p'-Q^PP'Q' J

ou, comme dans le numéro cit^ des ElémenSy

Remplaçant les lettres P et P' , Q et Q', par les quantités qu'elles représentent, on aura l'équation finale enj»,

12. La théorie des fonctions symétriques trouve aussi son application dans les équations à plusieurs inconnues. Soient par exemple deux équations contenant les inconnues X et y; si on désigne les valeurs de x par

«>/3, V, ^, etc., celles de^ par

« , /S'; y', ^', etc. ,

en sorte que «' corresponde à u, fi' à. /2, et ainsi de suite, toute fonction de ces quantités qui demeure la mêma lorsqu'on y change un groupe de valeurs dans un autre, et réciproquement, comme par exemple et et «' en ^ et /3', puis /3 et /i' en u et u, est symétrique et peut s'obtenir rationnellement par les coefRciens des équations propo-^ sées : telle est la fonction

en ne supposant que quatre valeurs à chacune des in-< connues.

Waring avait indiqué il y a long-temps , pour obtenir ces fonctions , un moyen , qui d'ailleurs s'offre presque de lui-même ; c'était de faire x^y^' =: t, et d'éliminer X et y entre cette équation et les proposées. La ré-

DES tLÉMENS d'ALGÈBRE. jg

sultante en t ayant pour racines les diverses combinaiaoas

«?«'^',/y/3>', '/>'/'"', etc.,

le coefTicient de son second ternis serait un nombre équivalent ù

— i'^'»'" + /3^5'^' + y'V^' -h etc.).

Ce procédé exigeant quavec les équations proposées on eji combine une autre où les inconnues x et y pas-ent le premier degré , jette dans les embarras de l'élimination entre trois équations à trois inconnues, lorsqu^l ^'a^it d'équations qui n'en contiennent que deux. M. Poisson, dans le onzième cahier du Journal de i École Polytechnique {'pà^c 199) , a donné un moyen très ingénieux pour sauver cette difliculté.

Il faiti = x -{- ^y , A étant un coefficient indéterminé quelconque. Si Ton tire de cette équation la valeur de X ou àQ y , celle de x par exemple, qui est / — Ay^ pour la substituer dans les deux équations proposées, les résultats en t et y seront encore du même degré; et si on élimine j', l'équation finale en ( aura pour racines les diverses valeurs que prend la fonction x-\-Ay ^ lorsqu'on substitue aux inconnues chaque groupe de leurs valeurs correspondantes , savoir :

« -j- Ax, /3 -f- A^\ y -f Ay\ è -f Al\ etc.

La somme des puissances semblables de ces racines , ou la fonction

(« -^ ^«' )^ -f- (^ + AÇ>' y 4- ( V -f- Ay'y -f etc. ,

sera exprimée par une fonction rationnelle des coefficiens de l'équation en f, qui ne contiendront que ceux des proposées et la lettre A) mais la première de ces fonc-

/2e, COMPLÉMENT

lions , se développant ainsi qu'il suit

r ( r— 1 ) ^* + etc,;

-f etc.

ne renferme qu'un nombre limité de puissances entières et positives de J , multipliées par des coeiïiciens qui sont indépendans de cette lettre que d'ailleurs rien ne détermine : la valeur que l'équation en t fournit de la même fonction, doit donc se développer ainsi,

a-^-bA + cA^-i- etc. , a b,c, etc. ^signant des quantités connues; et l'on aura par conséquent

«r + /î>- + y''-+-etc.=a,

lilHi^ U-^u'^ 4- /S^-=<3'^ 4- y'-y* + etc.) = c , 1 .a

etc.,

équations qui feront connaître les fonctions symétriques

de la forme

uPu'P' + /3P/S'P' -f etc. ,

dans lesquelles P'^p' = r. ,

Si on multiplie la précédente par

«9«'9' 4- /3^/3'î' + etc. , le produit

^P+î^'Z+î' -f ^P+i^'P'-^i' + etc.

4- *P«t'P'/ST/3''' 4- «'«'*'/3P/3'''' 4- etc. comprendra deux fonctions symétriques, dont la première se déduira de u^u'P'-^ etc. en changeant^ enp + (/, etp' enp' +g': on déterminera donc la seconde; et en s'élevaot ainsi de proche en proche, comme on l'a indi-

DES ÉLÉMENTS d'ALGÈBRE. 21

que à l'égard des équations à une seule inconnue , dans len°j, on obtiendra la valeur des fonctions symétriques jes plus générales. 'On peut voir la loi de leur formation dans les Medltationes algebrakœ de Waring (page 225).

i3. Il est facile d'étendre ce qu'on vient de lire à un nombre quelconque d'équations contenant un pareil «ombre d'inconnues.

Pour trois équations en x , y, z, par exemple, on

prendra

t-^x + Jy-^Bzy

et substituant à x, la quantité t — Ay ~- Bz , A et B étant des nombres quelconques, on éliminera^ et r, entre les résultantes , ce qui conduira encore à une équation en t, dont les racines seront

« -h ^«' -h Bu", /3 -f- y^/S' + B/i", etc. , si on désigne par

», ^, Y, ^, etc. , «', /3', y', .^', etc.,

" n" Il fil „t^

<^ , 9> ,y y à , etc. , les valeurs correspondantes des inconnues x ,y etz.

La somme des puissances r de ces racines , que Je représenterai par S, {x-\- Au -\- B<t"), s'exprimant d'une manière rationnelle au moyen des coefficiens de l'équation en f , si on la développe ainsi que sa valeur, suivant les puissances et les produits des lettres^ et B y qui doivent rester indéterminées, la comparaison ^es termes semblables par rapport à ces lettres , donnera les fonctions de la forme

uPci'l>'u"?" + /3P;3'P'/3"P" 4-yJ'y>'y"P" -f etc. ,

dans lesquelles p -\- p' -j- p" =: r.

Par la multiplication de celles-ci, on composera celles de la forme

uPcc'f'u"P"litlî'^'^"i" -f-*etc.

i4- Au moyen de ce qui précède, on parviendrait à l'équation d'où dépend une fonction donnée des inconnues X ^y , z , en formant dans cette fonction toutes les combinaisons possibles des valeurs correspondantes des inconnues , comme dans le n° 8 ; mais l'objet principal de ces rechei'ches est d'étendre à l'élimination entre un nombre quelconque d'équations , le procédé dun" lo, et d'en conclure la démonstration de la proposition générale énoncée dans le n° ig6 des Elémens.

Pour cela soient quatre équations complètes , de degrés quelconques , renfermant les inconnues a:, ^', s et u ; si entre les trois premières on élimine alternativement^ et z, X Ql z, X et y , on aura trois résultats en

X eX. u , y e\.u, z et u.

Ces dernières équations seront en général toutes trois du même degré, puisque les équations proposées étant complètes, chacune des inconnues y. entre de la même jnanière que les autres ; désignant donc par n le degré des nouvelles équations , et concevant qu'elles soient résolues , on tirera de la première , pour x , n valeurs

^, /3, y, ^, etc., de la seconde , pour j^ , n valeurs correspondantes

u\/s\y\r,etc., de la troisième, pour z, n valeurs correspondantes

0 „:i II ^11 „4.„

f^ , 1^ , 7 ,0^ , etc.

En substituant ces valeurs dans la quatrième équation proposée, que je représente par

DES ÊLÉMEN'S d'aLGÈBRE. a3

m étant l'exposant de 5on degré , on formera les équations particulières

(7. -A v", u)'"=o, etc.,

dont le nombre sera ra, et auxquelles doivent satiifaire les diverses valeurs de u ; on conclura de là , comme dans le n" 10, que l'équation finale en u résulte du produit (-,«', «", u)- (>3, /3', /3", u)'"(y, '/, y", u)'"etc. = 0, Comprenant n facteurs.

Il ne renferme que des fonctions symétriques des valeurs des inconnues oc , y , z, puisqu'en y changeant un groupe quelconque de ces valeurs dans tout autre , on ne fait que changer l'ordre des facteurs. On peut donc exprimer ce produit d'une manière rationnelle au moyen des coefTiciens des trois premières équations proposées.

On remarquera d'abord que chacun de ces facteurs a pour premier terme u", et que par conséquent le premier terme du produit sera u"'". Dans tous les autres termes , l'exposant de u ne peut pas non plus s'élever audelà de mn ; car la somme des exposans des lettres x , y , z et u, dans l'équation (j.',y, s, u)" = o, ne pouvant passer le degré m , celle des exposans des lettres «, u, etc., fi, /3', etc. , y, '/, etc. et u, ne pourra surpasser mn dans le produit , et l'expression des fonctions symétriques qui composent les différens termes, ne s'élèvera pas au-delà de leur degré. En effet, l'équation en t du n° précédent ne peut monter plus haut que le degré le plus élevé des équations entre l'une quelconque des lettres x , y , z &(. la lettre u; et si on la représente par

t" 4. Pf "-' 4- Çi"-^ 4- U=z o^

z4 COMPLÉMENT

u ne passera point le premier degré dans P, le second dans Qy

le n'-'"" dans U

les valeurs des fonctions de la forme Sr {u-^Act-^Bcî') ne comprendront par conséquent aucun terme où l'exposant de u surpasse r , puisque leur expression sera celle de la fonction Sr dans le n° 4' ^1 ^^it de là que la valeur de toute fonction de la forme

u^uf^'p" + ^T^v'^'?" 4- etc.

ne pourra s'élever au-delà du degré p-f-p' + p"? et que dans celles de toutes les autres fonctions symétriques déduites de la multiplication de ces dernières, l'exposant de la lettre u ne passera pas celui qui marque leur degré , ainsi qu'on l'a affirmé plus haut.. Il n'y aura donc enfin dans le produit

(«, U, «", uY (/3, /3', /3", uY (y, y', y", V^ etc.

aucun terme où la lettre u passe le degré mn.

Ces raisonnemens peuvent être facilement modifiés pour un nombre quelconque d'équations ; et comme on a déjà vu que pour deux équations à deux inconnues , l'une du degré m, l'autre du degré «, l'équation finale ne monte pas au-delà du degré mn , il résulte donc de ce qu'on vient de prouver , que pour trois équations à trois inconnues, dontles degrés respectifs seraient 7n, /i^p, l'équation finale ne passerait pas le degré ran Xp, et ainsi de proche en proche ; donc enfin : le degré de l'équation finale , résultante de l élimination entre un nombre quelconque d'équations complètes, renfermant un pareil nombre d' inconnues et de degrés quelconques , est égal au produit des exposans qui marquant le degré ds ces équation^.

DES ÉLEMENS D'ALGÈBRE. 25

A l'égard des équations particulières qui n'ont pas tous les termes compris dans les équations complètes , il pourrait seulement manquer aussi quelque terme dans l'équation finale, qui par là se trouverait abaissée, ce qui ne change rien à l'énoncé du théorème.

De la Résolution générale des Equations.

i5. Avant de s'occuper des équations générales, il est utile de connaître quelques propriétés des racines de l'équation à deux termes, y" — 1 = 0, déjà considérée dans les Klémens , n° 169.

Soit, pour exemple, le cas particulier y^ — i=o, dont les cinq racines seront désignées par 1, «, /3, y et ^. En le comparant à l'équation

yS^Py,^Qy^^ny^-\-Sy-\-T:=zo, on trouvera

. P=o, Ç = o, R = o, S = c, T=—i; d'où, parles formules du n° 4 >

Sa=i-h «'+ /3^+ v^4- ^•= C ,

puis celle du n" 5, se réduisant à i'ô+n — 5„=:o, donnera

Ss^=o, Sj = o , Si-=o, 5'g^=o, 5io=5, ^Su^o, et ainsi de suite.

Posant ensuitey = -, l'équation j^ — 1=0 se change en— 1=0, ou z^ — i=ro, et les racines de cette

dernière senti, -,-,-, t; "5 expressions ont par Ci fi y ^

s5 COMPLÉMENT

conséquent les mêmes propriétés que i , «, /3, y et ^, puisqu'elles appartiennent à une équation entièremeut semblable ày^ — i~o : on a donc encore

iH h--f hT = o,

etc.

Il est facile de voir que les racines de toutes les équations de la forme y'^ — i = o jouissent de propriétés analogues à celles qu'on vient d'exposer pour l'équation y^ — ir=o, et qui se prouveraient de la même manière: ainsi, 1, «, /3, y, <^, c, etc. étant les racines de l'équation j/" — i:=o, on aura

.S„r= 1 -f- «'" + /3'" -f y'" -{- <^" 4- £™ 4- etc. = o ,

si m n'est point un multiple de n; et la même quantitédeviendra égale à n, lorsque m sera un multiple de n. La quantité inverse