Soit l'équation générale d'un degré pair

x"'" + px^""-' + qx""-^. . .. 4- çx* + px + a = o ;

on la divisera par a;"", et réunissant les termes également éloignés des extrêmes , on aura

On fera encore x -^ — = z , et il ne s'agira plus que d'en tirer successivement les valeurs des fonctions

or c'est à quoi l'on parvient sans peine en observant que car on tire de là

relation au moyen de laquelle l'une quelconque des fonctions ci-dessus se déduira des deux qui la précèdent. En partant de

€t faisant n==o, i , 2, 3, etc., on trouve

DES ÉLÉMENS D'aLCÈBRE.' ll)f

ar^ + — = z+ — 4^^ + 2, a;^ -}r. — ^ = 2,5 — 52^3 I 5^

etc.

H est évident, par la marche de ces expressions, que l'équation proposée du degré am sera ramenée au degré m . Si elle était d'un degré impair , qu'on eût , par exemple ,

x^ -f- px^ -\-'qx^ -4" 9-^* 4~ P-^ + 1 = o j

on l'écrirait comme il suit :

x^ 4- 1 -H p.r ( x^ + 1 ) + çx* ( X -f- 1 ) = o ,

ce qui ferait voir qu'elle serait divisible par x-j- 1 j et la division faite, on aurait pour quotient

équation réciproque du quatrième degré.

Il sera facile d'opérer sur toute équation réciproque de degré impair, comme sur celle du cinquième degré.

Un examen approfondi de la série des valeurs de

x^-\ ~ rapportées précédemment, en a fait conclure

par induction que

et rien n'est plus aisé que de le vérifier au moyen de l'équation C^; car en y substituant ce développement et celui qui en dérive , lorsqu'on change n en n — i ^

ï 1 8 eOMPLÉr*ÏENT

puis réduisant ensemble tous les termes aîFeétés de l«i

même puissance de z. , il viendra

;^»--'4- ~- =z»-^«--(-:!±l>^-'+(.^±il^^."-3-etc. .

oc"-*" 1 1.2

résultat qui n'est autre que ce que devient l'expression

de a;" -f -, quand on y change n en n. -}- i , et d'où

il suit que la loi indiquée ayant lieu pour les valeurs n=4 et n=5, par exemple, aura lieu lorsque n=6, et ainsi de proche en proche, pour un nombre quelconque entier et positif. Bien entendu aussi qu'on ne poussera pas la série jusqu'à ce que l'expoSant de 2^ y devienne négatif (*).

bj. Ce qui précède s'applique à l'équation

déduite de l'équation j/'" — i =o divisée par^ — i , et qui renferme les m— i racines de l'unité , différentes de 1 (Élém. iSg). 11 se présente d'abord deux cas à examiner, savoir, celui où l'exposant m est pair, et celui où il est impair.

Dans le premier, le nombre jn — i étant impair, l'équation ^'"■~' -f-J''""^ 4~ etc. = o est divisible par y + 1 , et donne pour quotient une équation réciproque du degré m — 2 , laquelle se ramène à une équation en

z du degré . On peut aussi parvenir immédiatement à l'équation du degré m — 2 en y , en observant que, puisque la puissance m est paire, on satisfait à l'équation j'" — ir=o en faisant y^=±i, et que

(*) La recherche de cette loi appartenant au Calcul aux différences, se trouvera avec pJus de de'veloppemens dans le 3^ vo- Jume du Tiaité du Calcul différentiel et du Calcul i^ntégraL

DFS ÉLÉMEN'S D'aLGÈBRE. lig par conséquent cette équation est divisible par ^

Lorsque m est impair , l'équation ^

^m— 1 j^m-a ^ g|.ç __ Q ggj réciproque et de degré pair, et on en tire une équation en z du degré m — 1

De ces deux cas, le dernier est le seul auquel il soit nécessaire de s'arrêter , puisqu'il suffit de connaître les racines de l'équation^"" — 1=0, lorsque m est premier et par conséquent impair, pour obtenir celles des autres équations de ce genre (17) ; mais comme ce n'est qu'en s'appuyant sur certaines propriétés des nombres premiers que l'on peutrésoudre l'équation du degré m — 1 , qui contient toutes les racines imaginaires de la précédente^ j'en renverrai la recherche à la fin de cet ouvrage , où je ferai connaître la découverte remarquable de M. Gauss, sous la forme simplifiée que lui a donnée Lagrange (*).

58. Les équations ab=zi y cd= i , ef= i, du n° 54, peuvent être regardées comme n'exprimant qu'une seule relation commune aux trois couples a et b, c et d, e et f des racines de la proposée. En généralisant ce point de vue, on peut se proposer d'abaisser une équation d'un degré pair dont les racines^ distribuées par couples , auraient dans chacun de ces couples une relation donnée ; et l'on y procéderait comme nous allons l'indiquer.

Soit l'équation

X''' -h Pjc'"-' -h Qx'"-^ .,. . .+ U=o,

C') La considt'ratiçn des propriétés du cercle donne, pour loas les degrés, des expressions des racines de l'unité', qu'on trouver.t dans V Introduction de moa Traité du Calcul dij^crentieletdu Calcul intégral.

telle qu'on ait entre deux de ces racines a et ô , une équation quelconque, commune aux couples c et d y e et y, etc.; on fera a-\-b = z, puis substituant à la place de b sa valeur 2S — a dans l'équation donnée entre. a et b , et éliminant a entre cette dernière et l'équation

c'" 4- Pa'"-* + Ça^»-^ + ï/=:o,

on formera celle qui doit déterminer z. Mais il est -visible qu'en opérant de même sur chaque couple de racines, désigné ci-dessus, on trouvera toujours la même équation en z ; qu'ainsi cette équation doit comprendre au nombre de ses racines les n sommes fournies par les couples qui satisfont à la relation donnée ; or, ces sommes font également partie des racines de l'équation formée en prenant pour l'inconnue z la somme de deux quelconques des quantités a, b, c, d, etc. : cette dernière, qui s'obtiendrait par le procédé du n° 8 , aura donc avec la précédente un diviseur commun du degré n, qui fera connaître les valeurs de z relatives aux couples désignés ci-dessus (*).

(*) La première équation eu z peut aussi se former par ses racines, qui s'obliennent en faisant passer successivement toutes celles de la proposcc dans l'equation entre z et «, déduite delà relation donnée. Si , par exemple, entre les quatre racines a, b,c, <1, on avait les relations è = a' , <^= c^ , on trouverait les quatre valeurs.

is = rt -f- rt% z =z b -^ b^, z ■= c -\- c^, z = d + d',

dont la première et la troisième seules expriment la somme d'un couple des racines de la proposée.

Si la relation donnée était syme'nique entre les racines qu'elle contient, plusieurs des valeurs de z deviendraient égales enir'cilcs,

La seconde équation en z pourrait à son tour s'obtenir pnr l'tlimination de a et de b entre les équations

« = rt -{- i ,

a'" 4- Pa-"-' -f U — o,

lin ^ pifïH-, . . . ,-f- [/ =: o.

DES ÉLÉMEXS d'ALGÈBRE. 121

Lorsqu'on connaîtra z , on aura le deuxième terme du facteur du second degré , formé avec les racines a et b de la proposée, et qui est

X* — {a -\- b) X -\-ah ou x'^ — zx -\- ab;

puis pour obtenir ab , que je représenterai par q , on divisera l'équation proposée par o:^ — zx-f-ç, et quand on sera parvenu au reste , on égalera séparément à zéro les deux termes de ce reste {Èlémens, 210 ) : les deux équations qu'on se procurera ainsi , ne renfermant que la seule inconnue q , doivent nécessairement avoir un diviseur commun, dont on tirera la valeur de cette inconÉUe.

69. De même , si l'équation proposée était du degrç on, et que ses racines fussent assujéties, trois par trois, aune relation donnée, c'est-à-dire que cette relation ayant lieu entre les trois racines a , 6 et c , subsistât aussi entre d, e et f, et ainsi de suite, on ferait a-\-b-{-c-=.z; et mettant pour c sa valeur z — a — b dans l'équation qui exprime la relation donnée, on éliminerait ensuite a et è au moyen des équations

a-'' + Pa?"-' 4- Qa"-^ -j L' = o ,

résultantes de la substitution de a et de è au lieu de x dans la proposée. L'équation finale en z contiendrait toutes les valeurs des sommes a-]-b-\-Cycl-\-e-\'f, etc., dont le nombre est n, et qui feraient également partie des racines de l'équation formée en prenant pour inconnue la somme de trois quelconques des quantités a, b, c, d, etc. Cette dernière et la précédente auraient donc un diviseur commun du degré n , comprenant seulement les sommes des racines de chacun des groupes Résignés ci-dessus.

Considérant ensuite le facteur x^ — {^a -\-h -\- c')x'^ •\- i^ah -\- ac ■\-hc') X — abc y

formé par les trois racines a^h , c, et mettant z au lieu de a-\-h-\-c,q au lieu de a6 -f- ne -f-3c, et r pour abc , il viendrait

x^ — zx^ -}- qx — r ,

facteur qui devrait diviser exactement la proposée si q et r étaient connus. En égalant donc à zéro le reste, qui serait composé de trois termes , on aurait entre les deux inconnues q et r trois équations ; et par l'élimination on parviendrait à deux équations finales elltre la même inconnue r : le diviseur commun de ces équations donnerait ?*.

Il y aurait beaucoup de remarques importantes à faire sur cette partie de la théorie des équations; mais je ne puis m'y arrêter. J'observerai seulement que l'abaissement a lieu, en général, lorsqu'on obtient entre les inconnues d'un problème possible , plus d'équations qu'il ne renferme d'inconnues , ce à quoi l'on parvient souvent en considérant le problème proposé sous plusieurs faces ; on trouve alors entre une même inconnue deux équations finales, qui, devant s'accorder entre elles, ont un diviseur commun duquel on tire la solution la plus simple dont le problème proposé soit susceptible.

60. Toute équation qui peut se décomposer en deux facteurs, s'abaisse nécessairement par ce moyen; il est donc utile de savoir reconnaître quand cette décomposition peut s'effectuer. Le procédé indiqué dans le numéro 210 des Élémetis , et déjà rappelé plus haut, suffit pour obtenir l'équation finale de laquelle doit dépendre la décomposition d'une autre en defix facteurs de degrés donnés ; mais je vais revenir sur cette re-

DES ÉLÉMENS D*ALGÈBRE. ia3

clierche , par une méthode plus simple , fondée sur les considérations du numéro 1 83 des Elémens.

Soient fit , /3 , y , les trois racines de l'équation

x^ + Pjc^ -f- Çx 4- iî = o ;

elle sera nécessairement le produit des facteurs x — u^ X — /3, et X — y. Si on la décompose en deux facteurs x'^-^-Jx-^B et x-\-A', il est évident que le premier doit comprendre deux quelconques des facteurs rapportés ci-dessus, et que x-j-y/' est identique avec celui qui reste. Mais on peut combiner les facteurs x — « , X — fi, X — y, deux à deux de trois manières différentes ; ainsi l'équation proposée pourra subir trois décompositions distinctes : et comme rien n'indique celle qu'on cherche en particulier , elles doivent se trouver comprises toutes dans le résultat qu'on obtiendra.

Si on multiplie l'un par l'autre les facteurs x*-f-^-c-l"^ et x-{-A', et que l'on compare le produit à la proposée, on trouvera , pour déterminer les coefïiciens A, B et A' , les équations

A-\-A'z=zP, B+AA'=Q et A'B = R.

Quelles que soient parmi les inconnues A, A' et /?, les deux qu'on élimine, on arrivera à une équation linale du troisième degré.

Cette dernière peut aussi s'obtenir à priori; car si c'est A' qu'on cherche, la question revient à trouver l'une des racines de la proposée, puisque x-|--^'=o donne xz=z — A; on doit donc rencontrer pour équation finale celle qu'on obtiendrait en changeant x en — A' dans la proposée : si c'est A qu'on cherche, ce coefiicient , dépendant de la somme de deux quelconques des racines de la proposée, a nécessairement trois va-

leurs, qui sont — («4-/3), — («-j*.y), ^-(ys-l-y), et par conséquent il est égal à — z dans l'équation du numéro 8. Pour parvenir à l'équation en Z? , il faut observer que B est le produit de deux quelconques des racines de la proposée , et qu'ainsi B a trois valeurs , savoir : «/3 , «y , /Sy ; multipliant donc entre eux les trois facteurs B — «/3^ B — «y, B — ^Sy, et chassant les lettres "; /^> y ) on aura l'équation demandée. De qnelque manière qu'on opère , on n'obtient dans ce cas qu'une équation du troisième degré, aussi difficile à résoudre que la proposée.

6i. Soit maintenant l'équation du quatrième degré a;4 4- />x3 + ()x^ -f- Zîx 4- 5 = o , • ayant pour racines «, yS, y et <^; la décomposer en deux facteurs x"^ + Ax -\- B et x^ 4" ^"^ "4" ^'> c'est combiner deux quelconques des quatre facteurs x — «, X — /3, a: — y, x — ï^, ce qui peut se faire de six manières différentes. Aussi, en cherchant à déterminer par la comparaison du produit des facteurs x^-\~Ax-^B, et x^-{-A'x-\- B' , avec la proposée, les coefficiens .<^ , B , A' et B' , trouve-t-on, après l'élimination de trois quelconques d'eiitre eux , que l'équation finale d'où dépend le quatrième est du sixième degré.

En effet, le produit

x< 4- ( ^ 4- ^' ) x^ 4- ( ^ 4- ^A' 4- 5' ) x' 4- ( A'B -\-AB')x-\- BB\ comparé terme à terme avec

x\ 4- Px"^ -\- qx" -{- Rx ■\- S ,

donne les équations

A-\r A' ~P , B -^ AA' -^B' ^q, . A'B -i-AB' — R, BB' — S.

DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. IqS

On tire de la seconde et de la troisième

A — A' Mais la première donnant A' ^=.P — A , on aura

^__ fi— (P — ^)[Ç)^^(P — ^)] ZA — P

et substituant ces valeurs dans la quatrième , on obtiendra , après les réductions ,

A^^'5PA^ -f (3P"4-2Ç) v4^--/>(P" + 4Ç))^3. -Ka P^ Q-hPR-\- Q^-4S)A'-P{PR+ Q'—4S)A UR). +PQR—P'S—R^ = Q. J

Cette équation pourrait aussi se déduire immédiatement de la formation des coefficiens A , A', B , B" , au moyen des racines de la proposée.

A, par exemple, étant la somme de deux quelconques des racines « , /3 , y , ^ , a les six valeui"s suivantes :

j& en a pareillement six, qui sont

eefi , tcy , «/ , /3v. M, y/;

et les équations qui doivent donner A et B se formeront comme il a été indiqué dans le n° 8. Il est facile de voir que les équations en A' et B' seraient semblables aux équations en A et B,

îaÔ C0MPLÉMEN1?

Au reste, quand A et B sont connus, on A A'— P -- A )

li est remarquable que la supposition de P==o fait disparaître tous les termes afFectés des puissances im-» paires de A, dans l'équation (R) , qui par là devient résoluble à la manière de celles du troisième degré. Les comm encans verront sans doute avec plaisir la cause de cette simplification.

L'équation proposée se réduisant alors à

x^ -\' Qx^ -{- Rx -h S = o ,

ou étant sans second terme, il faut que la somme de ses racines, tant positives que négatives, soit nulle; c'est-à-dire que la somme des unes soit égale à celle des autres , abstraction faite du signe ; on aura donc

d'où on voit que

et que par conséquent , dans cette hypothèse , trois des valeurs de A sont respectivement égales aux trois autres prises avec un signe contraire. Il faut donc que l'équation en A soit de la forme

A^ -i- bA^ + dA' -i-f = o (^ Èlém. 208 ).

62. Sans supposer P=: o dans l'équation (R), il suffit d'en faire disparaître le second terme; tous ceux de degré impair disparaîtront en même temps , ce qui la rendra encore résoluble à la manière du troisième degré.

En effet, le coefficient du second terme de cette équa-

DES ÉLÉMENS D'aLGÈBRE. I27

tion étant la somme des valeurs de A prises avec ua signe contraire , sera , d'après ce qui précède , égal à

(3« + 3/3 4- 3y + 3«^) , ou à — 3P,

€t pour faire disparaître le second terme , on fera

^ = ^" + -(£/em.ao9),

d'où A"z=A — ^\

mettant pour P sa valeur , et substituant successivement chacune de celles que doit avoir A , on trouvera ces résultats ,

(. + ,) + .Jrl±y±i^-drl^:^ ^.^ ( . + ^) + . + ^ + r + J^4 + v-.-.r ^3^

-(, + ^) + l±£±v±f^' + -/^.^nf(.) - ( ., + j- ) + t±A±z±i = !l±f^-rr:i ( 0

parmi lesquels ceux qui sont suivis des mêmes chiffres ne diffèrent que par le signe. Les six valeurs de A' seront donc deux à deux égales et de signes contraires , et par conséquent l'équation en A' ne renfermera au^ Cune puissance impaire de cette inconnue.

L'équation qui donnerait B serait ^ dans toutes les hypothèses, du sixième degré et complète.

On voit, par ce qui précède, que l'équation du quatrième degré peut toujours s'abaissera un& du second.

au moyen de la résolution d'une du troisième. Les coefficiens des facteurs x^-\-Ax-\'B et x'^ -\- J' oc -{- B' étant déterminés , la résolution de ces facteurs , considérés comme équations du second degré , donnera les racines de la proposée : voilà donc une méthode propre à résoudre les équations du quatrième degré, et c'est en effet celle que Descartes a donnée; mais elle est particulière à ce degré. Son succès tient aux circonstances que nous venons de faire connaître d'après Lagrange.

En général , la décomposition d'une équation du degré m, en facteurs du degré p, pouvant se faire d'autant de manières qu'on peutcombiner les mracines en nombre p , doit dépendre d'une équation du degré

si toutefois m est un nombre premier ; car, dans le cas contraire , cette décomposition peut s'obtenir plus simplement d'après la remarque qui termine le n° 27. Potr le sixième degré, par exemple, la formule ci-dessus en

y faisant p = 3, donnerait ■ ' '^ = 20 , tandis que la

même décomposition peut être ramenée à une équation du 10* degré.

65. Ce qui précède ramène encore à la possibilité de décomposer toute équation du quatrième degré dont les coefïiciens sont réels , en deux facteurs réels du second, mais par un chemin qui présente quelques circonstances remarquables. Je suppose , pour simplifier les calculs , qu'on ait fait disparaître le second terme de cette équation \ l'équation {R) devenant

DES ÉLÉMENS D'aLGÈBRE. ,pn

son dernier terme sera essentiellement négatif; elle aura donc deux racines réelles , l'une positive et l'aulTe négative {Élém. 214). L'expression de B, trouvée dans le n° précédent, réduite à

donnera nécessairement une valeur réelle pour B, et les équations

A'z=P^A ou A'~~A, et B' =z-

en donneront aussi de réelles pour A' et B' ; ainsi les facteurs supposés seront réels.

Il y a cependant un cas particulier où on ne pourrait les déterminer par les formules ci-dessus. Ce cas répond à 7î = o; on a alors

^ = o et Z? = ^ , '•

expression indéterminée ( Élém. 6^ )• L'expression générale de B se trouve en défaut dans ce cas, parc^qu'à une même valeur de A il en correspond deux de B {Elém. 191 ). En effet, si l'on reprend les quatre équations primitives, entre les inconnues A, A', B et B' on les réduit à

A' = o, B + B'=Q, BB' = S, à cause de A=o, de P = o et de /î = o; en sorte que 5 et 5' sont les racines de l'équation du second degré

B'—ÇB-^S = o, et que les facteurs sont par conséquent

00'+ B, oc-^B\

ou

CompL des Elém. d'Alg. g

l3o COMPLÉMENT

on les déduirait de même de la proposée , qui devient

x^+Qx^ + S — o.

Ces facteurs seront imaginaires si S , étant positive , surpasse {Q^\ mais ils conduisent à d'autres facteurs réels. En faisant , pour abréger ,

et résolvant ensuite les équations

^«4,a + ^,^/II~lr=o, x^-{-a — b\/'^i—o, on aura les quatre facteurs du premier degré

;|V/--a-Z/V/^ I ^ 4-\/— a -hM/ — "> I ^

,x/Z7irîy= ] ' x—s/'^^+bV^x] '

dont le produit forme la proposée. Si maintenant on hiultiplie entre eux ceux de la première ligne , puis ceux de la seconde, en observant que

on aura deux nouveaux facteurs du second degré,

^. |. {\/—a-^b\/^ + \/-û+ b V^jA

— Và^+b^ )'

x-—{\/-a — b\/^'\-\/—a+bV—i]x

qui , d'après le n° 3o , reviennent à

et sont par conséquent réels.

, On voit par là que les facteurs du second degré trou-

DES ÉLÉMENS D'aLCÉBRE ,3

vas en premier lieu, n'étaient iniaginairejqnenar l' <F ! d une con^binaison particulière de:facteurrdu'p:eLt!

les radicaux: a :'' ':;eî:re','::^re':r„ T""

naître, et qui consiste à former e„ m """"

...ci„esdet.,ati„nd.ou7^^^^^^^^^^

Pom- prendre d'abord l'exemple le plus simple, soit —y ^ ; Il est évident que puisqu'un radiV^l r.,.. ' peutétre affecté indifféremlen^ du!;/.: + ^ du'!":: — . on doit regarder :r — i/~^ ,

pliant les deux facteurs or — 1/2 x-H/^ t lantre, « égalant le produit a^^zéri .ot trouv'era" "" ^*— ^ = 0,

pourl'équationration^elleàlaquelleappar«entx=v/;7

ïSSSSSi?™;:^'

il viendrait

ce qm donnerait les facteurs

j32 complément

dont le produit serait

Mais puisque i , c. et ^ sont les trois racines de l'équationy-i=^o, qui n'a ni second, ni troisième terme, il s'ensuit que

et que par conséquent le produit ci-dessus se réduit à

comme on devait s'y attendre.