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-hQS„,3
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J'obserse maintenant que chaque quotient particulier " est le produit de tous les facteurs de la proposée , excepté celui par lequel ou a divisé. Le premier de ces quotiens , par exemple , renferme tous les facteurs , excepté x— « : le coefficient de son second terme sera donc la somme de toutes les racines , excepté u, prises avec des signes contraires; celui de son troisième terme, la somme de tous leurs produits deux à deux, excepté ceux qui seraient formés de la lettre « combinée avec chacune des autres: le coefficient du quatrième terme contiendrait de même tous les produits trois à trois , à l'exception de ceux qui résulteraient de la lettre te
combinée avec deux autres quelconques , et ainsi des coefficiens suivans. Ce qui vient d'être dit sur le premier quotient et pour la lettre «, aura lieu également par rapport au second et à la lettre fi, au troisième et à la lettre y, etc.
Il résulte de là que le coefRcient du second terme dans la somme des quotiens , ou dans la fonction {A) , est égal à 771 — i fois la somme des racines prises avec un signe contraire ; car si toutes les lettres se trouvaient dans chaque quotient, on aurait 771 fois cette somme; mais comme chaque lettre manquera une fois , d'après ce qui a été dit ci-dessus, elles ne se trouveront toutes répétées que 771 — 1 fois. On aura donc (771— i)P pour le coefficient du second terme de (^), et par conséquent
5, -f TTlP = ( 771 — 1 ) P.
• Le coeîHcient du troisième terme de la fonction (^ contiendrait aussi m fois les divers produits des racines «■, ^y Y ) ^> ^tc. combinées deux à deux, si toutes entraient dans chaque quotient; mais chacun de ces produits manque dans deux quotiens : «fi , par exemple , ne se trouve ni dans le premier ni dans le second ; tous ne seront donc répétés que rn — 2 fois •, et comme leur somme est exprimée par Q dans l'équation proposée , on aura (771—2) Ç pour le coefficient du troi-. sième terme delà fonction (y/), d'où il résultera
De même le coefficient du quatrième terme de la^ fonction (^)ne contiendra que m — 3 fois les divers produits des racines prises avec des signes contraires et combinées trois àtrois; car chacun de ces produits manquera dans trois quotiens : — ufi'y, par exemple, ne se trouvera ni dans le premier, nidans le second, ni dans le troisième;
DES ÉLÉMENS d'aLGEBRE. 7
ainii leur somme étant R dans l'équation proposée, (m — 3)/î sera le coefficient cherché , et on aura par conséquent
S3-hPS^+ÇS^-hmR=i7n — 3)R.
On peut pousser ces raisonnemens aussi loin que l'on voudra, et on en tirera
Sz-{-PS^^QS,-{-mR={m—3)n [ ''''\S',-^PS^+QS,-^'5R=o etc. ) lelc.
5. On obtiendra par ces formules la somme des puissances des racines, tant que l'exposant de ces puissances sera moindre que m ; mais rien n'est plus facile que de la trouver passé ce terme. En effet , il sufllt pour cela, comme Euler l'a remarqué , de multiplier l'équation proposée par x", il yiendra
:r"'-^n^Px''*■''-'~\-Qx"'■+''-^-\.Rx"'+''-\..-^Tx"-^'-^l\t''=o^
mettant successivement », /?, y, ^, etc. au lieu de x , on aura
etc.;
et en ajoutant ces résultats entr'eux, on conclura de la notation adoptée, .*
Sm^n-\-PSm+r,—i'hQSm+n—f\-R^m+n—3--'-^T^^n+i-h^'Sn'^^0.
Cette équation se lieparfaiteraentaveclesprécédentes, car eu faisant n = o , on a
5„ = ^<, = «°-f /3°-f-/-f ^-+etc.;
et comme «°=i, ^0°=: i , •/=: i , «^"^=1, etc., il suit de là que S^ égale l'unité répéléé kutant de fois
qu'il y a de racines, ou égale m. Par cette observation,
l'équation ci-dessus devient
résultat dont la forme répond à celle de la dernière des équ'^tions du numéro précédent, qui serait
Ces équations, dont la loi est facile à saisir, renferment le théorème que Newton a énoncé dans son Arithmé" tique universelle y et qu'il a appliqué à" l'équation x'^ — x^ — 1 ^x"" -f- 49X — 3o =r o.
Dans ce cas particulier, où P = — 1, Ç=: — 19,. jRr=;-J-49, S= — 3o, il a trouvé
^1—1, ^2 = 39, 53 = — 89., 54 = 723.: on trouverait de même
G. Il est visible que si l'on fait xz=:~ dans l'équation
proposée , qu'on en réduise tous les termes au même dénominateur , on aura une équation dans laquelle z = a;""', et dont par conséquent les racines seront «•^', /S"**, y~', etc. ; dégageant donc de son coefficient la plus haute puissance de z , et mettant dans les dernières formules du n° précédent, au lieu des coefficiens P , Q, etc. , ceux de l'équation transformée , les quantités iSi , ^3 , ^3 , etc. deviendront les sommes des puissances négatives des racines de la proposée , et devi'ont en conséquence être remplacées par S^ , iS 2, S 3, etc. j en désignant par 5„ la quantité «"" -f-/3~"-|- etc.
Nous ferons remarquer qu'au moyen de cette notation , on peut changer le signe de n dans l'équation
Sm+u + PSm+n-mi • . • • • -f" TSn+i -j- VSfi = 0,
DES ÉLÉMENS D'ALGEBRE. 9
«t qu'on aura l'équation
5n,-n -f PS„„, + TS^^n + VS n = O ,
qui fera connaître les relations des sommes des puissances négatives, soit avec celles des puissances positives , soit entr'elles; mais tant que n<^m, ces derrières relations sont exprimées plus simplemtnt par ce qui a été dit ci-dessus.
7. Avec le secours des résultats du numéro précédent , toute fonction algébrique, rationnelle et s)'métrique des racines d'une équation quelconque, pourra s'exprimer par les coefTiciens de cette équation -, l'exemple qui va suivre , quoique particulier , montrera sullisamment de quelle manière la chose doit s'exécuter en général.
Soient te, fi et y les racines d'une équation du troisième degré : si on multiplie l'une par l'autre les quantités *''+/3' + y» = 5„et ti''-{-fii'-\-yP = Sy, il en résultera
-}- «"^''-f- uPfi" + ce"'/ 4- «?'/" -f- y3"yP -f fiPy" ) " '' *
mais la première ligne du premier membre est égale à S„^p y et la seconde est une fonction symétrique des racines « , /8 et y formée en les combinant deux à deux , et en les affectant , chacune à leur tour, de l'exposant tk et de l'exposant p : on aura donc
11 est facile de voir qu'en quelque nombre que soient les racines», ;S, y, etc., la valeur d'une fonction symétrique de la forme <«"/3' -f- etc. sera toujours SnSp — S„^p, les sommes SnSp et S„^p étant calculées pour le nombre de racines que l'on considère.
En multipliant par a^ -{- /S? -f y? = S^ , l'équation pré-
cédente , on aura
■— --'^rt'^p>'ij'"~" Oh4-p '^.
Les deux premières lignes du premier membre de cette équation étant des fonctions symétriques formées de produits de deux lettres , seront , d'après ce qui précède , exprimées respectivement par
et on en conclura que la troisième ligae , qui est une fonction symétrique formée de produits de trois lettres , sera égale à
On aurait encore ici , comme dans le cas précédent, un résultat de la même forme, quel que fiit le nombre des racines ; ensorte que l'expression ci-dessus est celle de toute fonction symétrique composée de produits de trois racines.
Le procédé dont j'ai fait usage pour découvrir les deux formules précédentes est général ; et en continuant les multiplications , on parviendra à exprimer une fonction symétrique quelconque , qui ne peut jamais oîFrir qu'une .suite de termes tels que «"/3Pyî J^''elc. , et dans lesquels chacune des lettres «, /3, y , etc. se trouve affectée successivement de tous les exposans.
La formule donnée ci-dessus, pour l'expression de la fonction symétrique u^^Pyi -f- etc. , doit être modiRée lorsque quelques-uns des exposans n,p, q deviennent égaux. Pour fixer les idées, je supposerai qu'il n'y ait qu? les racines a, /s ,y ^ ê^.
DES ÉLÉMEN'S D'ALGÈBRE. il
La fonction *"iy'/-{-elc., composée de tous les arrangemens possibles des exposans n , p ,q sur les lettres « > )S) Vj ^> prises trois à trois , renferme en général vingtquatre termes distincts -.mais lorsque deux de ces expo-
lans deviennent égaux, comme dans la fonction
«' /2y -f- «'/S<J -j- etc. , elle ne contient plus que douze termes différens , répétés chacun deux fois , et la valeur que donne dans ce cas l'expression ci-dessu5, est double de celle que doit avoir l'ensemble des douze termes inégaux. Si les trois exposans n , p et q devenaient égaux entr'eux , la fonction tt"i3Pyi -f- etc. ne renfermerait plus que quatre termes différens , répétée chacun six fois; et dans crtte hypothèse , il faudrait prendre pour la valeur de ces quatre termes le Unième de son expression générale.
Toutes les fonctions symétriques sont susceptibles de semblables réductions lorsqu'il y a égalité entre quelquesuns de leurs expo;=ans; en comparant leur forme réduite avec leur développement général , on verra facilement par quel nombre il faut diviser l'expression que donne pour ce dernier la méthode ci-dessus.
Les fonctions fractionnaires ne doivent pas faire un article à part , car lorsqu'elles sont symétriques , il en résulte , après qu'on leur a donné le même dénominateur, une fraction dont les deux termes sont des fonctions symétriques et çntières. La fonction
— } i.--f.i-{ } j par exemple j conduit a
y y fi fi et u
__ — ! ■ ' , résultat dont le
numérateur et le dénominateur «ont des fonctions symétriques. Plusieurs Géomètres se sont occupés spécialement de ces recherches , et Vandermonde , en particulier , « imaginé une espèce de signe , ou un algorithme, au
moyen duquel il a construit des formules générales qui donnent immédiatement l'expression d'une fonction symétrique quelconque. Ceux qui sei'ont curieux de connaître ces formules , pourront consulter son Mémoire ( Acad. des Scienc. , ann. 1771 )•
8. Si on avait une fonction dans laquelle il n'entrât que quelques-unes des racines de l'équation proposée , on pourrait encore, à l'aide de ce qui précède , parvenir à former la nouvelle équation dont elle doit dépendre. Qu'il s'agisse , par exemple , de déterminer la somme de deux quelconques des racines de l'équation générale ^u troisième degré ;' comme il n'y aurait pas de raison pour représenter cette somme par « -}- /3 plutôt que par « -f" y j ou par /S -|-y , ces trois expressions doivent être regardées comme autant de valeurs dont elle est susceptible ; elle dépendra par conséquent d'une équation du troisième degré , ayant pour racines '
e»-|-/3,« + retjS + y> et qu'on formera en égalant à zéro le produit des facteurs
En effectuant le calcul on trouvera
— («=y3 4. «yS^ + a,' y + «y^ + /3 ^ +/SyO--2«i2y J ~ ° ' les coelïiciens des différentes puissances de z dans ce résultat, sont des fonctions symétriques, dont on trouvera facilement l'expression , et les valeurs de l'inconnue z seront aussi celles de la fonction cherchée.
L^équation- générale du troisième degré étant représentée par x^ + Par* + Q^ ■+■ -?? = o , on aura
« + /3 + y= — P, «' + /S' + y' + 3«/3 + 0«y 4- 3/3y = />=^ + Ç, et «'-/3 4- u^^ 4- «V 4- «^' + /3V + /Sy' = S:,S, — ^3 y
DES ÊLKMENS D'ALGÈBBE. i3
mais on a, par les équations du ii° 4>
