On a vu ( Élémens , 235 ) la progression par quotiens

a -^ aq -}- aq^ -f" ^1" "f" ^^c. ,

naître du développement de la fraction ; ceci conduit naturellement à examiner les séries qui peuvent résulter du développement d'une fraction quelconque.

Supposons d'abord qu'on ait la fraction —, -j-; pour

'^^ ^ a-j-yx

prenant ensuite la progression

dont la raison est 3, les sommes partielles formeront la saite

X,5,i'i,i2, . . . . des nombres pentogonaux ;

et en continuant ainsi, on obtiendra les nnntbres polygones , qui sont, comme on le voit, les sommes d'une progression par dilTerences, ayant pour premier terme l'unité , et poar raison le nombre des côtes du polygone diminnc de deux unités. Si on désigne ce nombre par c , et cju'on fasse

dans la valeur de Si du n' 88, on trouvera

^, = [3 + (« - i}fc -^ 2)] ^ = « + — "-p^ (c - 2)

ponr le ferme ge'ne'ral des nombres polygones.

Quant à leur interprétation géométrique, en peut consnlter la note de l'article 43^ du premier \olume de VAIghhre cTEuler-, ou l'article figuré, dans le Dictionnaire de Malhém. de VEncy~ clopédie méthodique ( tom. II , page ao^.

la développer, on peut se servir de la formule dubinome J"

puisque ■> ./ = a{a -j- b'x)~\ ou bien encore

Cl -j- U X

supposer que

-r-^,— = ^ + J5x -f- Cx» 4- £>x3+ Ex^ + etc. , u -j- 0 X

les lettres A, B, C, etc. désignant des coefïlciens indéterminés. En multipliant les deux membres par a'-f-i'x, et passant tous les termes dans un seul , on aura

a'A + aB\x + a'C\x^+ u'D\x^ + etc.i __ — a-f-M +b'B[ +b'C\ 4-etc.j"'^'

cette équation devant avoir lieu , quelque valeur qu'on donne à x, il faudra égaler séparément à zéro les coefTiciens de chaque puissance de a: , ce qui donnera

d'où

dD + b'C = 0}

etc.

et on voit que chaque coefficient de x , de la suite A + Bx-^ Coc^ -\- Dx^ -f- etc. est formé , dans le cas actuel, de celui qui le précède, multiplié par la quantité

»— — , ou que chaque terme est le produit de celui qui

h'x le précède par -— —7-.

DES ELEMENS D ALGEBRE.

Soit encore

" ^^^-7-1: = J+Bx-i-Cx^ + Dx^ -f etc. ;

a-{-b'x-\-cx:'

en opérant sur cette fraction comme sur la précédente, il viendra

aA-\-nB ^a+b'A —b