Thomas Simpson a donné aussi un moven très
simple pour obtenir immédiatement la somme des puis-
•ances semblables des termes de la progression par dilTé-
rences, et qui revient à peu près à ce qui suit.
, ., . , ^ (a+hn La somme des premières puissances étant 0,= ,
, . <^ ^ , aa—^ , , ,
devient- n^H n, lorsqu on met pour / sa va-
leur a-f-(" — O^i l'analogie porte à conclure de là que la somme des puissances du degré m peut être exprimée par
^n»-^' -h Bn'" + Cn'"— -f ^^//i ,
les lettres A, B, C, . . . . M, désignant des quantités indépendantes de n; on aura donc , dans cette hypothèse ,
^„m-t-. j ^„m | Cn""-! ^ Mn =
Mais si l'on augmente la progression proposée du terme e-f-"^ consécutif à a-\-(n — 1) ^ , le nombre des termes deviendra alors n-f- 1 ; et substituant ce dernier au lieu de n, dans le premier membre de l'équation cidessus , on trouvera
^(,,4. 1 )".+'^5(n-j- , ) -"-f- C(n-f- 1 r-' . . .+3/(/i4- 1 ) = retranchant de cette dernière équation celle qui pré-
cède, il viendra
+ yT/=CG+«0"'-
En développant les deux membres de ce résultat, et en les ordonnant par rapport à n , il prendra la forme
Jn"'+ ^ ^—Jn"'~'-\-^ ^ ^ ^ -.JAii""-^ 4 etc.
-f- Cft'"-='+etc.
~J'"^mi !^ fl(^'"-'7i'"— + ^^^^~~JJ a'J^"— »7i'"-"4-etc. 1 1.2
Égalant entr'eux les coelTiciens des termes semblables de chaque membre, on aura
etc. i
d'où on tirera
DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. igS
^•3 û 2.3 iTsTl ^'
etc.
Si dans ces formules on fait successivement m = i , m = 2, m = 3, etc., que l'on substitue dans l'expression An'" ^-^Bn'^-^-etc. , les valeurs qu'elles donneront pour
les coefficiens^, 5, C, , et que l'on désigne comme
ci-dessus , par 5", la somme des premières puissances , Sa celles des secondes , S3 celles des troisièmes..... , on trouvera
__ 90. Je ne pousserai pas plus loin ces valeurs , mais J en ferai l'application à la progression formée par la suite naturelle des nombres
ïj 2, 3, . . . . n.
Dans cette progression,
û=i, ^=1, l=,n, et par conséquent
So = n
Compl. des Élém. d'Al^. ,3
etc.
qi. Au moyen de ces formules, on peut trouver la somme de toutes les progressions dont le terme général est exprimé par des puissances entières et positives de 71.
En effet, si le terme général d'une série était an'', la quantité a ne changeant point, il est évident que la somme de cette série , dont chaque terme se tire de l'expression a/i?, en faisant successivement n=i, n=.2, etc., serait
iP ff 4- sPa + 5Pa -f 4Pa . . . - . 4- 7iPa = (iP+yP-f ÛP-I-4P -j-nJ')az::^ aSp.
Il suit de là que la somme de la série dont le terme général est an^ + bni, a pour expression aSp 4" bS^ ; car chacun des termes de cette série est la somme des termes qui se correspondent dans les séries dérivées de anP et de bn'>.
Eniîn le terme général étant anP+bni — en', la somme sera aSp -}- bS^ — cSr , puisque chaque terme de cette dernière suite est égal à la différence entre les deux termes qui se correspondent dans la série dérivée de anP-i-biii, et dans celle que donne c?i"; et il est évident qu'on doit obtenir le même résultat en faisant la soustraction terme à terme, ou en prenant la différence des deux sommes respectives.
