L'examen des premières puissances de \-\-x
(*) La seule djfHculte de celte demohstraiion est de sentir la
force du raisonnement par lequel Euler a établi l'cqnation
i[m) X f(n) =*f (/w-f-n^. Stgner Ta prouvée en indiquant une ruatiière d'effectuer la multiplication du dcvcloppement de l'{m) par celui de f [n) , de sorte que le produit se présentât sous la forme du développement de {{m-j-n). (Voyez les 3Iém. de t\4caJ. da Berlin, année 1777, p- 37 de V Histoire , ou les Elémens d\-4l~ gèbre , par M- l'Huillier' ; mais il me semble que le mérite de la inîitche d'Euler est d'éviter les longs calculs. Au reste, les démonstraiions de la formule de jN'ewton se sont multipliées à tel point, ■que leur réunion composerait un fort gros volume ; les Transactions philosophiques , sur-tout, ea contietuicat un grand nombre^
ig^ COMPLÉMENT
conduit naturellement à penser que le développement d'une puissance quelconque de cette quantité, doit être de la forme
les coefficiens A, B, C, £>, E, etc. , étant des nombres entièrement indépendans de toute valeur de x. Il est visible , d'ailleurs , que ce développement ne doit contenir aucune puissance négative de x\ car s'il avait, par
exemple, un terme de la forme —, la supposition de
x-=o rendrait ce terme infini {Élém. 68), tandis que la même supposition réduit à l'unité toutes les puissances de i -\-x.
Cela posé, soit
(i 4.x)" = i+Ax-\-Bx^-{- Cx^ 4- Dx^-^- etc. , on aura aussi
(1 +yf- i-^Jy + By'-^ Cy-' + £>/ + etc. ;
et en faisant
(1+0:)» = u, ii^yYz=v,
il viendra
et
?4ais si l'on fait attention que
i4.a: = u% i+y = v'', çn en conclura que
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. i65
et que
Or, en vertu du théorème du n° i58 des Élémens ,
on a , puisque m et n sont des nombres entiers ,
li"— v^^Cu — v) (a''-*-i-f^"-V 4.U1/'— ^+1;"-'),
et la division par la quantité x —y s'effectue ; il viendra donc , d'après cela ,
u'"~' -\- u'"~V -f- ui'"""' + f '""*
u"-»-f- u''-V +ut/''-*H-i/"-'
+ £:(x^ + x^j |- xy -f xy3 +y) + etc. Cette dernière équation, devant avoir lieu, quels que soient x et y, subsistera encore lorsqu'on fera x=y, hypothèse qui donne
1 + a; = 1 + j, u = v, et qui réduit l'équation ci-dessus à (^
■ — -~=A-\-zBx-{-^Cx^-\-4Dx'^-\-bEx^-^etc.,
ou à
^u'"=u"(J-{-aBx-^ZCx^-[-4Dx'^-j-5Ex^'^etc.y
Maintenant, si l'on met pour u"* et u" leurs valeurs
(1 -i-x)" et 1 +x, on aura
— - (^i+xy=(^i+x){J+2Bx-{-5Cx^-\-4Dx^-{-bEx^+etc,)j
équation qui renferme une condition propre à déterminer les coefïlciens A, B , C , D , etc., du développe-
ment de (1 -(- x)"'»En effet, si l'on substitue ce dévelop-
l65 COMPLÉMENT
penient dans le premier membre , il viendra
n n n ii n
~\ 4- Ax-^Q.Bx-' + ZCx'^-\-4Dx^-\-etc.
Si l'on n'a point perdu de vue que toutes les équations par lesquelles on vient de passer, doivent se vériîier sans qu'il soit besoin d'assigner aucune valeur à a;, on en conclura nécessairement que leur premier membre doit renfermer précisément les mêmes termes que le second, ou, ce qui est la même chose, qu'elles doivent être identiques. Or, pour que cela soit, il faut que les termes affectés de la même puissance de x soient multipliés, dans l'un et l'autre membre, par les mêmes coefRciens : on égalera donc les coefïiciens du premier membre de l'équation précédente, à ceux qui leur correspondent dans le second; on aura ainsi les. équations
3C+25=:-5,\ ce qui "■ / donnera
etc.
etc.
DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. 167
On voit, par les dernières équations, comment les coefïiciens A, B, C , D, etc., dérivent successivement les uns des autres. Si on prend leurs valeurs , ce qui n a aucun© difficulté , et qu'on les substitue dans la suite
\-^Ax-\-Bx^-\-Cx^-^ etc. , on trouvera
+ ^ ^? — ; X* 4- etc.
J'observerai qu'il n'y a point d'induction dans ce qui précède; car toutes les équations qui y conduisent sont symétriques, et la loi de leurs termes est telle, qu'on peut en concevoir un aussi éloigné qu'on voudra du premier. Il faut remarquer aussi que le déyelop-
pement de (i+J^)" donne celui de (i-f-o:)"*, en faisant n=i, et qu'ainsi la formule du binôme se trouve démontrée, lorsque l'exposant est un nombre entier.
On pourrait encore révoquer en doute la légitimité de la foiTnule pour le cas de l'exposant négatif", mais pour la prouver, il suffira de montrer que l'équation {F^ , de laquelle se tire la formule, a encore lieu lorsqu'on y change m eu — m; or, c'est à quoi on parvient en observant que
car il en résulte
iB8 COMPLÉMENT
et comme par ce qui précède , la quantité — devient
—z^ lorsque v = u, on aura pour le même cas
nu"
u "' — V "* — i mu"" ' — mur n= ^ r=
.77 . .71 oin. ^^ . n—- 1 " n—
Le second membre de l'équation (>f^ ne changeant d'ailleurs point de fornae , on aura
mu — '" — * ^:^ = A-^2Bx +5Cx''+ 4Dj^-\- 5Ex^+ etc.,
équation qui ne diffère de (/^) que par le signe de m, et qui doit par conséquent conduire aux mêmes résultats que l'on déduirait de l'équation (^), en y changeant m en — m.
8i . Pour appliquer maintenant la formule du binôme à l'extraction des racines, je vais chercher la racine 5* de
a-\-b y c'est-à-dire développer (a + ^)^' En faisant
7n=\ dans la formule du n" i^^ des Èlémens y et en y changeant a; en a et a en è, les quantités
ma m — 'i a m— sa
1 — , — ' ; — 5 , etc.
