ABC
ri —,, —,, — , , etc. , que nous nommerons dans la suite
51 fractions principales, pour les distinguer des fractions 35 intermédiaires, va d'elle-même à l'infini (126). 31 Mais si la quantité a est rationnelle et égale à une y 33 fraction quelconque -j^, , nous avons vu dans le numéro
33 . cité , que la série dont il s'agit sera terminée^ et que la 33 dernière fraction de cette série sera la fraction même
33 —/, donc cette fraction terminera aussi nécessairement
33 une des deux séries ci-dessus , mais l'autre série pourra 33 toujours aller à l'infijii.
V En effet,. supposons que <^ soit le dernier dénomi-
33 nateur de la fraction continue; alors —7 sera la der-
33 nière des fractions principales , et la série des fractions V plus grandes que a sera terminée par cette même frac-
33 tion — ; ; or, l'autre série des fractions plus petites que a
31 se trouvera naturellement arrêtée à la fraction -jr, 3 ^^î
DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. ûSS
^1 précède -p; mais pour la continuer, il ny a qua
V considérer que le dénominateur e , qui devrait suivre T» le dernier dénominateur «^, sera =00 (120); de
îi sorte que la fraction —,, qui suivrait —, dans la suite
» des fractions principales, serait coZ)+ C D co/y-f C ~ D''
yi or, par la loi des fractions intermédiaires , il est clair " qu'à cause de £ =: 00 , on pourra insérer entre les frac-
îi tions -77 et 777 une inimité de fractions intermédiaires ,
r» qui seront
Z>'H- C * 9.D'-\-C' * oD'-\- C '
(2 y» Ainsi, dans ce cas, on pourra, après la fraction -^—r
w dans la première suite de fractions , placer encore les 1"» fractions intermédiaires dont nous parlons , et les conn tinuer à l'infini.
i35. 51 Vne fraction exprimée partie o^randsnomhres T» étant donnée, trouver toutes les fractions en moindres
V termes , qui approchent si près de la vérité , qu'il soit r impossible d'en approcher davantage par des fractions r> plus simples.
V Ce problème se résoudra facilement par la théorie )i que nous venons d'expliquer.
11 On commencera par réduire la fraction proposée en ■fi fraction continue, par la méthode du n° 121 , en ayant yi soin de prendre toutes les valeurs approchées plus pe- » tites que les véritables,pour que les nombres «, (i, y, etc.
etc.
zSS COMPLÉMENT
r) soient tous positifs j ensuite , à l'aide des nombres trou-
7) vés et, /B, y, etc., on formera, d'après les formules du
