JU

et par conséquent

u^-f- qu=: -'— , ^ 1-J

d'où u — — \q±. V/^ p3 + i q\

De q-=. — A^u — B^u^, on tire

donc enfin

B \/u^= V- i q^^TYP' + i *?'• Ces expressions donnent pour x la valeur du n° 1 9. Au lieu de former l'équation

x^' — ZABux — A'^^u — B'^u" = o

à priori, comme je l'ai indiqué ci-dessus, Euler, qui connaissait d'avance le résultat auquel il devait parve-

nir, se sert d'un moyen qui peut être commode dan» beaucoup d'occasions , pour reconnaître si une expression proposée est la racine d'une équation donnée. Il substitue dans l'équation jc^ -{• px -\- q := o , au lieu de X et de x"^, les valeurs

ce qui donne

yfu -f 3J^Bu Vu + ZAB^u l/i? + BH^ 1 4- pA\/u-\- pB\/u^-}-q J

Pour que la valeur A\/u-{-Byu'^ convienne à tou» les cas de l'équation o;^ -f- px + ^ =: o, il faut que

l'équation ci-dessus puisse avoir lieu, quand mêmeyu

et V ^'^ seraient des quantités irrationnelles différentes. Il suit de laque les termes rationnels doivent se détruire à part, ainsi que les termes irrationnels : on doit donc avoir séparément

^'u+53ji»+(7=o, oA^Bu'^pA=o, ZAB^u+pB=o;

les deux dernières équations ne sont autres que.... ZABu-\-p = o , multipliée d'abord par A et ensuite par B. Ce procédé conduit, comme on voit, au même résultat que le précédent.

6q. Je ne suivrai point Euler dans les détails de l'application de sa méthode au quatrième et au cinquième degré ; je me bornerai à donner l'expression des racines, et pour cela, je ferai d'abord observer que celles de l'équation ^'^—i = o sont

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. l3q

En multipliant par ces valeurs la quantité V^u , on aura les quatre expressions dont elle est susceptible ; formant ensuite leur quarré et leur cube , on trouvera les diverses

expressions deV^u" et de\/u^; et combinant ensemble ies résultats fournis par une même valeur dey , on aura

x = -—j4yu~\-B\/u^—C\/u',

x= AV—\.\/u—B\/u^—CV—\,\^u?y

L'équation dont on vient de former les racines étant obtenue , on la comparera à x* -f- px^ -\- qx -{- r ■= o \ cX comme on n'aura encore que trois équations, on pourra prendre arbitrairement l'une des quatre indéterminées A , B , C , u. Euler fait ici B= i, et parvient, par ce moyen, à ime équation du troisième degré en u; mais s'il eût fait u= i , et qu'il eût voulu déterminer B , il serait tombé sur une du sixième ; et sur une du vingtquatrième , s'il avait cherché A ou C.

En désignant par <«, /3, y et J* les quatre racines de l'équation ^^ — i =o, autres que l'unité, les cinq ex-

pressions de V^ u seront

yu, ctyu, ^y'u, y Vu, «^v/u;

et en formant leurs puissances, on trouvera que les racines de l'équation du cinquième degré sont

x = A y^u-^ B\/u'-\- Cy^u'-\- Eyu\

x ^ A*\/ U -\- Bu^ /«' -f <^«^ V^^^ + ^«^ V^\

l^O COMPLÉMENT

X=J/i\/u-\-B/2^ \/u^ + C/S^ K ii^,4- W V^ "S

a: = ^y \/u + 5y V^i' + <^y' K ^^^ + Dy^\/u^,

Pour former l'équation à laquelle appartiennent ces racines , Euler emploie le procédé du n° g ; mais quoique bien simplifié par ce moyen , le calcul est trop long pour trouver place ici. ( Yoy. les Novi Comment. Acad.Petrop., tom. IX j pag. 88.)

70. On peut aussi se servir du procédé indiqué dans le n° 66 , pour former l'équation dont la racine est

on fera\/ur=y, et on aura à éliminer^ entre les deux équations

y'^ UZ=0,

x — Ay-^-By-"^ Cy^ 4. Dy . . . 4. 3fy"-.

L'équation finale ne montera qu'au degré n (10), et n'aura point de second terme • en la comparant terme à terme avec la formule générale

o^" + Px"-^ -h Qa:"-^ -ft/ = o,

on obtiendra un nombre n — -i d'équations; et comme il y entrera n indéterminées, A, B, C, etc. u, on pourra se donner une de ces indéterminées à volonté. Si on fait, par exemple, ur=i , on tombe sur les deux équations auxiliaires

y''-'i=o, ce = Ay -{- By^ -^ Cy^ -^ Dy^ -+- %"-',

employées par Bezout dans la méthode qu'il a proposée pour résoudre les équations (^Mem. de C Acad, de Paris ^

DES ÊLÉMENS d'aLGÈBRE. \/^l

année 1766 , p. 533) , et qui revient, ainsi qu'on le voit, à celle d'Euler.

Pour former, par l'une ou par l'autre des méthodei exposées ci-dessus, l'équation dont on a la racine, oa ne rencontre d'autre difficulté que la longueur des calculs ; mais lorsqu'on cherche à déterminer les quantités A, B , C, . . .Uy par la comparaison du résultat avec l'équation générale du degré n, on tombe dans des calculs presqu'impraticables qui conduiraient à une équation finale , ou une réduite , dont le degré surpasse de beaucoup celui de la première.

71. Il est visible que lorsqu'on prend une expression radicale qui ne contient pas autant d'indéterminées que l'équation générale du degré auquel elle se rapporte renferme de coefficiens , l'évanouissement des radicaux ne conduit qu'à une équation particulière; je vais en donner un exemple.

Si l'on suppose seulement

les puissances de cette expression pourront être mi»ei sous la form^

( [/Â+ v^By= \/^'H- \/^+2 \/ÂB, ( y/Â-{- )/By= î^^'-\- v/^+3 l/ÂBi /T-h l/Fy ' ■ ( \/A+ )/by= \/Z^+ \/5ï4-4 "VÂBi V'Â^+ i/F3^.G /2^', ( \/Â-{' \/By= \/lr'+ )/W=-i-b v/^( \/Â'-^ \/W)

-\-ic{/1Fb%\/Â-{-{/B), etc. ;

^4» COMPLÉMEÎÎT

et si de ces équations on tire successivement les valeurs

de v/2^+ y'W, v/:?^-f- \/W, etc. au moyen des puissances de \/Â-^}/b et de\/ÂB, il viendra, en mettant x au lieu àe^ A-\-\/b , et b au lieu de AB , V-d -i-{/B =x,

V^A^-i.\/B*z=xi—4x^Ç/b -f. 2V/é^,

Une induction semblable à celle qu'on a indiquée dans le n" 56 fera voir que

rxl ^ ^""^ ^^^ + etc.

Posant maintenant m=n et A-^B—a, on a«ra, à

cause de^/Â^ + ^T^^A + B, l'équation

■^ ^ 7X3:4-^ ^x«-B^/M- etc. =a,

dont une racine est

xz=^\/Â + \/b.

En la comparant avec les équations générales des 3*, 4% 5*, etc. degrés , on reconnaîtra quelles sont les équations de ces divers degrés ayant une racine de la forme

1°. Quand 71=3, on a

3 x"^ -j- px -^ q ^= o , x^ — 5xy^b — a = o; 3 il vient p = — 3 {/b , q = — a ,

d'où b = — sV P' i

«t comme on a fait

'^-hB = a, AB=b

A et B seront les racines de l'équation

ce qui rentre dans les solutions du troisième degré j données n°* 19 et 68.

a°. Quand n = 4' 0° ^

Là, comparais on de ces deux formules donne

p = — 4V^^> ^ = Oi r==:2yb'^ — a.

L'équation qf:=o est la condition qui restreint l'équation proposée ; et lorsqu'elle a lieu, on trouve

^-(.^P^-T)J-^^pi=o;

l'équation du quatrième degré qu'on résout par ces fortaules, ert

x^ -}- px* 4" ^ = o-

l44 COMPLÉMENT

3°. Quand n=b, on a

x^ + P^^ + ^■^^ -^ rx -i- s = Or x^ — bx^\/b-\-^x\/b-' — a = o, d'où l'on déduit

p=i—5\/b, q = o, r = h\/b\ s= — a. On retrouve dans ce degré la condition q=o, déjà exigée pour le précédent ; et les équations

p^—5\/b, r = 5v/6^ donnent de plus, par l'élimination de 6, cette relation entre p et r : p^ = 5r.

Lorsqu'elle a lieu , il en résulte

b=^^^p\ et — —s,

et l'équation résolue est

Je ne pousserai pas plus loin cet examen ; mais je ferai remarquer, i°. que les quantités A et B étant données par une équation de la forme

A"- — aA -h b =:o ,

la racine de l'équation proposée sera

= \/ici-\-\/\a^—b+ Via— \/ia^—b ,

résultat auquel on peut appliquer les réflexions du n° 2y , et qui fait voir par conséquent que le cas irréductible a lieu dans les équations des degrés supérieurs au troisième.

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. i^^

2". Que l'expression y^ A -{-[/ B donne en même temps toutes les racines de l'équation correspondante lorsque l'on combine deux à deux les n valeurs dont

est susceptible chacune des quantités \/^ et [/B, de

manière que leur produit se réduise à y^AB ; c'est-à-dire

que si l'on prend «\/^ et /3\/i>, on ait «/3=i. Avec cette attention, on trouve (i5) que les n valeurs de m sont

X =u x^'Â 4- ««-' \/b, X =«V^ +«"-VJ,

De quelques transformations qui conduisent à la résolution des équations des quatre premiers degrés.

72. Le nombre des moyens que les algébristes ont tentés pour résoudre les équations littérales, est trop grand pour entreprendre de les faire tous connaître; il en est cependant encore deux que je vais exposer , parce qu'ils sont remarquables , soit par la source dont

{*) Lorsque les équations particulières que je considère ici tombent clans le cas irréductible, elles ont toutes leurs racines réelles et se rapportent à la division d'un arc de cercle en n parties égales , ce qui forme un moyen très-simple de les calculer avec le secours des tables trigonomttriques. Voyez mon Traité du Calcul diffirenliel et du Calcul intégral, t. I, latroducticn.

Compl. des Élém, d'J/^, 10

ils dérivent , soit par leur simplicité : le premier est la

méthode de Tschirnaiis.

Cette méthode semble promettre la résolution des équations d'un degré quelconque , et elle offre le moyen le plus naturel qu'on puisse désirer pour résoudre les équations du deuxième, du troisième et du quatrième degrés; mais malgré son succès dans ces degrés, elle est inférieure à toutes les autres méthodes connues, par la longueur des calculs qu'elle entraîne : cependant, j'en vais tracer une esquisse , en faveur de ceux qui veulent connaître toutes les richesses de l'Analyse.

En faisant^ disparaître , par la supposition de

y:r=,r-}-a, le second terme de l'équation ^^-{■^J'+Ç=o, on la réduit à la forme x'''+5 = o, laquelle se résout sur-le-champ par l'extraction de la racine quarrée , et donne a:=rbv/ — B, En effet, en substituant x+a à la place de y dans l'équation proposée, elle devient

■\- Px-\- aP [ ~o; + Q) et si on égale à zéro la quantité 2a-^P , coefficient de X, elle se réduit à '

ce qui donne

B = a^ + aP -{- Q; mais de 2a -f- P = o il résulte

a = -iP, B=z-:lP--^Q,

et par conséquent

X = ±^iP^-Q, et y=:a-h;c = -iP±:\/i^^-<L^.

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. î4y

73. De même , si l'on pouvait faire disparaître le 3* et le 3* termes de l'équation

la transformée, réduite à son premier et à son dernier termes, se résoudrait par la seule extraction de la racine cubique.

La substitution àc x-{-a à la place de y , dans une équation en j', n'est propre qu'à faire disparaître un seul terme, puisqu'elle n'introduit qu'une seule quantité indéterminée a (*); mais si, au lieu de l'équation hypothétique y=x-{-a, on prend ^'^ = x -f- a -|- 6y , on peut faire disparaître deux term^ de l'équation en x , en déterminant convenablement les quantités a et 6 , sur lesquelles il n'y a rien de statué par l'énoncé de la question.

Dans ce cas , Téquation en x n'est pas aussi aisée à former que lorsqu'on change seulement y en x-f-a; mais cependant elle est encore du même degré que la proposée , comme on peut s'en assurer par le procédé d'élimination indiqué dans le n° 10; car si on désigne par *, ^ et y, les trois racines de l'équation

y'-\-Py^+Qyi-R=--o,

d'après ce procédé , l'équation finale en x résultera dvi produit des trois quantités

«* — bic — (a-f-jc), fi' — bfi — ia + x), y' — by — {a-j-x],

{*) Ceux qui n'ont pas encore l'habitude de l'Analyse croiraient peut-être gagner quelque chose, en supposant y n=x-f-a-f-è j mai» s'ils font le calcul, ils se convaincront bientôt que la quantité a-f-b se comporte comme si elle était monôme, et qu'ils ne peuvent point déterminer separémcut a et 6 , ni par conséquent faire e'vaQouir jdus d'uu terme.

î48 COMPLÉMENT

qui nécessairement ne passera pas le troisième degré ; et

après qu'on aura chassé les lettres u , /i et y, comme il

convient , on aura un résultat que l'on peut représenter

par

posant alors

il restera seulement

x'-j- C = o, Si on effectue le produit indiqué plus haut , et qu'on exprime parles coefTiciens P, Ç et R, de l'équation proposée, les fonctions symétriques de «, /3 et y, que ce produit renferme , on trouvera sans peine la composition des coefficiens J,B, C, de l'équation en x; mais ces résultats , que le lecteur fera bien de chercher pour g'exercer au calcul , sont trop compliqués pour trouver place ici : on en obtiendra de plus simples en supposant qu'on ait déjà fait disparaître le second terme de l'équation proposée. On n'aura plus qu'à éliminer j entre les deux équations

y+Qy4./î = o, y^zzzx-^a-i-by, ce qu'on fera ainsi qu'il suit, en posant, pour abréger,

L'équation j'=?n4-&y étant multipliée par^y, donne

y = my -j- by^ ou y =77iy + 6m -|- by ,

en mettant pourjy'* sa valeur. Substituant ensuite dans

la proposée , il viendra

my + bm'{-by+Qy-{-R = o;

(^ ) On laisse toniouis les deux cjuanliu-s indéterminées a et l , mal-rc la disparition du second terme de la proposée, parce que réquaiion en x rf ea a pas moins un second terme c^u^l faut cucor* Éaite cvaqouir.

Î)ES ÉLÉMENS D'aLGJÈBRE. 1^3

■,, , hm-{-R

û ou V = — r- •

et mettant cette valeur dans l'équation

y^ = m-{-by, on obtiendra, après les réductions,

+ Qb' \ -^RQb \ =0.

Remplaçant les diverses puissances de m par celles de jo -{-a, ordonnant le résultat par rapport aux puissances de r et de a, comparant avec x^-{-Ax''-i-Bx+C=o , il viendra

B=3a'^4Ça -{-Qb'—'iSRb +Q\

C— a'-\.Q Qa''-{-Q^a-i- Qb^a—'5Rba—RP—R Qb—R\

Si on fait A = o, et B=o, ce qui produit les équations

oa-^QÇ=zo (1),

3a»-f 4Ça+Ç/,^3/îZ> + Ç^ = o...(2), l'équation

xi^ -i- Ax' -^ Bx -{- C ~ o se réduit à

ar^ 4. C =: o ,

d'où x = — \/C.

La quantité C sera connue lorsqu'on aura déterminé a et è, ce qui est facile , puisque , d'après l'équation (i), on a

valeur qui, mise dans l'équation (2), la change eil

l5o COMPLÉMENT

équation du second degré, dont la solution donnerais valeur de b. Je ne m'arrêterai pas à développer l'expression de Cj ni à tirer les diverses conséquences qui résultent de cette théorie ; mais on suppléera facilement aux détails que j'omets.

Lorsqu'on a déterminé a, Z> et a:, il ne faut pas prendre indistinctement pour j' l'une quelconque des racines de l'équation j'^ = a: -f- a -f-èy; mais on doit, d'après ce qui a été dit n° 192 des Élémens , chercher le diviseur commun qui existe aloi's entre cette équation et la proposée, ou, ce qui revient au même, substituer les valeurs de a, de Z> et de a: dans l'expression

__ hm + R __ h{x-^a)\R

qui a servi à l'élimination dey.

'j^. En passant au quatrième degré, le même procédé s'applique de deux manières différentes ; savoir, en •changeant l'équation

en une autre où les termes affectés de la troisième et de la première puissance de l'inconnue aient disparu , et qui par là soit résoluble à la manière de celles du second degré (^Elém, 16*0) ; ou bien, comme pour les degrés précédens , en transformant l'équation proposée de manière que la résultante puisse être réduite à son premier et à son dernier termes.

Dans le premier cas , on n'a que deux termes à faire disparaître ; il suffit doue de combiner l'équation

y^ + Py^ + Qy^ + Ry -\- S:=o

avec l'équation

y^^x + a + by.

DES ÉLÉMENS d'ALGÈBRE. l5l

En effectuant les calculs nécessaires pour obtenir l'équation

x^ -{- Jx^ -\- Bx' -i- Cx -\- D = o ,

et posant ensuite

A = o , C= o , on a

x^ + Bx^-^D = o.

L'équation Az=.o serait encore du premier degré, par rapport aux indéterminées a et è; mais l'équation C^=o monterait au troisième : ainsi la résolution de l'équation proposée se trouverait ramenée à celle d'une équation du troisième degré, et d'une autre du second. Connaissante, b etx , on trouverait V, comme dans le numéro précédent.

Pour changer l'équation

en une autre qui n'ait que deux termes , il faut en faire évanouir trois , et l'analogie conduit à poser l'équation

y r= a: + a 4- èj' 4- çy%

renfermant trois indéterminées a , 6 et c. Le résultat de l'élimination de^ entre cette équation et la proposée étant toujours désigné par

oc*' + Ax"' -{- Bx"" -\- Cx + D = o ,

on fera •

A-=Oy B = o, C=o,

ce qui donnera

xt + Z> = o ;

mais les indéterminées a , 6 et c se trouvant au premier degré dans A , au deuxième dans B , au troisième dans C, l'équation d'où dépend la valeur de l'une d'elles

montera ati sixième degré , et sera donc en général plus difficile à résoudre que la proposée elle-même : cependant Lagrange a prouvé qu'elle pourrait encore se ramener à une autre du troisième degré.

75. Quand la proposée sera du cinquième degré, il faudra nécessairement la changer en une autre qui n'ait que deux termes , et pour cela en faire disparaître quatre dans la transformée ; mais la recherche des indéterminées conduira alors à une équation finale d'un degré beaucoup plus élevé que la proposée, et la méthode de Tschirnaiis , de même que toutes les autres méthodes connues , échoue au-delà du quatrième degré.

Tout ce qu'on en peut conclure, c'est la manière de faire disparaître autant de termes qu'on voudra d'une tquation quelconque j car il est facile de généraliser cette marche, et de reconnaître qu'en prenant l'équation subsidiaire

^"' = or -}- a + &y -}- cy^ . . . . -f" <7>''""~'* on changera l'équation générale

yn ^ pyn-i J^ QyU^ J^ Vy -{- T ~ O

en une autre

or" -}- y^x"-' + 5a"-* +L — 0,

dans laquelle on pourra faire disparaître un nombre de termes égal à m, au moyen des m quantités indéterminées a, b, c,. . . .q.

7G. Le second moyen, par lequel je terminerai ce que j'ai à dire sur les équations, dérive de celui qu'on attribue à Cardan, ou du moins qu'on employa d'abord pour retrouver l'expi-ession qu'il avait donnée de la première racine de Téquation du trqisième degré sans second.

DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. i53

terme, moven que Lagrange a étendu aux équations du quatrième degré (*).

Si l'on fait Jcz=y -{- z , i\ viendra

résultat qu'on peut mettre sous la forme

x^ — ovz( j + z ) — (y + -^ ) = o . et qui se change en

x^ — Zyzx — (y -f- s^ ) = o ,

quand on y remplace ^ -f- z par sa valeur x; compa* raiit alors cette équation avec

x'^ -{- px -{- q ==■ o , on en conclut

p = —5yz, q=^y' — z\

La première de celles-ci donnant

vs = — ^ et y i = ,

on a

et il suit de la tliéorie de la composition des équations,

quey^ et z^ seront les racines d'une équation du second

degré , ayant q pour coefficient de son second terme .

et — — pour son dernier. Si t^ -4- qt p^=o re-

présente cette équation, et que A et B soient les valeurs

(*) VoY. \cs Séances de l'École Normale (t. III, p- 3oG , ire édit. ) , et le Journal de fÉcole Polytechnique ( 7e et 8^ cahiers, p. 237}. Les calculs de ces transformations ont ete' depuis un peu simplifias dans renseignement delà dernière école, et forment le procède le plus simple et le plus court pour arriver à la scluliou dts équations du troisième et du cjuatiième degrés.

ï:54 COMPLÉMENT

èct, on a»*a^ =\/y^ et z={/B. Les diverses expressions de ces racines satisferaient dans un ordre quelconque aux équations

y{23__^ et yV = ^^;

mais la dernière de ces équations est plus générale que vz r= — ^ , d'où elle a été tirée : c'est donc dans celleci qu'il faut substituer les valeurs de y pour obtenir celles de z, ou, ce qui revient au même, il faut combiner chacune des expressions

avec les suivantes ,

de manière que le produit se réduise à.\/ AB , ce qui ne fournit que ces trois résultats :

U}/Â+u'VBy

Il est facile de voir qu'en mettant pour « et «' le» valeurs données dans le n° 1 69 des Elemens, et p ourlet B celles qui résultent de l'équation f^-^qt — ~p^=o, on retombera sur les expressions obtenues dans le n° 19.

Je ferai remarquer, à cette occasion, que lorsqu'on élève une équation à une puissance, ou qu'on la multiplie par un facteur où se trouve l'inconnue, on introduit de nouvelles racines étrangères à la question proposée.

DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. i55