Vient ensuite la série qui résulte du dévelop

pement de la traction -7--T7 — : — 7— i > traction quon ^ a -4-0 x-\-c X*

, . .1 • ce ^ .

peut écrire comme il suit , —, n j taisant, pour

abréger, -7 = « , —,z=z[i^ — = «'— = /3', elle se chanc c c c

géra en ■VT-77-.— -r — l- ^^ P ^^ ^ désignent les deux

ce I /O ^ r~ JC

vacines de l'équation du second degré x^-{-/i'x-\-»=.o y la quantité x*-{-/3'j:-f-<«' sera le produit des deux facteurs X — p et X — q; on aura donc

Il est naturel de penser qu'une fraction dont le dénominateur est composé de plusieurs facteurs simples, peut résulter de la réduction au même dénominateur, et de l'addition des fractions ayant ces facteurs simples pour dénominateurs ; et c'est ce qui se voit de 1^ manière suivante. On suppose

ip — x)iq — x) p — x q—x

P et Q étant des quantités indéterminées et indépendantes de X ; en réduisant au même dénominateur les deux fractions du. second membre , on trouve

• + dx =^ iPq -H Qp) - (P -f Q)^>

î208 COMPLÉMENT

ce qui peut avoir lieu, quel que soit x, si tf=:Pq-\-Qp et/3=: — (Z'+Ç*); et pour remplir ces conditions, il suffit de déterminer , par les équations ci-dessus , les quantités P et Q : on trouvera

P— «^H-r/^ Q—tjhSl

Au moyen de ces valeurs, on aura

« + /SX P , Q

et comme chaque fraction du second membre peut se développer dans une série ordonnée suivant les puissances de a: , il s'ensuit que la somme des termes qui se correspondent dans ces séries , sera égale au terme qui occuperait le même rang dans la série résultante du premier membre; le terme général de cette dernière s'obtiendra donc en ajoutant ceux des deux premières,

qui , d'après ce qui précède , seront —^ — , -^^-^ — . Il

suit encore de là que la série résultante de deux progressions par quotiens, ajoutées terme à terme , est récurrente.

99. Dans le cas où on aurait p=.q, c'est-à-dire ou les deux facteurs du dénominateur seraient égaux entra

eux , on ne saurait décomposer la traction -; -

en deux autres de la forme , — -^^ — , car on

trouverait

■ P — l±Pf n--l±^

et ou Toit que cela doit être ainsi , parce que les deux

DES ÉLÉMENS d'ALGÈBRE. 209

fractions , — ^— , s'ajoutant immédiatement, ne

peuvent donner qu'un résultat semblable à chacune, et non pas semblable à la fraction proposée : il faut donc alors tenter une autre décomposition. On voit

d'abord que la fraction — équivaut aux deux sui-

vantes , 7-, -, et que la dernière, en s ecri-

{x—pY {x—pY

vant ainsi , X , revient a

X — p \ X Dy/'

puisque

on tire de là

€t-^/iX ei j /3 p/B

ix—pY {j^ — pY x—p {x—pY^

ct+/2p ^

(p—xY p — x'

Nous voilà donc parvenus à substituer à la fraction proposée deux autres fractions dont les numérateurs sont indépendans àex. Le développement de la première est

(-+*)&'-)--^\' + 7 + fVf+e,c.).

série dont le terme général est évidemment

et celui de la seconde fraction étant exprimé par Compl. des Élëni. d'Al^. 14

fllO COMPLÉMENT

î- , il en résultera

'net + (re — 0 /3p"n t"~*

pour le terme général de la série donnée par la fraction

loo. Il me reste encore un cas à examiner, celui où les racines de 4^uation x^ + /S'r -{- u =z o sont imaginaires. Les facteurs x — p et x — q devenant ima-

ginaires , le terme général ^^— ■ 4" ■^^"i; — se trouve

compliqué d'imaginaires , mais qui ne sont qu'apparentes, et se détruisent mutuellement, lorsqu'on réduit

les quantités — - — , -^-ir""* ^^ même dénominateur,

et qu'on développe les puissances indiquées. En efTet, si on met pour P et Ç les valeurs trouvées précédemment, qu'on rassemble les termes multipliés par /3 et ceux qui le sont par « , on aura

or, quand p et q sont imaginaires , ils peuvent être représentés par

a-\-b\/'^ et a-— ôy/^,

ee qui donne

et les quantités

deviennentaîors delà forme a^V — i eta^'^/ — i (40î substituant ces expressioûi dans la formule ci-dessuS ^ elle se changera en

résultat réel.

101. C'est en décomposant ainsi la fraction génératrice en d'autres fractions plus simples, qu'on peut arriver au terme général de la série récurrente qu'elle produit , et qui par là se trouve décomposée elle-même en suites récurrentes d'un ordre plus simple. Il faut que les fractions partielles, dont l'ensemble représente la fraction proposée, aient des numérateurs constans, et pour dénominateurs les binômes qu'on obtiendra en cherchant les facteurs simples du dénominateur de celle-ci. Ces facteurs se tirent des racines de l'équation que donne Iç dénominateur de la fraction proposée , égalé à zéro ; et les numérateurs peuvent s'obtenir par la méthode des coefficiens indéterminés , comme dans l'exemple du n" 98; mais quand on rencontre des racines égales, la forme des fractions partielles éprouve des modifications analogues à celle qui a eu lieu dans le n° 99 -, et lorsqu'il y a des racines imaginaires, on met le terme général sous une forme réelle, en le développant, de même que dans le numéro précédent. Tout cela exige des détails dans lesquels je ne saurais entrer; j'observerai seulement que la recherche du terme général d'une suite récurrente est comprise dans celle du terme gêné-

rai de la formule du n" 86 , puisque la fraction

revient à

(a+ôx 'j-px"'-')ia-^b'.v. . . . +p'x'"-'-{-g'x'")-,

et que par Conséquent la méthode dont on s'est servi jusqu'à présent pour trouver ce terme général est très indirecte. La résolution des équations qu'elle exige introduit, dans l'expression demandée, des quantités irrationnelles qui ne doivent point y entrer : la réduction de toutes les parties de cette expression au même dénominateur, et l'emploi des formules relatives aux fonctions symétriques des racines des équations , feraient*, à la vérité, disparaître les irrationnelles; mais il n'en résulte pas moins que la résolution des équations est une difficulté étrangère à la recherche du terme général d'une série récurrente.

La théorie des suites est une des branches les plus importantes et les plus étendues de l'Analyse; elleréunit les parties élémentaires aux parties transcendantes; mais c'est principalement dans celles-ci qu'elle est d'une application plus fréquente, et elle leur doit aussi ses principaux accroissemens. C'est donc pécher contre l'ordre que de la morceler, ainsi qu'on le fait presque partout, et j'avoue que je me serais abstenu d'en parler, si je n'y avais pas été forcé pour éviter le reproche de n'avoir pas rendu cet ouvrage aussi complet que ceux qui existaient auparavant. On trouvera d ailleurs tout ce qui concerne la doctrine des séries, à la suite du Traité du Calcul différentiel et intés;i al déyÀ cité. Je terminerai ce sujet en exposant succinctement la méthode que Lagrange a donnée dans Its Mémoires de l'Ai a~

DES ÉLÉMENS D"aLGÈBRE. 2l3

demie des Sciences de Paris , année 1772^ pour reconnaître si une série proposée est récurrente.

102. Soit S =: A -\- Bx -\- Cx^ -{- Dx^ + etc. une suite dans laquelle les quantités A, B, C, etc. désignent des nombres donnés ; si cette suite est récurrente , elle doit résulter du développement d'une fraction rationnelle (qS). Je suppose, comme dans tout ce qui précède, que le plus haut exposant de x, dans le numérateur de cette fraction , soit moindre d'une unité que dans le dénominateur; si le contraire avait lieu, le procédé même nous le ferait connaître , ainsi qu'on le verra plus bas.

On cherchera d'abord sila série .Ç peut être le dévelop-

pement de la fraction — , et pour cela on fera

S = 7— ; d'où il résulte

a-i-bx'

\ a-\-bx a , h Sa a a

ce qui montre que le quotient de l'unité divisée par^ série S, ordonné par rapport à x, ne doit renfermer que deux termes seulement, lorsque cette formule vient en effet de la fraction supposée.

Soit, pour exemple,

5 = 2 4- 4x + 8x* + i6x3 -f- etc. ,

on fera la division comme il suit , en prenant 2 pour le premier terme du diviseur,

1 I 2 4- 43: + 8x^4- 16x^4- etc.

, Li zLf . ^

— 1 — 2x — ^x^ — Sx * — 1 6x^ — etc. 4- 2X 4- 4x= 4- 8x3 -f- 1 6^4 4- etc.

2l4 COMPLÉMENT

on aura

et 1=1-

^'où on tirera facilement

Si la division ne se termine pas ainsi au second terme; la série proposée ne sera point le développement d'une

fi-action telle que r— ; il faudra essayer alors si elle

ne vient pas d'une fraction de la forme

a -j- Z»>r + ex' dans cette hypothèse, on aura

1 a-\- bx -\- ex* S a' -{- b'x

Si on effectue la division indiquée dans le second membre , et qu'on ne la pousse que jusqu'à ce qu'on ait tin quotient de la forme p-f- qx^ ce qui arrivera après deux divisions partielles, il y aura un reste qu'on pourra représenter par a"x* ; et il viendra par conséquent

ce qui prouve que le reste de la division de i par S sera divisible par x''. Si on désigne par ^jX* ce reste, qui sera une série de la forme

J,x^ + B,x^ + C^4 -I- etc. ,

on aura

d'où il suit

DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. 2i5

bx a a

en faisant la division indiquée dans le second membre.

S Ainsi -^ doit donner un quotient de deux termes, comme

on l'a obtenu plus haut pour -^ -, et des deux équations

on tirera

réduisant cette fraction , il viendra

Supposons encore que l'on n'ait pas exacteraenl

— =:p, -^qix; il faudra faire alors

a -|- èx -f- cx^ + dj,^ *

et en opérant comme dans les cas précédens , on trouvera

1 a±bx-hcj^-^dx^ , a"x'-\-b".x^ .

La série qui reste après qu'on a poussé la division dan* ■jç jusqu'aux deux premiers termes p-{- qx, étant divi- •ible par x", pourra être représentée par SiOif, en sorte

ÛlG COMPLÉMENT •

^u on aura

ce qui donnera

lS a X*

en faisant la division indiquée dans le second membre , et s'arrêtant aux deux premiers termes du quotient. Cette dernière expression montre que la division de S par Si , poussée de même jusqu'à ce qu'on ait un quotient de la forme p^-^-q^x, laissera pour reste une série divisible par x^; et npmmant i'aar* cette série, on aura

d'où

combinant les équations

;5=P + <7^'H — 5^j j^Pi+qi^c+^g-i ^^ 1

que l'on vient d'obtenir, on en déduira

(p,-¥-q>x')(p^-+q^x)-hx'' __

{p-\-qx){pi-\-q,x'){p^-^q^x)-\-l{p~\-qx)-^{pA-q^x)']x^

pour la fraction génératrice de la série proposée. Il serait facile maintenant de pousser plus loin l'opéra-

DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. fil7

tîon, si la division de Si par S:, ne donnait pas un qtictient exact; et on doit voir qu'elle conduira toujours, comme ci-dessus , à un nombre fini d'équations entre 5, Si, Si, S:i, etc., desquelles on déduira l'expression de la fraction génératrice. La règle à sul^Te dans tous les cas peut s'énoncer ainsi : Divisez lunilé par la série proposée S , jusqu'à ce qu'il y ait au quotient deux termes tels que p -}- qx, et désignant le reste par S^x'^, divisez S par S, , jusqu'à ce qu'il y ait au quotient deux termes comme pi-\-q,x ; désignant encore le reste par S^x^, divisez S, par Sa, jusqu'à ce que vous trouviez un quotient de la forme pa + qïX , et ainsi de suite .• si la série proposée est récurrente, vous arriverez enjln à un quotient exact , qui pourra être représenté par pn-j-^ln^' Il vient alors cette suite d'équations :

-=p^qa:+--.

d 6aX' I

^ = Pi + 7>^+-^-»

d'où ^^=p. + g.^^+— -,| tire

io3. Pour appliquer la règle précédente à la série des nombres 1, 1, 3, 7, i8, /ij, 123, 322, 843, 2207, 5778, etc.,

par exemple, on lui donnera la forme ,

5 = 1 -j- X 4- 5x^ -f-Çx3-f- i8jC-^ -{- 47x5 -f- 123^5

+ 32ax^ -f- 843X* 4" ^'^^- >

tions Si

^Six^'

-tq^x-h-^—

2j8 complément

on aura

p ^qx=. 1 — X,

5,= — 2 — /{x — 1 ijc* — Qqx' — 7Çx'^ — 1993^^

— 5a ix^ — etc. ,

pi+(;,x = — l-.-f-ix,