Voyons présentement de combien chaque
» fraction de la série —p,-^, etc. approchera de la va-
» leur de la quantité a. Pour cela , on remarquera que Y> lea formulei trouvées dans le n" laS donnent
Ab '
Bt-\-A Bfc 4- A' '
Cd-h B Cd -h B' '
De+ C
De-\-C'
rt et
ainsi
de
suite.
)i Donc, si l'on veut savoir de combien la fraction — ; ,
« par exemple, approche de la quantité a, on cherchera
ii la différence entre — > et a; en prenant pour a la quan-
. , Cd + B
__^ Cd-\-B c BC—CB' __ 1
* C "~ 'Cd^Bf C " 'C{C'd-^B^) ~ C{^Cd-\-W) *
■)■> à cause de BC — CB'=i (128) : or, comme on 5> suppose que «^ soit la valeur approchée de d^ en sorte 1-) que la différence entre d et (^^ioit moindre que l'uit nité (118), il est clair que la valeur de d sera ren- » fermée entre les deux nombres <^ et <^±: 1 ( le signe » supérieur étant pour le cas ou la valeur approchée ^ ■>■) est moindre que la véritable d^ et le signe inférieur r pour le cas où ^ est plus grand que fi) , et que par 51 conséquent la valeur de C'd-\-B' sera aussi renfermée a entre ces deux-ci, C'^-^B' et C'(<^±l)-f 5', c'est-à-
Il dire entre D' et D'dz C : donc , la différence a — -p
)i sera renfermée entre ces deux limites
— — — - ; d'où l'on pourra juger de la quan-
CD" cm'^C)
Y> tité de l'approximation de la fraction ^,.
i3o. •>■) En général, on aura
B' B\B'c-^A'^' a = -Tû -r -r
c"' "^ C'iC'd + B')' D 1
° ^ F "~ DXD'e-\-C')'
:^ et ainsi de suite.
71 Or, si on suppose que les valeurs approchées « , /8 , :i y, etc. soient toujours prises moindres que les véri- » tables, cesnombres seront tous positifs, aussi bien que » les quantités b, c, d, etc. (uS); donc les nombres 51 A, B, C, etc., A', B', C, etc. seront aussi tous positifs; 71 d'où il suit -que les différences ei tre la quantité a et
DES ÉLJÉMENS d'aLCÈBRE. U^f
v< les fractions — ;> , -^ , -7^ » etc. seront alternative- A B C
» mentpositives et négatives ; c'est-à-dire que ces frac-
» tions seront alternativement plus petites et plus
>> grandes que la quantité a.
ys Pour connaîtige les limites de l'approximation, il
n faut observer que , comme ^>>^, c'^y , d^ê", etc,
)■> {hyp.) , on aura
b>B', B'c + A'>B'y + A">C, Cd+B'-^Cè^+nf^D', etc.,
?» et comme è<[/3+i , c<^y4-i, f^ •< <^+ ï , on aura
b<ÏÏ+A\ /îV-i-^'</y'(v+i)-4-^'<C-f5', Cd-JrB'<^C\è^\)-\~B'<,D'-^C, etc.;
■>•) de sorte que les erreurs qu'on commettrait en prenant
51 les tractions —r> , -77,-77, etc. pour la valeur de a, A ti (^
n seraient respectivement moindres que
ft mais plus grandes que 1 1
etc.,
A\B'-^Ay B\C-^B'y C{D'-j-C)'
etc., •
M d'où l'on voit combien ces erreurs sont petites , et •)■) combien elles vout en diminuant d'une fraction à » l'autre.
ABC ï> Mais il y aplus : puisque lesfractions— 7, —7, —7, etc.
r> sont alternativement plus petites et plus grandes que la i> quantité a , jl est clair que la valeur de cette quantité r> se trouvera toujours entre deux fractions consécutives y> quelconques ; or, nous avons vu ci-dessus (128) qu'il Ccmpl. des Élém, d'Alg. 17
5> est impossible qu'entre deux telles fractions puisse sô M trouver une autre fraction qtielconque qui ait un dé- >i nominateur moindreque l'un de ceux de ces deux frac- » tiens', d'où l'on peut conclure que chacune des fractions )) dont il s'agit exprime la quantité a plus exactementque f) ne pourrait faire toute autre fraction quelconque, dont » le dénominateur serait plus petit que celui de la frac-
» tion suivante, c'est-à-dire que la fraction — ,, par
31 exemple, exprimera la valeur de a plus exactement
5) que toute autre fraction — , dans laquelle n serait
vt moindre que I/,
i3i. •)•> Si les valeurs approchées a., /3, y, etc., sont y* toutes ou en partie plus grandes que les véritables , » alors , parmi ces nombres, il y en aura nécessairement « de négatifs ( 123), ce qui rendra aussi négatifs quel- M ques-uns des termes des séries A, B, C, etc. , A', B\ ■)■) C, etc. ; par conséquent les différences entre les frac-
}) tions — 17, —,y — ,-, etc. et la quantité a, ne seront plus
1» alternativement positives et négatives , comme dans le
n cas du numéro précédent; de sorte que ces fractions
\\ n'auront plus l'avantage de donner toujours des limites
n en plus et en moins de la quantité a, avantage d'une très
n grande importance, et qui doit par conséquent faire
•)•> préférer toujo^irs dans la pratique les fractions con-
n tinues, où les dénominateurs seronttous positifs. Ainsi,
« nous ne considérerons plus dans la suite que des frac-
» lions de cette espèce.
iSa. ■)•> Considérons donc la série
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. sSg
îi dans laquelle les fractions sont alternativement plus >♦ petites et plus grandes que la quantité a ; il est clair >i qu'on pourra partager cette série en ces deux-ci :
B" D* F" ^^'^' fi La première sera composée de fractions toutes plus pe- M tites que a , et qui iront en augmentant vers la quan- •>•) titéa; la seconde sera composée de fractions toutes V plus grandes que a, mais qui iront en diminuant vers » cette même quantité, oi
La marche de chaque série se déduit aisément de la suite d'équations qui termine la page 253 et commence la page 254- En ajoutant d'abord la i''* et la 2®, la 3' et la 4*. etc. , il vient
