X -I h-ic-H h- etc

aura les mêmes valeurs dans les mêmes circonstances.

i6. Quand l'exposant re est un nombre premier , les racines «, /3, y, J*, £, etc. peuvent toutes se déduire de l'une quelconque d'entr'elles ; ' et voici comment. Ci, par exemple, étant une racine de y"- — i=o, on a

a" — 1 =: O , ou ej" = 1 ;

en élevant successivement cette équation à la deuxième, à la troisième, à la quatrième, etc. puissances, il viendra

.«-"=1, a'^'^=i, «^"=1, «5'»=i,etc. ,

DES ÉLÊMEXS d'algèbre. 87

éqiialîons qiii équivalent aux suivantes :

(*^)''— i=o,(«^/— i=o,(«')"— i=c,(«^)'— i=o,etc.-,

d'où l'on voit que « étant une des racines de l'équation '^" — 1=0, autres que l'unité, «*, «^ tc\ «^, etc. , seront aussi des racines de la même équation.

Il ne faut pas croire , d'après ce qui vient d'être dit , que le nombre des racines de l'équation y" — i=C soit indélini : on trouverait bien , à la vérité , que

„i -1-*-' -,>i4-a •,"-♦"'' otf

satisfont à cette équation -, mais

«"=1, mr-^'=:ct.''.ti^=ec, «"■*■*==«:'', «'rrr*"*, etc.

Lors donc que, dans les élévations indiquées plus haut , on aura passé la puissance n , les mêmes résultats reviendront , et dans le même ordre qu'auparavant.

Depuis o jusqu'à n, au contraire, les puissances de « ne donnent que des valeurs différentes ; car il ne peut pas

arriver que cc^ z= » , tant que fc et > sont moindres que n et que ce nombre est premier. En elltt , il en résulterait

et =1, /< — » étant •< n ; amsi les équations

y" ^ — i = o et v" — i ■=^ o , auraient une racine commune autre que l'unité : or, en cherchant leur plus grand commun diviseur, on trouve seulement j' — 1.

Il suit de là qu'en prenant pour « l'une quelconque des racines de^" — 1=0, autres que l'unité, les racines de cette équation ne pourront être que

I, te, ce', as^, «"-• -,

et puisque

on eu conclura que -,—, — ^^ , sont, dans un

û8 COMPLÉMENT

ordre inverse du premier, les expressions des n — 1

l^acines autres que l'unité.

En mettant ces valeurs dans celles de Sm et de so» inverse rapportées ci-dessus , on aura

1 | «"' |. «î'" ^ «•?'" | «c«-0'" = o ou = 7Î ,

j J I JL. } -

o ou ■=, n ,

selon que m ne sera pas ou sera un multiple de n. Il suit encore de ce qui précède , que si dans la série

on substitue, au lieu de a, l'une quelconque de ses puissances autres que l'unité , on n'obtiendra que les mêmes termes, mais placés dans un ordre différent-, car ce n'est que changer la racine a dans une autre qui doit reproduire aussi toutes celles de l'équation proposée , c'est-à-dire les puissances ci-dessus.

La même chose se prouve encore en observant que les exposans de «t, dans la série

étant divisés par n , afin d'en ôter les multiples de ce nombre , laisseront pour restes tous les nombres depuis i jusqu'à n — i, sans lacune ni répétition, si »<^n, proposition qui sera démontrée dans l'un des articles concernant la théorie des nombres.

17. Quand l'exposant de l'équation à deux termes est un nombre composé, ses racines dépendent des équations semblables ayant pour exposans les facteurs premiers de celui de la proposée. Soit^"' — 1=0 celle-ci , et posons m = up , n et p étant deux nombres premiers. H est d'abord évident que les racines de chacune de*-

DES ELEMENS D'ALCÈBRE. 2J

«quations

y— 1 = 0, y— ir=o;

vériReront la proposée ; car « étant une racine de la première, et tt une de la seconde, on a nécessairement

^rn ^nf ^^ny ^ ^

puisque «" = i , et de même

mais en prenant séparément les racines de ces équations

. pour celles delà proposée, on n'en trouvera en tout que