An.Xi-2--- (m — rn
En faisant le produit N]S'N"N"', avec l'attention d'effacer tous les facteurs communs à la fois au numérateur et au dénonjinateur, on trouvera
i,2..(m-mOXi.2..C^'-mO,Xi.3..(m''-m'OXi.2..(m'''-w'''')i.2..w^*
\ni — m" =. q
Soit fait, pôar abréger, <m" — ■ m" ■=■ r
IDES ÉLÉMEXS d'aLGÈBRE. i83
en ajoutant ces équations , il viendra
tt Ton aura
i.2...pxi.2...çXi.2...rXi.2...5Xi.2.,.f
pour le terme général de (a-f-6 +c-|-£/-f-e)'" : de là il est facile de déduire celui de la puissance m d'un polynôme quelconque.
Avec le terme général, on formera le développement cherché, en observant qu'il doit contenir toutes les puissances, depuis o jusqu'à m inclusivement de chacune des lettres a, b, c, d, e, etc. , et que la somme des exposans dans quelque terme que ce soit, doit toujours être égale à m. Quant au coefTicient numérique , la formule précédente fait voir comment ou le déduit des exposans du terme qu'il affecte.
Pour donner un exemple , je prendrai
En ordonnant le développement de cette puissance par rapport à une même lettre, je suppose que ce soit a, on n'aura plus qu'à chercher tous les termes qui doivent contenir chaque puissance de a; la manière dont je vais former ceux qui sont affectés de a*, fera voir comment il faudrait s'y prendre pour toute autre puissance. J'écrirai
d'b\ a^ây a'd^.
à^b'^d, a^cd^y
a'bc^y
a^bcd ,
a'bd^
Je ne m'arrêterai pas à former les coefTicieas , parca
qu'il nV a aucune diiTiculté à cet cgard, en se rappelant que toute lettre qui ne porte pas d'exposant est censée en avoir un égal à l'unité.
Si m n'était pas un nombre entier positif, la condition exprimée par V équation p-^q-\.r^s+t+. . ~m pourrait paraître difficile à remplir^ mais on évitera cet inconvénient, en donnant au polynôme (aH-ô-f-c-f-^-f e-j-etc.)'",, k forme d'un biiiome (a+x)'", dans le développement duquel on substituera, au lieu des puissances de x, qui seront nécessairement positives et entières , celles du polynôme b-{-c-\-d-\-e-^eXc. On trouvera de cette mai^ière Je terme général exprimé par
i.2...7Xi.2...rXi.2..,jXi.2...f i^'cd-e y
sous la condition ^-{-r+5-f f =: /z, et n étant suc-, cessivement égal à i, 2, 3, etc.
se. On peut faire usage des formules précédentes pour développer l'expression
il suffit pour cela de changer respectivement b , c ^ d, e, etc. en hx , cx^, dx\ ex^, etc. dans le développement de
En se bornant aux lettres écrites ci-dessus, le produit
cPbfc'^d'e' devient aPb''c''d'e'xi'*'^''^^'-*'^'^, quant au coefficient qui le précède, il demeure le tnême qu'auparavant..
DES ÉLÉMCXS D'aLGÈSRE, i85
Si on voulait former immédiatement tou3 les termes affectés de la même puis'sance x" , il est visible qu'il faudrait choisir les valeurs de q, r, s, t, de manière qu ellci satislLsent à l'équation
Les procédés qui font trouver par ordre ces diverses valeurs , sont l'objet de Y Analyse combinatoire des géomètres allemands , sur laquelle oa peut consulter les E/émens (T Arithmétique universelle, par M. Kramp.
Sj. Des considérations analogues à. celles du n° 8c , font obtenir bien simplement les relations des termes consécutifs du même développement. Si l'on pose
A, B, C, D, etc. étant des coefficiens indéterminés, es qui donne aussi
(°+*J'+O''+^y+-)"'=.^+/0-}-Cy+Py>-fctc.;
et faisant, pour abré2;cr
a-i-bx-i- cx^-\-dx^ -{- .... — u, o + ^^ + O' + r/y '+.... = V ,
on trouvera
Les deux termes de la fraction du second membre de cette équation sont divisibles parx-j; en effectuant la division , on trouvera
B+C X + y) -f. D (x^ 4- xy + v^) -4- etc.
b-hcix ^y) {- c? (x^ + xy -i-y-) + etc. *
Si on fait x =y ^ on aura en même temps u = v; le
développement — se réduira , dans cette hypothèse , à mu"^~^, quelle que soit m , ainsi qu'on le conclurait facilement du n" 80, et l'équation précédente deviendra
m(a-j-bx-{-cx^-\-dx^-{-etc.)"
5 + 2 C.r-f-5Z?x°-4- etc.
b-\-2.cx-^'5dx^-^e\.c.
f X 1 , , . 7 -? . >n, , (a-i-bx-\-cx^+dx^-\-...)"' (a4-bx4-cx^4-dx^-{-...)"'-^=:^ ; , — , . , . — —=: ^ * ^ ^ ^ ' a-^bx-\-cx^-\-dx'-{-...
A-\- Bx-]- Cx-" 4- Dx^ H- etc.
a-\- bx -\- cx^ -|- û?x^ 4" '^tc.
par l'hypothèse : on aura donc
m{A-JfBx+Cx-'+Dx'^-^e\c.')__ ^-faCjr-f 5Px'-hetc. a + ôx+cx^+Jx^+etc. Z>+2cx +3c/x^+ *
et chassant les dénominateurs, 7n(v^4.Z?x4-<?x"+Dx34-£x4+etc.)(6+2cx-h3f?x*+4ex34-etc.) =^(Z?4-2 Cx-f-3Dx^+4£x3-l-etc.)(a-|-èx4-cx"-hc?x^4-ex^+etcO :
faisant les multiplications indiquées , il viendra
mbA-^ mbB
x-j- mbC -\- zmcB -^"SmclA
x^+ mbD -\-5mdB
x3+ m^'^lx-^-fetc."
+ 2mcD
-\-'5mdC
+ /^meB
+ bmfA
x^-fetc.
'aB-\-'3.aCx^'ùaD x^-\-4aE x^4-5«F, + bB 4-2èC +36D -\-4bE -jr cB\. -i-2cC -\-'5cD 4- dB -hfidC I + eB\ En comparant les coeiïiciens des mêmes puissances de x.
DES ÉLÉMEiNS D'ALGÈBRE. iS/
on trouvera aD-=TnbA ,
3aD—{m-Q)bC-\-i-2ni—i)cB-^5mdJ,
4aE=lm—3)bD-^(2in—9.yC+(3m—i)dB-\-4meJ,
5aFz=(m—4)bE+icim—3)cD-}-(ùm—2)dC-{-i4m—i)eB+^mfJ,
etc.
La loi de ces valeurs est facile à saisir : tous les coefficiens B, C, D, etc. seront déterminés lorsque A sera connu ; mais on voit qu'il exprime la valeur du développement lorsque xr=o, et dans ce cas, la fonction proposée {a-\-bx-\-cx''-tdx''-i- )'" se réduit à a"* : on a
donc A = a'".
En calculant d'après cette valeur, celle des lettres B, C, D, etc. , on trouvera facilement que la piiissance m du polynôme a-^bx-{-LX^"-T-dx^-^e\.c. a pour expression
( Tn{ni — i) „,, ;
+ ma'^-'cN -f — ^ ^a"'-^/'t
i(m-0(rn-2)(m-o) ] , , m(Ti-0(m-2)(m-3)(m-4) ^^.5^5 U
i.a.o.iv i i.2.o.4'-> I
m(m-0rm-2)^^3^, J 7n(m-i)(m-a)(m-5) ^^.^,
1^jla--^cA +' mCm-i)(m-2) ^,3^^, ^+etc
ma'^-'e I 4- — ^^ ^ a'^-'be
4, ma'"-'/ ;
Moivre, qui donna le premier la formule précédente , fît aussi remarquer la loi suivant laquelle on peut former chacun des termes qu'elle contient j mai? comme Je n'aurai pas occasion de l'employer fréquemment , je ne m'arrêterai pas d'avantage sur ce sujet. J'observerai seulement qu'il n'existe point de fonctions algébriques qu'on ne puisse développer par ce qui précède ; car les plus générales ne sauraient être que des combinaisons de monômes ou de polynômes élevés à des puissances positives ou négatives, entières ou fractionnaires..
De la sommation des séries dont le terme général est une fonction rationnelle et entière du nombre de leurs termes.
88. J'ai donné dans le n? 22g des Élémensla. somme des termes d'une progression par différences,
dont la différence était «l" , et le nombre des termes n ; je suppose maintenant qu'ion élève chacun des termes de cette série à une même puissance, et je vais considérer la série
c"', è", c'», ft'", /".
On forme d'abord le développement de ces quantités en élevant à la puissance m chaque membre des équations
et on a
i" r= a'" + - a'"-'*^-!- ^^^-^ a'«-=«^»4-etc.,; 1 I . a
c" = b"^ 4- - ^»'"-i^+ ^^--^ è'"-'«^*4 etc..
DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. 189
d- = c-+^ c— '<r+ "<I!l-ll c'"-^^4- etc., '1 1 , a '
/"» = yt-" + - /{'"-'J^ 4- ^11^-il ^'—^J^» -f- etc. 1 ' 1 . a
En ajoutant respectivement entr'euxles premiers et les seconds membres de ces équations , effaçant les termes communs aux deux sommes , et transposant a'^' dans la première , il viendra
