On a résolu l'équation du troisième degré
x^-^px-\-qz=o , en supposant x=:y-\-z; on résout Celle du quatrième degré x*^-px^-^qv-\-r=o d'une manière analogue , en faisant x= iz -{-y -f- ^ J car il faut ici trois indéterminées, à cause que l'équation à résoudre a un terme de plus.
De la supposition de ar=u-f-y4-i, il résulte
x*=(u + J'4-2i y= u^ -hy'^-h^'^ -\~ 2ziy-f- 2U2 -f- 2yz , ce qu'on peut mettre sous la forme
x^ — iu^+y--{-z') = 2(^uy^uz-\-yz); élevant encore une fois au quarré , il viendra
développant ici le second membre seul , on trouvera /i(^uy+uz-\-yzy=4{uy^+u^z''-hy'z') + Siu\z-^uy*z.-^^y^%
et remplaçant u-\-y-\-z par sa valeur x, on aura l'équation
■i-iu^-\-y'+zr--4(iuy+u-z'-j-y-z^)z=o,
dont la comparaiiîOn avec la proposée donnera les équations
r = (u^-f ^=-f s^) ^ 4(^uy-\- u'z^-\'yW) . Si l'on met dans la dernière, au lieu de u'-\-y'^-\-z'-; ta. valeur — - tirée de la première , on aura
d'où l'on conclura; en prenant le quarré de i/jzdansk'
l5(> COMPLÉMENT
deuxième, les trois nouvelles équations
u-yz
dont la première donne la somme des quarrés des inconnues u,y, z, la seconde celle des produits de ces quarrés combinés deux à deux, et la dernière le produit de tous trois. En se rappelant la composition des équations (^Èlém. i83), on voit bientôt que si on regarde les quantités u^,y^ et z^ comme les trois valeurs d'une xriême inconnue t, cette inconime dépendra de réquation
Désignant par /, m et n, les trois racines de cette équation, on aura
d'où
et par conséquent
Cette formule, dans laquelle on peut combiner comme on voudra les signes , équivaut par là aux suivantes :
xz=—\/l-\-\/m — \/7i,
x^-^-i/l—S/m-hS/n,
et semblerait donner huit valeurs pour l'inconnue x,
DES ÉLÉMEN'S d'aLGÈBRE.' 15;
qui n'en peut avoir que quatre • mais en remontant plus hautj on verra que les valeurs de u, y et z doivent satisfaire à l'équation ^ = — Suyz, dont on n'a employé que le quarré. Il faudra donc combiner les signes des valeurs u:^^^/! , y^='àz{^7n, z=z±i[/n, de manière que leur produit soit d'un signe contraire à celui de q, ce qui doit se faire comme dans le n° 34- Si, dans l'équation
on fait t-=-, les fractions disparaîtront par la réduc-
tion de tous les termes au même dénominateur, et il viendra
réduite semblable à celle que l'on a trouvée en z dans le n' 20. On se convaincra facilement aussi, que les valeurs de x rapportées ci-dessus s'accordent avec celles qu'on déduirait des résultats du même numéro.
■Du développement des puissances fractionnaires et négatives en séries.
78. On a vu , dans le n° 235 des É/émens, la division, prolongée indéfiniment, donner naissance à une suite infinie qui exprimait, en termes monômes, le développement d'une fraction -, et dans le n° 207, j'ai annoncé que l'exti-action des racines conduirait aussi à des séries. Pour offrir un exemple de ce dernier cas, je vais extraire la racine quarrée de a^+ô*.
bi
etc.
etc.
etc.
La racine quarrée du premier terme étant a , il reste b*, qu'il faut diviser par 2a ; et écrivant le quotient — • à
b'' çôtédea,àlaracine,onauraa-{ pour les deux pre-
^* miers termes de cette racme, et — — - pour le reste;
doublant la racine trouvée, on a aa 4- — ; et divisant le
reste par za, on aura un quotient — — -,, qui
sera le troisième terme de la racine. On vérifiera ce
terme suivant la règle ordinaire ; et on aura un reste
' — j , sur lequel on opérera comme sur les
précédens.
Il serait aisé d'imiter cette opération pour extraire la racine d'un degré plus élevé ; mais en considérant les racines comme des puissances fractionnaires , on les déduit plus simplement de la formule du binôme , telle qu'elle est présentée dans le n° i44 des Élémens.
En effet, si l'on change \/'^^~F en (a^-hb'')^, et que l'on fasse m:=^ dans la formule citée, puis qu'on y écrive a" pour x, 6^ pour a , il viendra , comme ci-
DES ÉLÉMENS d'ALCÈBRE. iB^
dessus ,
Yà'+b-^ = a-] __4.--^etc.
2a 8a^ iba^
Cet exemple sufTit pour montrer le parti qu'on pourrait tirer de la formule du binôme, si l'on était assuré qu'elle eilt lieu, quel que fut l'exposant m, ce qu'on ne saurait conclure de la manière dont on y est parvenu dans les Élemens, puisqu'elle suppose que m est nécessairement un nombre entier positif. Il faut, en conséquence, soumettre cette formule à de nouvelles vérifications , propres aux différens cas que l'on yeut y comprendre.
79. Parmi les diverses preuves qu'Euler a données de la généralité de la formule du binôme, la suivante, tirée du tome XIX des Novi Comment. Acad. Petrop. (pag. io3), tient le premier rang par sa finesse et sa brièveté.
Il a été démontré que lorsque m est un nombre entier positif, on a
f , \,r, I ^ 1 Tn(m — 1) „ (i-fz)"'z=i+-a4- Y2 ^
mais on ignore à quoi répond le second membre de cette équation, lorsque m cesse d'être entier ou positif- cependant il est incontestable que, dans ce cas même, sa valeur étant liée à celle de m, il peut être regardé comme le développement d'une fonction inconnue de m. En représentant cette fonction par f(m), on aura, en général ,
Si on écrit n au lieu de m, ce qui est permis, on aura
l6o COMPLÉMENT
de même
et par conséquent
{ , m , Tn{m — i) ^ m{m — \){in—i') , , ) \ iH — ^-\ -^ ■\ ~— ^z,3+etc. >-
Il faut examiner maintenant quelle doit être la forme de ce produit, que je désignerai par P. Il est évident que si on l'ordonne par rapport aux puissances de 2, on pourra le représenter par la série
1 | ^z -j. Bz"" + Cz^ + Dz^ + etc. ,
et que le coeîTicient de l'une quelconque de ces puissances , de la cinquième , par exemple , dépendra de la manière dont seront composés l'un et l'autre des facteurs, depuis le premier terme jusqu'à celui qui ren* ferme cette puissance , car ce sont les seuls qui concourent à la formation du terme que je considère., Mais la composition de ces termes ne change pas , quelles que soient les valeurs particulières de m et de n ; et si elle est connue dans un cas où m et n soient des nombres indéterminés, elle sera la même dans tous les autres. Or , on sait que lorsque m. et « sont des nombres entiers , le produit P est égal à
ou à (i-fz)'"-^»,
et que
(i + s)'"+"=iH Y--=^+ ■ -^ -V-1-etc.j
DES ÉLÉMENS d'ALCÈBRE. i6i
c'est-à-dire que chacun des coefRciens des puissances de s est composé avec la quantité m-\-n , comme lea coefïiciens correspondant des facteurs (i-f-s)'"et (i-j-s)* le sont avec les nombres m et n. Donc le produit P, devant conserver la même forme dans tous les cas , doit répondre en général à f ( m-+-n ) ; et il résulte de là que
f(m)xf(")=f(^ + n).
C'est cette équation qui renferme le caractère fondamental de la fonction désignée par la lettre f , et qui ea fera connaître la nature.
Si l'on change n en n-^p, elle donnera ^
f(m)xf(«+p) = f(^ + «+p);
et comme
f(n)Xf(p) = f(«+p), il viendra
On obtiendrait une semblable équation, quelque fût le nombre de fonctions multipliées entr'elles.
Il suit de là , que si l'on prend un nombre k de facteurs égaux à f f - j , on aura
puisque T-';^k-=h; et par conséquent
Cçmpl. des Elém. d'Alg. Il
Tirant de part et d'autre la racine du degré k, on trouvera
maïs h étant un nombre entier, f (/j) = (i + z)*, et l'équation ci-dessus devient
il est donc prouvé que f Q, ou la série
est le développement de la puissance fractionnaire -^
de la quantité i + a.
Je passe à présent au cas où l'exposant est un nombre
négatif : on a alors
■in-\-n = 0)
mais d'un autre côté
f (m + n) = (i 4-^)° = 1 {Élém. 37) ;
il suit de là que
Mettant, au lieu de m, sa valeur — n, il vient, quelle que soit n ,
et puisque
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. i63
îl en résulte que f ( — n), ou la série
est le développement de (i -l"-)""-
On passe facilement du développement de (i +-)"'
à celui de (x -f a)'" ; car si Ton fait - = - , on a
d'où l'on tire
«t l'on est conduit à la formule du n° 1 44 des Élémens.
La démonstration précédente ne laisse rien à désirer du côté de la rigueur et de l'élégance ; mais elle repose sur une considération bien fine , et par là bien dilTicile à saisir pour les commençans (*). La suivante, fondée sur de simples opérations de calcul , paraîtra peut-être plus évidente à beaucoup de personnes ; elle est tirée des Transactions philosophiques (année 1796).
