Je passe maintenant à l'expression

x^Va+Vb-

Pour obtenir toutes les racines de Téquation de laquelle

doitdépendrelaquantité VA ^V B, i^ f^^* ^^^^^i"^-^ dr toutes les manières possibles les diverses expressions dont sont susceptibles les racines -biques de ^ et d^^ B. Ou formera ainsi neuf valeurs de x, dont on tirera facteurs suivans , ^

, 'va- ^1?,x-«V>3- V-b,.- V-2-.VB.

.,^3-;3^5.--/^^3- V-B,-- Va-^Vb;

7a on les multiplie entre eux, on parv.endra a un pr^dui" qui ne renfermera que des fonctions syme- Huë des quantités . et ,. Ces fonctions s obtiendront ;Thichanl parles formules du n» t5, les sommes

DES ÉLÉMENS d'ALGÈBRE. l33

1 +«'^4-/3% i4-«^ + /3^ des puissances des racines de l'équation y^ — i = o ", mais ce calcul peut s'effectuer d'une manière plus simple , en faisant à chaque multiplication partielle les réductions qui se présentent en vertu des équations i-}-« + /3 = o, «« + /3 + «/3 = o, «/3=i, rapportées plus haut, et en observant que «" = /3 et /8* = « : l'opération étant finie , il ne restera aucun terme irrationnel.

66'. Il est facile de voir que le procédé indiqué cidessus n'est autre chose que l'élimination elTectuée par un moyen analogue à celui du n° lo. En effet, ayant posé les équations à deux termes t^ — A:=o, v? — B=o, d'où il résulte x — t — u = o , si on substitue dans cette dernière, au lieu de u et de t, toutes les valeurs que peuvent avoir ces inconnues , et qu'on multiplie entre eux les résultats, ils seront des fonctions symétriques des racines des équations f — A-=o, v? — 5=:o, etpourront par conséquent s'exprimer d'une manière rationnelle.

En commençant par éliminer i, ce qui se fera en multipliant entre elles les trois quantités

X — U — \^ A , x — u — «.\/ A , X — Il — (iy A y

qui résultent de la substitution des trois racines de l'équation t^ — A-=.o , dans x — £— iii=o, il viendra

{x—uf— Y A\{x—uy+ u\/A^l(x—u)^ct/3j=o,

-c.\/Ay

—/iV^Â)

résultat

qui se réduira

-uy — A:=0

Mettant ensuite, au lieu de u, ses trois valeurs

ïl viendra

(x— s/n'y— j, {^x^u\/By—A, (x—tsi/By—j-,

développant ces quantités , et faisant leur produit avec l'attention de réduire toujours les fonctions de « et de /3, d'après les relations établies dans le n" précédent, on retombera encore sur le même résultat.

Je ne rapporte point ici le calcul, qui serait assez long, et je n'ai un peu insisté sur la méthode, que parce qu'elle a l'avantage de faire voir à priori à quel degré doit monter l'équation rationnelle dont on a la racine.

J'observerai que l'exemple ci-dessus peut encore être traité d'une manière beaucoup plus simple , ainsi qu'on Ir'a fait n° 3o ; car si on élève au cube les deux membres

de l'équation a;= {/A-h ^B , on aura

transposant dans le premier membre les termes AetBy il viendra

x^ — A — B =3\/ A'B + Zy AB^-j mais

y/Â^-h y/AWzzz \/ÂB ( \/Â + \/B) = X i/ÂB ; donc

x^ — A — B = Zx\/AB ; cubant les deux membres de cette équation, on aura

(^x'^^A — By = ^jABx'', résultat rationnel facile à développer.

DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. i35

6j. On peut, par ce qui précède, trouver le facteur par lequel une fonction irrationnelle proposée étant multipliée, il en résulte un produit délivré de radicaux. En effet, si on forme toutes les racines de l'équatiori d'où dépend l'expression irrationnelle proposée , leur produit, abstraction faite de son signe, étant égal au dernier terme de cette équation , sera rationnel , et par conséquent le produit de toutes celles qui sont diiFérentes de la proposée, donnera le facteur demandé.

Ayant, par exemple, x = \/A-\-\/B, si on fait le produit des huit autres valeurs de or , ce produit sera tel ,

qu'étant multiplié par l"^ -{-\/B , il en résultera une quantité rationnelle égale au dernier terme de l'équation finale en x , pris avec ^n signe contraire.

68. Euler ayant remarqué que dans les équations du deuxième et du troisième degré, sans second terme , les

racines étaient de la forme x:=:yA, x ■=. y A + y B, conjectura que celles des équations du quatrième et du cinquième degré pourraient être représentées par

x=\/A-ir\^'B+\/c, x=\/j-{-V'B-^\/C-\-y'7j,

et qu'en général la racine de l'équation du degré n serait de la forme

le nombre des radicaux étant n — i.

Après avoir mis ainsi en évidence dans chaque degré le-; radicaux de ce degré , il pensa que les quantités Ai By C, D , etc. ne pouvaient renfermer que da» radicaux d'un degré inférieur, et ne dépendraient par conséquent que d'équations d'un degré inférieur à la

î5'5 COMPLÉMENT

jjroposée : mais une observation plus attentive de la forme des racines des équations du troisième et du quatrième degré, et la difficulté qu'il éprouva à former l'équation dû cinquième , d'après la racine qu'il lui supposait, le déterminèrent à modifier la forme de cette racine. Il prit la loi suivante :

2^ degré x = ^\/ij,

et en général

les quantités ^4 , B , C , D. . . M et u, étant indéterminées.

Les formules ci-dessus contiennent implicitement toutes les racines de l'équation dont elles dépendent. Pour le troisième degré , par exemple, la racine cubique de u ayant trois expressions , savoir ,

son quarré en aura pareillenient trois, qui seront

et en combinant chacune de ces valeurs avec sa correspondante , on formera les trois racines

rn 3 3 3 3

X--J ^^ii-\-B\/u\ xz=zAx\/u-\-Bci' \/ii% x=J^ {/u-^Bfi-y/u''. ilien n'est plus facile maintenant (8 et i5) que de

remonter à l'équation d'où dérivent les racines ci-dessus , et on trouvera

oc^ — 5ABux — A^u — Bhi'^ = o.

En comparant cette résultante avec

x^ -\- px -j- q = o , il vient

p = — ZABu y q-=i — A'u — B^u^.

Comme il y a dans ces deux équations trois indéterminées, A, B et u, on peut s'en donner une à volonté.

Euler a fait^=:i, ce qui donne 5 = — —, Substituant dans l'expression de qr , on obtient