XX 2 X 3 X

deviennent

l^ ^-zlt isiî^ ir"^5

et en réduisant,

1^6 4 h ^ h lÉ^ b

En faisant les produits successifs des nombres de cette

DES ÉLÊMENS D'aLGÈBRE. iGg

dernière ligne, comme l'indique la formule citée, et

multipliant le résultat par a^, on trouvera

i if 1 b 1.4 è^ . i-4-q ^^^

^ -^ ^ - — 4- etc.

Pour employer cette formule à l'extraction approchée de la racine cinquième d'un nombre donné , on partagera ce nombre en deux portions, de manière que la plus grande soit une cinquième puissance exacte, et ou la prendra pour a; le reste sera b.

Soit pour exemple le nombre Î260: on le décomposera en 2434- 17, parce que 243 est la cinquième puissance de 3, et on fera

a = 24^ , b = ij; il en résultera

Eu substituant ces nombres dans la formule précédente, la racine cherchée sera exprimée par une suite de fractions de plus en plus petites. Pour l'évaluer, il faudra réduire ces fractions au même dénominateur ; mais on évitera cet embarras en les convertissant en décimales. Dans cet exemple , b étant moindre que la dixième partie de a, l'approximation sera très rapide.

Voici les difFérens termes de la suite, formés chacun par le moyen de celui qui le précède, d'après ce qui a été dit plus haut.

Ï7<3 COMPLEMENT i*"^ terme 4-ijOOOoooo

3*, — ^X2.^= — JBz= — o,ooo39i5

r 4'>^ X3.p— r=: C=+o,OOOOl64

5«, —Cx -.P- =: — D — 0,0000008

2 oa

•4- 1,0140082 — OjOooSgaS — 0,0003923

-f- i,oi36i59

Les termes qui suivent le cinquième sont trop petits pour en tenir compte, lorsqu'on se borne, comme je l'ai fait, à 7 décimales. J'ai retranché la somme des termes négatifs de celle des termes positifs, et j'ai multiplié le

reste par a^ ou 3, ce qui a donné 3,o4c8477 pour la racine cinquième de 2G0 ; mais quoique le résultat ait 7 décimales, on ne peut compter que sur l'exactitude de la sixième.

De quelque degré que soit la racine qu'on veut extraire, on procédera comme ci -dessus, et on observera en général , que toutes les fois que l'on emploie la formule (x'-f-a)'" pour convertir une expreision ensuite infinie, et pour approcher de sa valeur, il faut que le premier terme x soit plus grand que

le second a , afin que - soit une fraction , et que tous les

termes devenant de plus en plus petits , la série soit convergente.

DES ÉLÉMExVS D'aLGÈBRE. 1^1

83. Les premiers termes du développement de (x-f-a)"* suITisent le plu» souvent pour exprimer d'une manière très-approchée les racines des nombres ; et c'est de là qu'ont été tirées plusieurs formules que je vais faire connaître.

Soit proposé d'extraire la racine m''"" de la quantité 0*"+ b , dans laquelle la valeur de a surpasse beaucoup celle de b. Pour cela, comparant à^ ~{- b au développement de (a +9)", et effaçant de part et d'autre le terme a"*, on aura

résultat auquel on peut donner la forme suivante ;

b=q( ma^-'H — ^^ -^a'"-^9^ — ^^ -■= -''a'^-^ç^+etc. J,

et dont on tire

b 0:zi ' • r

On pourra négliger, vis-à-vis du terme ma'""', ceux

qui sont affectés de la quantité q, si cette quantité doit

être une fraction assez petite ; on aura une première

approximation que je désignerai par q\ et dont l'ex'pres-

b sion sera g = — -— ,.

En prenant un terme de plus dans le dénominateur de l'expression générale de q, et ne négligeant que les termes affectés de q^ et des puissances supérieures , on aura

ma*" 'H — 1:^ ^a" ="9 c-f- q

On mettra dans le dénominateur du second membre , à la place de <7, sa valeur q' , qui résulte de la première approximation, et il en résultera une seconde valeur

ma"' ' , m — i ,

plus exacte que la première ; on pourrait continuer de cette manière , mais je me contenterai d'ajouter à ce qui précède, l'exemple donné par Lambert , auteur de la méthode.

Soit m = 3 et a'' + ^ = 45873642 , on trouve que le plus grand cube contenu dans ce nombre est 45499293, cube de 367 ; on a donc 0"^ = 45499293, & =374349* et a = 357. On obtient ensuite

■3a"' ^ '~'5a^ a-frq"

A = 5Z^^ = 349,5322i, oa 1071 ^^

et par conséquent

Ce résultat est exact jusqu'à la quatrième décimale; on peut s'en assurer en faisant c = 35 8, nombre très approchant, et duquel il résulte

DES ÉLÉMEN'S D'ALCÈBRE.' 1x3

b I 8,445oG5 -^

Zaa-\-q' 367,9754 ' ^ ^'

d'où

valeur qui s'accorde avec la précédente dans les quatrt premières décimales.

Si, dans l'expression q"=. — ;;— ;X , on

met pour q' sa valeur , il viendra

d'où il suit

p.ab

ama"' dz{rn — 1)6'

formule à laquelle Haros est parvenu sans connaître le travail de Lambert. Il en résulte, lorsque m =2 2 et m =^5, les expressions suivantes:

'/^a'zïz.b' " ~ ~Za'±Lb'

83. En faisant Tn^=\ dans les quantités représentées par A et par B, à la page 9 1 , elles donneront, si a sur^passe b , des séries convergentes , au moyen desquelle» ©n obtiendra les valeurs approchées des expiessiona

Il viendra

STëf? 3.6.9.12 â"^

et en substituant ces valeurs dans les formules du n° 3i , on aura des valeurs approchées et réelles des racines de l'équation du troisième degré dans le cas irréductible.

Ces séries n'étant convergentes que dans le cas où on a 6 <^ a , il faudra en trouver qui procèdent suivant les

puissances de y pour le cas de b'^a, ce qui se fera en

écrivant les binômes proposés , comme il suit :

(b V/^ + a)'^, (— b y/'^x + ay.

Or,

puisque — rr= — y — ij de même

donc

Les développemens de3 facteurs

se déduiront de ceux de

en changeant - en y> il ne restera plus qu'à multiplier a 0

les séries résultantes par les facteurs

(èv/^)'"=è'"(v/^)'" et {-^b\/^Y—.{—hY{\/'^iT'

Pour obtenir (y/ — i)", lorsque m =:: - , il faut chercher la valeur de (v/ — O'» ^^ l'élever ensuite àla puissance p. Soit y=: {\/ — i)'', ou, cequirevientaumême,

y=^{ — i)'*'» ^" élevant les deux membres à la puissance aq , on aura

y''^ z=z — 1 , ou y'-'i -\- \ =^o.

Telle est l'équation d'où dépend en général (y/ — i)^; mais lorsque q est impair , une des valeurs de cette expression est égale à -f- \/ — i, ou à — y — i , selon que q est de la forme /\i-\~\ ou 4'~f-'^ (40 > parce qu'en faisant, dan^ le premier cas, ^==-|- y/ — i , et dans l'autre ^= — \/ — i, on trouve y''=\^ — i- H suit de

là que (V^ — 0^ = — V^ — 1- En effectuant les calculs pour le cas où m=|, on trouvera

^— "^ \56~3rb7^ 6^^ + 3.6.0.12.15 6^ ^' i*

^=-* I ' + 376 6^- SXiTTÏ 65 +'"=•}'■

et on formera avec ces valeurs un second système de formules qui donnera les racines de l'équation du troisième degré , lorsque b'^a.