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:5 la suite oes tractions principales-^, ~, , --^,,etc.;car
A Jj O
T) les fractions, dans chaque suite, seront successivement
rt conçues en plus grands termes, et chacune d'elles ap-
:i procheraplus de lafraction proposée, que ne pourrait
7) faire aucune autre fraction qui serait pareillement plus
n petite ou plus grande que la proposée, mais qui serait
3» conçue en termes plus simples.
ri Au reste, il peut arriver qu'une des fractions iVjférmé-
fl diaires d'une série n'approche pas si près de lafraction
T> donnée, qu'une des fractions de l'autre série, quoique
DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. 267
Y) conçue en termes moins simples que celle-ci"j c'est pour- « quoi il ne convient d'employer les fractions intermér> diaires , que lorsqu'on veut que les fractions cherchées » soient toutes plus petites ou toutes plus grandes que la 5) fraction donnée.
i3G. r SuivantLaCaille, l'année solaire est de 365^5' ri 48' 49"} ^t P^i" conséquent plus longue de ô* 4^' 4.9 M que l'année commune, qui est de 365';si cette différence « était exactement desix heures, elle donnerait un jour au 51 bout de quatre années communes ; mais si on veut sa- 31 voir au juste au bout de combien d'années commune* n cette différence peut produire un certain nombre de n jours , il faut chercher le rapport qu'il y a entre 24 ■>•> et 5'' 48' 49"; on trouve ce rapport = H^; de sorte y) qu'on peut dire qu'au bout de S6/\C0 années comn munes, il faudrait intercaler 20929 jours pour les rért duire à des années tropiques (*).
» comme le rapport de 86400 à 20929 est exprimé en V termes fort grands, on propose de trouver en des termes « plus petits des rapports aussi i-approchés de celui-ci « qu'il lui est possible.
y) on réduira donc la fraction HIH en fraction conn tinue par la règle donnée dans le n" 121 , qui est la
(*) On a^ipcUc année solaire ouannée tropique Ves^iBiCctlc icmjis qn'il faut pour ramener la terre dans la mtme position à Ttgard du soleil. Les astronomes ont ccncla des observations, que cet espace est de 3G5 jours 5 heures 48 minutes 49 secondes ; et il suit de là qu'au bout de 365 jours , ou (Vune année cii^i/e , il s'en faut de 5 heures 48 minutes 49 secondes que la terre n'ait aoheve sa revo-. lution autour du soleil. Ce complcmeat se trouve compris dans l'année suivante. S'il était précisément de 6 Ireurcs , 4 révolutions rempliraient 4 ^^^ et un jour.
Les jours qu'on ajoute pour accorder les n-volutions de la terie avec les années civiles, s'appelkntjourj intercalaires , ou intcr- (alations.
11 même que celle qui sert à trouver le plus grand commun •>•> diviseur de deux nombres donnés : on aura
864ool4=« 837x6
5li5=«
v> Connaissant ainsi tous les quotiens «, /2, 7, etc. , on en
T) formera aisément la série -^ , -7^ , etc. (126) de la
» manière suivante :
4 2 9 /iji 1 28 1 fil 2-12A "«'^S 55 fi 9 gfiloo »' 7 ' b ' 31 > 3y J (jôô > ca* J T3T9 > ao9aij>
11 OÙ l'on voit que la dernière fraction est la même que r> la proposée.
T> Pour faciliter la formation de ces fractions, on écrira fi d'abord, comme je viens de le faire, la suite des quon tiens 4, 7, 1, etc., et on placera au-dessous de ces » quotiens les fractions f , ~, ~, etc. , qui en résultent.
DES ÉLÉMEXS d'aLGÈBRE. oGg
r La première fraction aura toujours pour numéra-
w teur le nombre qui est au-dessus , et povu: dénomina-
r> teur l'unité.
n La seconde aura pour numérateur le produit du
T nombre qui y est au-desaus par le numérateur de la
" première, plus l'unité, et pour dénominateur le
V nombre même qui est au-dessus.
n La troisième aura pour numérateur le produit du n nombre qui y est au-dessus par le numérateur de la se- 71 conde, plus celui de la première , et de même pour 7) dénominateur le produit du nombre qui est au-dessus •it par le dénominateur de la seconde, plus celui de la ■fl première.
rt Et en général (d'après la règle du n° 126) chaque r fraction aura pour numérateur le produit du nombre m qui y est au-dessus par le numérateur de la fraction T) précédente, plus celui de l'avant-précédente ,et pour r> dénominateur le produit du même nombre par le dé- ■m nominateur de la fraction précédente, plus celuide n l'avant-précédentp.
n Ainsi, 129=7. 4-hi , 7=7' 35=1.294-4, r^ 8 = i.7-+-i, 128 = 3.33-1-29, 3t=3. 8-1-7, et y> ainsi de suite.
51 Maintenant on voit par les fractions 7, ^, ^ , et c
V que l'intercalation la plus simple est celle d'un jour y) dans quatre années communes , ce qui est le fon- )i dément du calendrier julien ; mais qu'on approcherait 51 plus de l'exactitude en n'intercalant que sept jours )i dans l'espace de vingt-neuf années communes , ou ji huit dans l'espace de trente-trois ans , et ainsi de » suite.
« On voit, déplus, que comme les fractions 7, ^, ~ r sont alternativement plui petites et plus grandes que la
S/d COMPLÉMENT
V fraction l^fr? ou ë /, yZy , , l'intercalation d'un jouf
V sur quatre ans sera trop forte, celle de sept jours sut y> vingt-neuf ans trop faible ; celle de huit jours sur r trente-trois ans trop forie , et ainsi de suite ; mais « chacune de ces intercalations sera toujours la plus
V exacte qu'il estpossible dans le même espace de temps. ■)•) Or, si on range dans deux séries particulières les
11 fractions plus petites et les fractions plus grandes que
n la fraction donnée, on y pourra encore insérer diffé-
■)■> rentes fractions intermédiaires pour compléter les sé-
V ries; et pour cela on suivra le même procédé que ci- Tt dessus, mais en prenant successivement à la place de •)■> chaque nombre de la série supérieure tous les nombres rt entiers moindres que ce nombre (lorsqu'il y en a).
3> Ainsi, considérant d'abord les fractions croissantes
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1' 8> 39> 69+' io929>
■)•) on voit qu'à cause que l'unité est au-dessus de la sey> conde , de la troisième et de la quatrième, on ne Y> pourra placer aucune fraction intermédiaire, ni entre y) la première et la seconde, ni entre la seconde et la troi-
V sième , ni entre la troisième et la quatrième ; mais 51 comme la dernière fraction a au-dessus d'elle le
V nombre i5, on pourra entre cette fraction et la précé-
V dente, placer quatorze fractions intermédiaires , dont r les numérateurs formeront la progression par difFér rences 2865+556.9,s865-f 2.556(5,2865+5. 5569,etc.
V et dont les dénominateurs formeront aussi la progresr sion 694+1349, 694-1-2.1349, 694-f-3.i349, etc.
n Par ce moyen , la suite complète des fractions croisîî santés sera
CES ÉLÉME.NS d'aLGÈBRE. ajl
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>i Et comme la dernière fraction est la même que la ï* fraction donnée , il est clair que cette série ne peut pas n être poussée plus loin.
r> De là on voit que si on ne veut admettre que des yi intercalations qui pèchent par excès, les plus simples 5> et les plus exactes seront celles d'un jour sur quatre î> années, ou de huit jours sur trente-trois ans , ou de w trente-neuf sur cent soixante-un an , et ainsi de suite.
ï> Considérons maintenant les fractions décroissante*
laj
S =; fi 9 .
w et d'abord, à cause du nombre 7 qui est au-dessus it de la première fraction , on pourra en placer six autres T> avant celle-ci , dont les numérateurs formeront la pron gressionpar différences 4+ > .^-•4+i> 3.4-l-i> e'c., et ■n dont les aénominateurs formeront la progression 1 , r> 2, 3, etc.", de même, à cause du nombre 3, on pourra w placer entre la première et la seconde fractions , deux 1^ fractions intermédiaires •, et entre la seconde et la troi- 31 sième , on en pourra placer 1 5 , à cause du nombre 1 6 n qui est au-dessus de la troisième; mais entre celle-ci ■fl et la dernière on n'en pourrait insérer aucune, à cause » que le nombre qui est au-dessus est l'unité.
31 Déplus, il faut remarquer que comme la série prén cédente n'est pas terminée par la fraction donnée, on 33 peut encore la continuer aussi loin que l'on veut, >3 comme nous l'avons fait voir dans le n" i34. Ainsi on w aura cette série de fractions décroisssautes.
«7â COMPLÉMENT
