__ IL ^^ OU
A'* B'-\-A'* ^B'-\-A" 5B'-^A'* Z^B'+A' C ' )3 aucune fraction dont la valeur tombât entre celles des
DES ÉLÉMENS d'ALGÈBRE. zBl
ï) deux fraction? consécutives , et dont le dénominateur 5'» se trouvât aussi entre ceux des mêmes fractions. Car si 51 on prend les différences entre les fractions précédentes, » on aura, à cause de BA' — AIÏ = i ,
B'-\-A' A' ~~ A'iB'-{-A') * zB + A B + A 1
zB'-\-A' B'-i-A' ~ {B'-\-A'){fiD'-{-A')*
2/^'+^' "~ i^+Z ~ (QB'+A'j(5B'-{-A') '
C ^ ZB + A i
C 5B'-^A' ~ JW+Â'YC' '
T) d'oùl'onvoitd'ajaordqueles fractions —7, -77— — 57, etc.
Ah -j-A
■>■) vont en augmentant , puisque leurs différences sont 51 toutes positives ; ensuite , comme ces différences sont )i égales à l'unité divisée par le produit des deux dénomi- )T nateurs, on pourra prouver, par un raisonnementanar logueà celuique nous avons fait dans le n° 128, qu'il 31 est impossible qu'entre deux fractions consécutives de 31 la série précédente, il puisse tomber une fraction quelle conque — , si le dénominateur n tombe entre les déno-
« minateurs de ces fractions, ou en général, s'il est plua » petit que le plus grand des deux dénominateurs.
V De plus, comme les fractions dont nous parlons sont » toutes plus petites que la vraie valeur de o, et que la
5> fraction -^ est plus grande, il est évident que chacune
« de ces fi-actions approchera de la quantité a , en sorte il que la différence en sera plus petite que celle de la
» même fraction et de la fraction ~^, ; or, on trouve
stGz
COMPLEMEiNT
qB^A
iiB'+A'
B' i^zB'^A')B'
•sb+a
3B'-\-A' B'~ {oB'-\-A')B' C B'~~ ~CB''
Yi Donc, puisque ces différences sont aussi égales à « l'unité divisée par le produit des dénominateurs , on y n pourra appliquer le même raisonnement du n° 128,
y\ pourprouver qu'aucune fraction — ne saurait tomber
^ ^ . A B-\-A « entre une quelconque des tractions -^ , -r,, . —j, >
51 — p—r, . etc. , et la fraction -^-r , si le dénominateur n aB'-j-A' ' ' B"
T) est plus petit que celui de la même fraction ; d'où il
51 suit que chacune de ces fractions approche plus de la
21 quantité a que ne pourrait faire toute autre fraction
51 plus petite que a, et qui aurait un dénominateur plus
11 petit, c'est-à-dire qui serait conçue en termes plus
>i simples.
134. » Nous n'ayons considéré dans le numéro précé- V dent que les fractions intermédiaires entre ~7? ^^ y^ '>
51 il en sera de même des fractions intermédiaires entre
CE E G . ^ j
» -— , et -r^ , entre — 7 et-^, etc. si t, tj, etc., sont oei LU. XL U
M nombres plus grands que l'unité.
DES ÉLÉMENS d'ALGÈBRE. 2o3
« On peut aussi appliquer a 1 autre série -jTii -jy >
« —, , etc., tout ce que nous venons de dire relativement à
)i la première série -p , 7T, , etc., de sorte que si les nom-
)i bres J^, Ç, etc., sont plus grands queTucité, on pourra
n insérer entre les tractions -ry et 7-;, entre 757 et -^ , etc.>
« différentes fractions intermédiaires, toutes plus grandes
Il que a, mais qui iront continuellement en diniir.nant, et
n qui seront telles qu'elles exprimeront la quantité a plus
n exactement que ne pourrait faire aucune autre fraction
^•> plus grande que a, et qui serait conçue en terme.-^plus
n simples.
yi De plus, si /3 est aussi un nombre plus grand que l'u-
Yi nité, on pourra pareillement placer avant la fraction
-ff , . y/-f-i 2^4-1 3J-\-i V -^, les tractions , , — := — , etc., ]us-
71 qu a , savoir, — > , et ces tractions auront Jes
» mêmes propriétés que les autres fractions iiitermé- »» diaires.
Yt De cette manière on aura donc ces deux suites w complètes de fractions convergentes vers la quantité a.
Fractions croissantes et plus petites que a.
A B4-J aH-^yJ (y— ,)g-f-^
Fractions décroissantes et plus grandes que a. •^4-1 Q^+i o^+i (/3~0^-hi
^' ' C-i-B' ' 2 e+Zf ' ' ■ • • • (^ 1 )C-^B' '
yi Si la quantité a est irrationnelle, les deux séries pré- 31 cédentes iront à l'infini, puisque la série des fractions
