L'équation

x^ ■'{-px^ -\- qx^ + rx^ -f- qx'^ -|-px -{- 1 = o

offre un exemple du cas où la forme même de l'équation proposée fait découvrir yne relation entre ses

DES ÉLÉMENS D'aLGÈBRE. ^J

racines. Elle demeure la même lorsqu'on y met 1 aii

lieu de a:, et se trouve seulement écrite dans un ordre mverse; il faut donc conclure de là que si a est une de

«es racines, i en e.t une autre. En nommant c une racine différente des deux précédentes, elle aura encore une correspondante 1; et enfin e étant une racine distincte des quatre que je viens d'indiquer, donnera une sixième racine i. On voit pat là que si on désigne

par a, ^», c, rf, e, /, les six racines de la proposée on aura entre elles les relations suivantes, '

ou a3 = i, cd=zi, ef=i.

Il n'est pas nécessaire d'employer ici le procédé du n 5o; car il est évident qu'en combinant chacune de, racines a, c, e avec sa correspondante, pour en former un facteur du second degré de la proposée, on aura ces trois facteurs :

dans lesquels il n'y a d'inconnu que le coelTicient du second ternie. Si donc on le désigne par z, l'inconnue zne dépendra que d'une équation du troisième degré, dontles racines seront a + 1 , c -f- 1 , e -f i. Quoique Compl. des Éltm. (TJ/g. ^ g

ces fonctions ne paraissent pas d'abord renfermer toutes les permutations que leur forme permet de faire entra les racines, il est facile de s'assurer que celles qu'on néglige n'en sont que des répétitions. En effet, en ne supposant aucune relation entre c, Z>, c, d, e, f, on aurait

mais puisque j dans l'hypothèse établie,

les fonctions delà seconde ligne deviennent égales à celles de la première, et par conséquent l'équation du sixième degré, qui donnerait ces six fonctions pour le cas général (8) , doit s'abaisser ici au troisième degré (53).

55. On peut former cette dernière très-simplement , en divisant par x' tous les termes de l'équation proposée

x^ + px^ + 9^^ 4" ^^^ ~f" ^-^^ -{- P-^ + ï = o * et en réunissant ceux qui sont également éloignés de» extrêmes, ainsi qu'on le voit ci-dessous :

Maintenant si l'on fait x-\--^=z^on aura

(x + !)•=.% ou a-+a + ^ = J%

DES ÉLÉMENS D*ALGÈBREi ij^

dont on tirera puû

donnera

et mettant a au lieu de x -f- -, il viendra

Substituant ces valeurs dans l'équation

on trouvera

Lorsqu'on aura déterminé z par cette équation, il ne testera plus, pour obtenir les racines de la proposée qu'à résoudre les trois équations du second degré

dans lesquelles z', z\ z*, représentent les trois valeurs de 2, et qui se déduisent de :r -i- -z=z. Les remarques précédentes , sur l'équatioa ^'-^px^' + qx^ + rx-^ + q^^^p^.^^^^^

conviennent à toutes les équations dans lesquelles les termes placés à égale distance du premier et du dernier ont les mêmes coeffîciens, et qu'on appelle équations

llÇ COMPLÉMENT

réciproques, parce qu'elles ne changent pas lorsqu'on y

substitue - au lieu de x.