ce fait est facile à apercevoir; car alors, soit qu'on élimine a, soit qu'on élimine b, on tombe sur des écjuations semblables, et qui par conséquent doivent conduire à une équation donnant en même temps l'une et l'autre de ces incon-* nues , ou avant deux racines.

Si la relation proposée était la-\'mh-\-nc::^k , on y joindiait les équations

a* -f- pa^ + qa^ -f- ^^ + ^ == o < b^-\-pb^-\-qb^-\-rb-{-s — o, ci -\- pc^ -f- ^c" 4- rc + 5 = o i

et éliminant, au moyen des deux dernières, 6 et c de l'équation la-\-mb-^nc = k, on parviendrait à une équation finale qui, ne renfermant plus que a, aurait nécessairement, avec a^ -\-pa^ -\-qa^-\-ra-]- s ^=. o , un diviseur commun qui déterminerait a : on trouverait t et c d'une manière semblable. Si on avait l=^m, ce qui changerait la relation donnée en l(a-\-b) -\-nc=k , comme il serait indifférent d'y écrire a pour b et b pour a, le diviseur commun qui donnerait a, donnerait aussi è, et serait par conséquent du deuxième degré. Enfin dans le cas où la relation donnée serait. . . . /(a-|-6-f-c) = A, les trois racines a, b , c entreraient dans le même diviseur commun , qui serait par çonâéquent du troisième degré.

io8 COMPLÉMENT

Ce qu'on vient de lire par rapport à l'équation drf quatrième degré et à des relations exprimées par des équations du premier, peut s'appliquer à im degré et à des relations quelconques; et on en conclura qu'il faut traiter chacune des racines qui entrent dans la relation donnée comme une inconnue distincte , former les équations résultantes de leur substitution dans l'équation proposée, et joindre ces nouvelles équations avec celle qui exprime la relation donnée, puis éliminer ensuite toutes les inconnues , hors une, que l'on conservera en même temps dans deux équations , lesquelles admettront par conséquent un diviseur commun , qui , suivant le degré dont il sera , fera connaître une ou plusieurs des racines comprises dans la relation donnée.

5i. Je prends pour premier exemple l'équation du troisième degré

cc^ -\- px^ — q'^x — q'^p ■=. o ,

et je suppose que l'on sache d'avance que parmi srs racines, il y en a. deux qui sont égales, mais de signe contraire : en nommant a et b ces deux racines, on tirera d'abord de l'équation proposée

a? ~\- pa' — q^a — q^ ■== o , b^ -f pb^ — q^b — qy — o.

La relation donnée entre a et & fournit de plus cette troisième équation, b= — a, en vertu de laquelle la seconde devient

— a^ + pa"- + 9=a — q'p = o ,

on en changeant tous les signes à la fois, et mettant x pour a ,

x^ — px^ — q^'x + q^p r= o.

Cherchant ensuite le diviseur commun à cette dernière

équation et à la proposée , on trouve

x' — q\ ce qui donne

x* — q^ :=:o y ou

X ■= -^ q et xr=: — q.

Le diviseur est du second de^ré, car la relation b-= — a, équivalente à a-\-b=.o, demeure la même lorsqu'on y change a en 6 et 6 en a (5o).

La question précédente aurait pu se résoudre de cette autre manière : le facteur qui renferme les deux racines a et b étant a:* — (« -f"^)-^~f" "^ > devient x^ — a", lorsqu'on y suppose, d'après la relation donnée, è= — a; il faudrait donc, si a était déterminé convenablement, que l'équation proposée fût divisible par a:" — a^. Or, après avoir poussé la division par ce facteur aussi loin qu'il est possible , on a pour reste

— (^ q^ —■ a^) X — i q'p — ay) ,

quantité qui , devant être nulle indépendamment de x (^Elém. 210 ) , donne

la seconde de ces équations est identique avec la première , dont on tire

q' = a\ et par conséquent

comme ci-dessus.

Il sera facile, avec un peu d'attention , de reconnaître que cette dernière méthode, généralisée convenablement, doit résoudre toutes les questions relatives à l'abaissement des équations.

ÎIO COMPLÉMENT

52, Si les deux équations q'^ — a^'^o et q^p — a*pr=o ne s'étaient pas trouvées comprises l'une dans l'autre, l'équation proposée n'aurait pas été divisible par un facteur de la forme x"^ — a% et il n'y aurait pas eu par conséquent entre deux de ses racines la relation qu'on supposait exister; mais si les quantités p et q , ou en général les coefficiens de l'équation proposée, eussent été indéterminées , on aurait pu les déterminer de ma-» nière à satisfaire à cette condition. Les mêmes circonstances se rencontrent dans le premier procédé , car on pourrait éliminer a et b des trois équations

a^ -f- pa'^ — ^°û! — q'^p = o ,

b^ -^ pb^ — q^b — q^p = o ,

et il existerait encore une équation entre p et q , qui se trouverait identique dans le cas actuel , parce que l'équation proposée satisfait à la condition donnée , mais qui , si cela n'avait pas lieu, exprimerait la relation qu'une pareille condition suppose entre les coelliciens de l'équation proposée.

53. On a vu dans le n° 2o5 des Élémens , que lorsqu'une équation avait des racines égales , elle était susceptible d'abaissement- c'est aussi ce qu'on peut prouver par les considérations précédentes.

L'équation x^-\-px^-j-qx^-\-rx-{-s=:o , par exemple, fournissant, entre deux quelconques a et 6 de ses racines, les équations identiques

c^ -1- pa" -{- qa^ -f- m -|- .y = o , hi -j- pb^ -f- qb^ ^rb-lrsz=o^

eonduit à

DES ÉLÉMENS D'ALGEBRE. IIX

divisant ce résultat par a — b , on aura l'équation

qui devient

4a' + Spa" + zqa + r r= o ,

lorsqu'on suppose a-=b: il faut donc que, dans cette hypothèse , les équations . «

a^ + peu' + qa"^ -\- ra -\- s ^= o , ^a? -j- 3pa^ + 2.qa -\- r -=■ o

aient entre elles un diviseur commun. En suivant cette voie, on parviendrait, avec le secours de la proposition du n° i58 des Élén\ens, au résultat du n" 2c5 du même volume.

On peut encore trouver les racines égales, en considérant qu'une équation qui a deux racines égales est nécessairement divisible par un facteur de la forme

X* 2ccX -f~ ** ■>

par un facteur de la forme

si elle a trois racines égales, et ainsi de suite.

On parvient à un résultat plus élégant et plus général , en cherchant ce que devient alors la fonction dé- «ignée par (yf) dans le n° 4-

Si l'équation proposée est de la forme

(x— a)"(x— 6)P(x— c)î X{oc-'^){x—h)—o ,

c'est-à-dire si elle a n racines égales à a, p égales à b, q égales à c, etc., lafonction {j4), qui exprime la somme des divers quotiens qu'on' obtient en divisant l'équation proposée par chacun de ses facteurs du premier degré ^

devient visiblement égale à

n(x^ay-'{x—by (x—cy. . . . .{x—g)ioc—h)

^plx—ay lx—by-\x—cy {^—gKx—h)

j^q(^x—ay {x—by (x—c)^-', . . .{xs^ix—K)

-| (^x—ay {x—by ipc-^cy. ix—lï)

+ Ix^ay {x—by {x—cy (^— g).

en observant que les facteurs égaux donnent le même quotient, répété un nombre de fois égal à leur degré de multiplicité ; et on reconnaît à l'inspection de cette quantité , que tous ses termes ont , pour facteur commun , le produit

(x — c)"-* {x—by-' {x — cy-\

Mais si l'on substitue dans l'expression de la fonction {A) les valeurs trouvées pour les coefliciens qui y multiplient les diverses puissances de x, elle deviendra alors

mx'^-'-f-C/n — i)Px'"-*-f-(m— 2)Ç-c"'-\ . . . . + T;

il suit donc de là que , quand la proposée aura la forme qu'on lui a supposée plus haut, les deux quantités

X'" -f Px"--' -f- Çx'"-^ .... -h Tx+ U , • mx-^-'+Cm— i)Pa;'"-*-f-(m— 2)Çx"'-3 -^T

auront pour diviseur commun le produit

(x — c)"— {x — by-' {x — cy-\ ....

qui renferme tous les facteurs égaux, élevés à un degré moindre d'une unité que dans .l'équation proposée.