On a en général
(a + b \/^Y ^(a-^b Z^)-" = Tn{m — 1) b^ m{jn — i^(jn — s)(m — 3) M
— etc.j.
On peut obtenir pour la même expression d'autres développemens en séries , dont la marcha soit plus rapide que celle de la précédente , et cela par un moyen fort simple. En ajoutant l'équation
mb Tn(m — i) &^ m(m— i)(m — 9) b^ ,
'+Tâ 1.2 â^^ Ï"X3 ^■*"'^^-'
avec l'équation
vnb . m(m — \) b"^ m(m — i^fm.— 2)^-^ ,
t [. -^ '- ^ '-\ '- - + etc. ,
il viendra
0/^,1 ^(^— 0 ^ . mÇm— 0(m— 2)(m— 3) b^,^. \ \ "^ 1.2 a^"*" 1.2.3.4 û* '>''
et si on eut retranché la seconde de la première , on aurait en,
DES ÉLÉMrXS d'algèbre. ,^7
V ^ " ^ ru ^ + ^^c-J •
run de ces résultats nerenfern,e que le. termes qui occupent un rang unpair dans le développement du bi-
trouvée ci-dessus, avec celle de déduite des séries du n° 4,, et qui serait il en résultera
la série du second membre ne contiendra plus que les ^rmes du développement du binôme , pris de qua^e en <iuatre , a partir du premier.
Retranchant ensuite l'expression de
de celle de
on trouvera
,/m(m-i)6^ , m(m-i)(m-9)(m-3)(m-4)(ni'-5)6^ , . \
Je second membre ne contient encore les termes du développement du binôme que de quatre en quatre , mais à partir du troisième.
On tire de la première de ces équations
et de la seconde
('+y^)"+('-y-)=(-+!H-sy
Lorsque l'exposant m sera fractionnaire, les séries cidessus ne se termineront point ; mais si la fraction -
est fort petite, il suffira de joindre à la quantité... -* (*'^"~)^"(^ i,unou deux termes de la série
qui vient après : on pourra souvent se contenter de l'une ou de l'autre des valeurs
DES ÉLÉMENS D ALGEBRE. 173
0 + iv/=r)"4-(.-y=T)"=
Quand m = }, on volt, parle signe des termes qu'on néglige, que la première est plus grande que la vraie valeur, et que la seconde est moindre; on reconnaîtra donc parla différence des résultats obtenus, le degré d'approximation qu'on aura atteint.
Les formules précédentes s'appliqueront à l'exprcssioi»
en les multipliant par a".
Si l'on prend la différence des développemens de
qu'on la divise par {/ — 1 , et qu'on y ajoute ouqu'oa ■en retranche le développement de
on aura les deux équations ci-après , dont les seconds membres renferment les termes du développement du binôme, pris de quatre en quatre , à partir du second et ■du quatrième.
ïSû COMPLÉMENT
"^ V r^TB ^ "^ 1.2. ..7 — ^ + ^*''' ;•
85. Il est facile de déduire du développement de la puissance m du binôme , celui de la même puissance du polynôme quelconque a-f-^+c + c? + e-f- etc. Pour y parvenir d'une manière commode, je représenterai le développement de (a -j- Z>)'" par
c"* + Aar"'b + BaT'-^b^ + Ca"'-^b^ -f etc.
Si maintenant on suppose que b se change en 3+c, le binôme a -{-6 deviendra le trinôme a-\-b-{-Cf et il faudra écrire dans le développement précédent
{b + c), (3+0% (6 + c)% etc.,
au lieu de b , b^, ^i', etc. On trouvera, par ces substitutions ,
résultat qu'il est facile de continuer aussi loin qu'on voudra. Soit donc Na""-""' h"'' le terme général de (a+è)""; il se changera eniVa'"'"'"'(è + c)'"' •, en faisant
{b + c)'"^ b'^'^A'b"''-\-\-D'b^'-'c'^C'b"''-^c\ . .+iV'Z>'"'-'""c'"''-f etc. ;
DES ÉLÉMEN'S D'ALGÈBRK. iSï
iJf-A'b'^'-'c il deviendra ^oT-"^ c+Cb'"'-^c^
+ etc. /
et considérant avec attention ce développement, on remarquera bientôt que , dans chacun des ternies qui le composent , la somme des exposans des lettres a , b , c, e^t constamment égale à m, mais qu'ils ont d'ailleurs, chacun en particulier, toutes les valeurs qui peuvent satisfaire à cette condition, et que le terme général, c'est-à-dire celui qui ne renferme que des exposans indéterminés, a pour expression
Je suppose encore que c se change en c-j- d , et qu'on ait
e'""^A"c'*"''d-^B"c'"'-''d'-\-C"c'""-^(P..+N"c""'-""'d'" -}-etc. ;
en substituant ce développement au lieu de c"*" dans le résultat précédent, on trouvera que le terme général de (a+è-f-c+f^)"" sera
iVA'A'"ti'"~'"'6"''~'""c'"''~'"'''c/'"''
Il est facile de continuer ce procédé -, et L'on voit déjà que 7\'"'c?'""'~'"""e'""" étant le terme général du binôme (^d-^e)""', celui de (04-6 + c+c^+e)" sera
A'^A^' TV" A' '"a '""'"' Z> '"'"'"'' c """" ""fi"'"'"'''" "e'" "" .
Il ne reste plus, pour avoir chacun de ces termes généraux, qu'à substituer, au lieu des coefîiciens iV, iV', N", A'*, etc. leurs valeurs.
l83 COMPLÉMENT
Puisque JV est le coefficient du terme a"'"''"'^'"', dana le développement de (a-}-Z>)"*^ on a,
Si on écrit au numérateur et au dénominateur toua les facteurs compri? entre i et m — m inclusivement , la valeur de cette expression ne changera pas, et on ^ura alors
On déduii-a N' de N en changeant m en m' et ?fi' en m"i il viendra donc
