P, 5, = P» — 2Ç, S,z=^P^-{.5PQ — 5R

et de plus

il viendra donc

et en dernier résultat ,

Cet exemple fait voir que pour trouver l'équation d'où dépend une fonction quelconque des racines de la proposée , il faut faire dans cette fonction toutes les permutations possibles entre les lettres «e , /8 , y , «T, etc. ; et désignant par»', /S', y', etc. les dilTérens résultats obtenus ainsi , on égalera à zéro le produit des facteurs z — m, z — ^ ,z — y , z — y , etc. Les coefTiciens des puissances de zdans l'équation à laquelle on parviendra ^taut des fonctions symétriques des quantités u , /3', y', y, etc. qui renferment entr'el les toutes les combinaisons qu'on peut faire des quantités «, ^, y , <^, etc. dans la fonction cherchée, serontaussi des fonctions symétriques de ces dernières , et pourront par conséquent s'exprimer sous une forme rationnelle par les coefTiciens de l'équation donnée. En effet , il est facile de voir qu'aucune des fonctions symétriques de «', /3', y', ^^ etc. ne peut changer de valeur, de quelque manière qu'on permute entr' elles les lettres «, ,3 , y, è' , etc., et cette invariabilité est, ainsi qu'on l'a vu plus haut, le caractère essentiel des fonctions symétriques.

q. Les équations qui déterminent 5,, S^, Sz, etc., dans le u° 4, donnent aussi lei expressions suivantes :

i^ COMPLÉMENT

etc.

par le moyen desquelles on peut trouver les coefiicien» P, Q , R, etc. d'une équation x'"- ■-\-Px"'~'-{- etc. =0, lorsqu'on connaîtra les sommes S, , 33,83, etc. des puissances de ses racines.

Ces formules sont commodes pour former l'équation aux carrés des différences des racines d'une équation donnée (jÉ/em, 208).

'Soit, pour exemple, l'équation x^ — yx-f-yrrro; désignant par « , /3 , y les racines de la proposée , il viendra

La somme des racines de cette dernière est

(*-/3)^4-(^ — yy-f C/3-yy = 2 («'' 4- /8^ + y^) — 2(^/3 -h «y+^y) ~ uS^ — zQ ;

celle de leurs quarrés

2 («^4- /3^-f y 0 — 4(«'^^ 4- «/2^+ «V -f- «7^4- /S V 4"/2y'') 4- 6(«^/3^4-'«V^4-/3V)=354-4^3>Sa4-3^^ ;

eelle de leurs cubes ,

a(«^4-/3'4-y')— S(^,^/34«;S^4-«V4-'^y'4-/sV4-/Sy5) 4- 1 5 (^ '/3'4-«^/3 14-« ■ y^+'^'y ^4-('?V^4-/3'y 0 ^2o(«^/3^4-«y4-^y)=356— 65ô5', 4- 1 5^^—10.^3' ;

mais on trouvera parles formules du n° 4^

DES ÉLÉME.NS d'aLGÈBRE. i5.

nommant donc/i ; /l, /à; les sommes développées ci-des'» sus , on aura

et comme il existe entre/,, /a, /j et les coefllcien»

de l'équation en z, que je représenterai par

z* +^z'-' -f- (yz-f- rr=o , les mêmes relations qu'entr» ^t > Si.Sz, et les coefTiciens P, Q , R ^ on aura encore par les formules citées plus haut;,

et par conséquent l'équation (D) deviendra

comme dans le n° 2©8 des Élémens.

10. La théorie de l'élimination, dans les équations à deux inconnues, dérive d'une manière bien simple de celle des fonctions sj-métriques , exposée dans les article»

précédens.

Soient les deux équations

x'"4.Px'"-' 4- r).r'»-^+ Rx'^-^ . . . -f rx4- U=o . . . (1 ) , x" 4-P'x''-'-i-Ç'^''~'-+-/î'-i "~^ • • • -\-y'x-\-Z'—0.. . (2) ;

le moyen qui s'offre le premier pour chasser x de ce» équations , consiste à prendre dans l'une d'elles la valeur dejc, pour la substituer ensuite dans l'autre. Supposant donc que l'équation (1) soit résolue, et qu'on en ait tiré les diverses valeurs x = «,x = /3, x:=y-, x = ^, etc., jComme elles appartiennent toutes à la question proposée.

elles doivent être substituées indistinctement dans l'équa"tion (2) , et produiront ainsi autant de résultats délivrés de x^y que l'équation (1) a de racines : on aura séparément

etc.

Aucune de ces équations , considérée en particulier, ne peut être la résultante cherchée ; mais cette dernière doit les comprendre toutes , et avoir lieu en même temps gue chacune d'elles ; condition qu'on remplira en les multipliant entr'elles , et en égalant le produit à zéro , puisque ce produit deviendra identiquement nul , quand l'un quelconque de ses facteurs s'évanouira. On voit de plus qu'il ne changera point, quelque permutation qu'on fasse dans l'ordre des quantités «, /3, y, É^, etc. qui concourent toutes de la même manière à sa formation ; il ne renfermera donc que des fonctions symétriques de ces quantités , et pourra par conséquent s'exprimer rationnellement par les coefîiciens de l'équation (v).

Si les équations (1) et (a) ne renferment que deux inconnues x et y , et sont du même degré par rapport à l'une que par rapport à l'autre , l'équation finale en^ ne s'élèvera point au-delà du degré mn. En effet , la somme des exposans de x et de y ne pouvant surpasser m dans chaque terme de l'équation (i)j V ne se trouvera qu'au premier degré dans P, au deuxième dans Q, au

troisième dans R au {m — iy''n« dans T, et enfin

au m'''"' dans U. En examinant la composition des équations qui donnent S^, Sa, S3, etc. (4), on verra que 5, ne pourra être que du premier degré en y , S^dii

DES ÉLÉMEXS d'ALGÈBRE. ly

tîeuxième , etc. A l'aide de ces remarques, on concevra facilement que l'exposant de^ dans la valeur d'une fonction symétrique quelconque u"/^Py''ê'' etc. (7) ne surpassera point le nombre n-\-p'^q-\-r-\-etc. qui marque le degré de cette fonction : on pourra donc regarder les diverses puissances de «, /3, y, J", etc. , comme des fonctions de y du degré marqué par l'exposant dont elles sont affectées. Mais dans l'équation (2), la somme des exposans de x et de^' n'étant jamais plus grande que n , P' sera du premier degré en v , Q' du second , R' du troisième, F du ( n — 1 )""', et enfm Z' du n'"" ; tous les termes des équations (3) pourront donc aussi ctre regardés comme des fonctions de^' du degré n au plus. Maintenant, si on fait attention que chaque ternie du produit des équations (îz) aura pour facteurs un nombre m de termes de ces équations , on sera convaincu quej' ne pourra s'y trouver affecté d'un exposant supérieur à 7/in.

Ceux qui auront quelque peine à saisir les raisonnemens précédens, a cause de leur grande généralité, feront bien de développer le produit des équations (3) dans quelques cas particuliers.

11. Pour éclaircir ce qui précède, je vais en faire l'application aux deux équations

x*-hPx + Ç=o, af-\-P'x-j-Q' = o(ÉIém.iSS):

« et /3 étant les racines de la première, on aura, en les substituant dans la seconde ,

Le produit de ces deux équations sera

Compl. des Élém. d'Alg. 2

l8 COMPLÉMENT

A l'aide de ces valeurs » le résultat ci-dessus devient