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)i lesquelles sont toutes plus grandes que la fraction pro-» r posée , et en approchent plus que toutes autres frac- Y) tions qui seraient conçues en termes moins simples.
)■> On peut conclure de là que si on ne voulait avoir Yi égard qu'aux intercalations qui pécheraient par dé- 11 faut , les plus simples et les plus exactes seraient celles 11 d'un jour sur cinq ans , ou de deux jours sur neuf ans , 11 ou de trois jours sur treize ans , etc.
11 Dans le calendrier grégorien , on intercale seulement 11 quatre-vingt-dix-sept jours dans quatre cents années; 11 on voit par la table précédente qu'on approcherait ji beaucoup plus de l'exactitude en intercalant cent neuf V jours en quatre cent cinquante années, n
Tous ces calculs, dépendant de la durée de l'année, sont liés aux progrès de l'Astronomie , et Ton trouvera dans le Traité d'astronomie de M. Delambre , ce qui résulte de l'état actuel de la science.
1^57. te Nous avons déjà donné (126) la fraction con- 11 tinue qui exprime le rapport de la circonférence du 11 cercle au diamètre, en tant qu'elle résulte de la frac- 3) tion de Ludolph; ainsi, il n'y aura qu'à calculer de 11 la manière enseignée dans l'exemple précédent, la 11 série des fractions convergentes vers ce même rapport, 51 laquelle sera
DÈS ÉLÉMENS d'ALGÈBRE." 373
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71 Ces fractions seront donc alternativement plus pe- » tites et plus grandes que le vrai rapport de la circon- )i férence au diamètre, c'est-à-dire que la première -f il sera plus petite, la seconde ^plus grande, et ainsi de « suite , et chacune d'elles approchera plus de la vé- 5> rite que ne pourrait faire toute autre fraction qui )) serait exprimée en termes plus simples , ou en gért néral , qui aurait un dénomii ateur moindre qtie le )î dénominateur de la fraction suivante ; de sorte que V l'on peut assurer que la fraction y approche plus de 51 la vérité que ne peut faire aucune autre fraction dont 11 le dénominateur serait moindre que 7, de même la ji fraction ^ approchera plus de la vérité que toute 11 autre fraction dont le dénominateur serait liaoiûdra )i que 106 , et ainsi des autres.
Compl. des Élém. d'Al^. 18
T> Quant à l'erreur de chaque fraction , elle sera tou— 51 jours moindre que l'unité divisée par le produit du dé- •)^ nominateur de cette fraction par celui de la fraction Il suivante. Ainsi, l'erreur de la fraction f sera moindre >■) que j , celle de la fraction ~ sera moindre que 777^ , 3) et ainsi de suite. Mais en même temps l'erreur de
V chaque fraction sera plus grande quel'unité divisée par •>•> le produit du dénominateur de cette fraction par la 5"» somme de ce dénominateur et du dénominateur de •)■) la fraction suivante; de sorte que l'erreur de la frao-
V tion f sera plus grande que î , celle de la fraction ~ n plus grande que ~Y3 , et ainsi de suite (1121).
» Si on voulait maintenant séparer les fractions plu* 55 petites que le rapport de la circonférence au diamètre, )i d'avec les plus grandes, on pourrait, en insérant le« 11 fractions intermédiaires convenables , former deu* Y» suites de fractions , les unes croissantes et les autres 3» décroissantes vers le vrai rapport dont il s'agit; ijn
V aurait de cette manière
. , -^ circonf.
Fractions plus petites que -z-. — 7-- ' diamet.
3 a5 4^ £9 £2. »' 3 135 i57 i 79 aoi aaS a^iS ftp?
ij s'iS'i^a'aa' 3.6 > 43' 5o> 57» 6*J 71» 7 S > TûV
a j9 31 1 33 3 68S i o43 i 3 98 i 7 5 3 aiQg a4fi3 „^.„
9a> âb>io6'ai9> Sin- > 445' a5«' 67»* ;»4» ^^^^
Fractions plus grandes que -y-. —-.
A 7 i£. il JL5 19. i^ 35 5 10434-8 3 1 a 6 8 Q i 146<08 1) a» s> A' a» 6' 7> 1J3> 33aiâJ 9963i> 3ti49i3t. 54j^93M. 8 5 5 C 3 1 o 8 I6j7o7ofi5 4 1 i 5 5 7 9 8 " i4So5a4-883 f„ 77250 3 3» a72iij6i5' 5i'746i97» i3iooa97tj> 47i2tiâ7o7J tîlC.
« Chaque fraction de la première série approche plus « de la vérité que ne peut faire aucune autre fraction
DES ÉLÉMENS d'ALGÈBRE. QyD
* exprimée en termes plus simples, et qui pécherait
V aussi par défaut ; et chaque traction de la seconde M série approche aussi plus de la vérité que ne peut n faire aucune autre fractioq exprimée en termes plus » simples et péchant par e^ès,
T Au reste , ces séries deviendraient fort prolixes , si
V on voulait les pousser aussi loin que nous avons î> fait à l'égard des fractions ^principales données ci-
V dessus. 1)
i38. Après les exemples ci -dessus, les lecteurs trouveront sans peine It^ diverses valeurs approchées de V/'â,
i 3 7 2 1 ij. £2 aTp .
il a» 5» la» i»»' 70J 'îTs> etc.,
au moyen de la fraction continue
a-f-etc. (laS).
Une semblable fraction, dans laquelle les dénominateurs sont toujours les mêmes , ou reviennent dans un certain ordre, se nomme/racfio« continue périodique , et peut toujours être regardée comme la racine d'une équation du second degré.
Soit la fraction a + r . i
^+64- etc.;
en la faisant égale à x, on aura
^^-f-etc.
tjS COMPLÉMENT?
Le nombre des fractions intégrantes étant illimité, il est
évident qu'on peut substituer encore x — a à l'ensemble
des fractions qui suivent la première , en sorte qu'on
aura
d'où il suit
x'' — (2C — b) X -\' a' —' ab '-' i =o ,
équation de laquelle dépend l'inconnue x , qui représenté la fraction proposée.
Si l'on fait 6= 2a, l'équation ci-dessUs devient x^—'O^ — 1 = o; et la fraction
zr =:a H , i
aa-f- — , ^ Q.a -f- etc.
donne la valeur de \/a^-f-i.
Quand a = i , il vient x = V^2 , ce qui justifie l'expression indéfinie rapportée plus haut.
Soit encore la fraction continue
c -f- etc. ,
dont la période embrasse deux fractions intégrantes ', on aura, dans Ce cas,
c -f- etc. ,
et on substituera x — a au lieu de toutes les fractions
DES ÉLÉMENS d'ALCÈBRC. 277
«jui suivent la seconde ; il viendra
c-^ X — a dont on tirera
bx^ — (aaè — bc) x -\- a^b — abc — c = o.
11 est facile d'étendre ce procédé à telle fraction périodique que ce soit.
139. Réciproquement y' «ne équation du second dogré étant donnée, on en tirera une fraction continue périodique, en lui appliquant la niédiode donnée (Elém. 22)) pour résoudre les équations par approximation.
L'opération est bien simple par rapport à l'équation x^ — (aa — b^x-^-a"" — ab — 1 = 0
du numéro précédent. En faisant x=:a-\ — , il vient, après les réductions,
équation d'après laquelle on reconnaît sans peine que y doit être compris entre b et b -\- 1 ; et posant en
conséquence y =::b -\ — 7, on trouve encore
Les transformées étant donc toutes semblables , isez-a la valeur approchée de chacune des inconnues y, y', y" .... , et l'on aura par conséquent pour x la première des fractions continues littérales posées dans I3 numéro précédent.
Pour la démonstration du cas général de la pro]>Or sition ci-dessus , je renverrai aux Additions à l'Algèbre d'Euler, p. 4/^3 ^* ^^^ Traité de la Résolution des Equations numériques, par Lagrange , 2^ édit. , p. Sg.
De quelques autres transformations des fractions,
