f SX 4- 3x^ -f /x^ + etc

DES ÉLÉMEXS d' ALGÈBRE. 2lÇ)

et déjà

3x» =5 X — x" -\- Qx X ox,

yx^ 1= 2x X — ^" + 5x^ X ox, etc.

Développement en séries des exponentielles et des logarithmes.

104. On a tiré les logarithmes de l'équation y:=a' (Élém. 240), y étant le nombre, x le logarithme et a la base ; cette équation présente deux questions : trouver y , connaissant x; et trouver x, connaissant y. Je commencerai d'abord par chercher j' en x, et pour cela je supposerai

a' z= J -{- Bx -{- Cx^ -h Dv^ H- etc. , A, B, C, D, etc. étant des cocfTiciens indépendans de x; en prenant donc une autre quantité z, j'aurai également

a' = ^ -f- 5i 4- Ci^ + Dz"^ 4- etc. , d'où je tirerai

û^ — a' B(x—z) ■+■ C(x'— z') 4- P(x^— z^ -f- etc. X — z X — z

La division du second membre par x — z s'effectue d'après la formule du n° i58 des Élémens, et il vient

B-^C{x-\-z)-\-D{x'-\-xz-\-z')-{-E(y-j-x'z-\-xz'+z^)-^e\.c.

Pour pouvoir développer de même le premier membre , j'écris ainsi son numérateur, a'^(a-^""^ — 1); faisant ensuite a=zi-\-b , dans la quantité a*"^, je la développe suivant les puissances de 6, au moyen de la formule du binôme, et j'ai

(.+i)'-'=, + <£=â4+Ç£Zi)^;=0 A.+ etc. ;

d'où il suit

c^(a^r^ — i)=a*' l ^ b+~ — ^ b^-i-etc. ).

Ce dernier développement étant divisible par x — z, il en résulte

a^(è+fr|=iz,.+(f=:£=^i:^^6^+etc.)=:

Si maintenant on suppose x = z, l'équation ci-dessus deviendra

t a^(6-- + ----Hetc.)=.

B + 2Cx + 5Dx^ + 4Ex^ 4- etc. 5 faisant, pour abréger,

et substituant pour a^ la série

y4-{-Bx-{- Cx^ + Dx^ -> Ex* + etc. , on trouvera

Jk 4- /?A'x 4- Ckx'' + Z)/.'.r3 -47 ^/^x< + etc. — B + qCx -j- 3L>x^ 4- 4£:a:3 ^ 5/^^^ j etc. ,

d'où on tirera

^ ^. Bk C/J ^ Dk „ Ek ^

Tous les coefFiciens, excepté A^ seront déterminés par

ces équations -, mais lorsque a: = o, l'équation

û^=:^-}-i?x+Ca:* 4- etc. donnant \r=Af il s'ensuit k k" k^

DES ÉLÉMENS D'ALGÉBRE. «ai

E = 5—7 , I' = 5—;-? > etc. , et que

v = a^=i^ -\ -— -^ etc.

I o5. Il est à propos de remarquer que, quelque valeur

qu'on donne à a; , la série ci-dessus finira toujours par être convergente. En effet, il est aisé de voir qu'on peut

représenter le terme général de cette série par ;