CE

etc. ,

ce qui fait connaître les différences des fractions de la i"^* série : celles des fractions de la 2* série s'obtiennent en ajoutant la 2* des équations citées et la 3% la 4° et la 5', etc., ce qui donne

etc.

c ~ B'D' ' F'—Ty Ç E' ~ WF' '

« Si les nombres y, ^, £ , etc. étaient tous égaux à •fi l'unité , on pourrait prouver, comme dans le n° 128 , » qu'entre deux fractions consécutives quelconques de

ûSo COMPLÉMENT

« l'une ou de l'autredesséries précédentes, il ne pourrait 31 jamais se trouver aucune autre fraction dont le déno- )i minateur serait moindre que ceux de ces deux fracr> tions; mais il n'en sera pas de même, lorsque les 31 nombres y, ^, e, etc. seront différens de l'unité^ car 3» dans ce cas , on pourra insérer entre les fractions dont 33 il s'agit autant de fractions intermédiaires qu'il y aura 33 d'unités dans les nombres y — i , ^ — i , t — i , etc. , 33 et pour cela , il n'y aura qu'à mettre successivement 33 dans les valeurs de Cet C (126), les nombres i,

r) 2, 3, y— 1> à la place dey* et de même dans

33 les valeurs de D etD\ les nombres 1 , 2, 3, . . .ê" — 1, 33 à la place de ê", et ainsi de suite.

i33. 33 Supposons, par exemple, que y soit =::/^, on

33 aura

C=4B-\-A et C=^4B'-}-A',

33 et on pourra insérer entre les fractions —, et — „ trois

33 fractions intermédiaires , qui seront

B-hA nB + A 3B-\-A

B'-\-A" 2B'-j-A" ZB'-^-A''

■n II est clair que les dénominateurs de ces fractions

31 forment une suite croissante par des différences égales,

33 depuis A' jusqu'à C , et les numérateurs depuis A

33 jusqu'à C; et nous allons voir que les fractions elles-

33 mêmes croissent aussi continuellement depuis —, jus-

» qu'à -p , en sorte qu'il serait maintenant impossible

33 n'insérer dans la série A B+A ^B + A 3B-^A 4B-hA C