On a vu dans le n° 121 que la fraction continue
équivalente au nombre fractionnaire — , s'obtenait de la
même manière qu'on procède à la recherche du plus grand commun diviseur, c'est-à-dire en divisant A par B , puis B par 1p reste C, puis ce premier reste C par le second D , et ainsi de snite. On peut, au lieu de prendre à chaque opération partielle un nouveau dividende et un nouveau diviseur, diviser le premier nombre ^ par B , puis parle reste Cde cette première division, puis par le reste C de la seconde, et ainsi de suite. On obtiendra, d'après ce procédé, une espèce de fractions convergentes , remarquées d'abord par Lambert , et traitées depuis par Lagrange, dans le volume des Débats 4e l'École Normale, et dans le 5* cahier du Journal da l'École Polytechnique.
Si l'on fait successivement
A = mB + C,
A — nC -{- C, A — n'C'-\- C", A = n"C"-{- C", etc. ,
.on en déduira
DES ÉLéMENS d'ALGÈBRE. Vf^
n etc. ;
d'où Ton conclura ces diverses valeurs,
JS Bn Lnn Lnn
A A A j cr
a Bn Bnn Bnn'ii Bnn'ii *
6tc.
La fraction — est ainsi transformée dans une suite B
convergente ; car il est visible que les quotiens n,7i',n",ctc.
Yont en croissant, tandis que les restes C, C C", etc.
diminuent sans cesse : on voit, de plus, que cette série doit
s'arrêter toutes les fois que le nombre -^ est rationnel. En
effet, la suite des divisions prescrites par le procédé
ci-dessus conduit nécessairement à un quotient exact ,
lorsque A et B sont des nombres entiers, puisque les
restes diminuant successivement, on doit finir par en
trouver un égal à l'imité quand les nombres A et B sont
premiers entre eux.
i4i. Si l'on prend, au lieu du nombre fraction-
^^gire -^ , la fraction proprement dite -^ , dans laquelle
qSc COMPLEMENT
C KiB , on aura
B = nC + C,^
B = ii'C + C", \
, ou
B — ii!'C" + C, l
C"- " Bn"'
etc. J
. etG,
«i'où l'on tirera successivement
B ~ n Bn'
B "" n nn' "^. Bivi"
Z? 71 rt/i' nn II" Bnn'n"*^
etc.
Toutes les fractions partielles de ces résultats, excepté la dernière, ont pour numérateur l'unité. Cette dèmière donne toujours l'erreur qui résulte de l'ensemble des autres. Il est facile de conclure de là que les valeurs
~ "~" ? ( '~7ïi'*
etc..
n nn
n nn nn n :,
jtji j.i
sont alternativement- pliiâ petites et plus' grafltîék que là
fraction —, en supposant toujours les quotiens n,n,
n", etc. , pris comme en Arithmétique. Il serait facile de trouver les modifications qu'appo'rteraieljt dans cette conclusion et dans lessignes des fractions partielles, des quotiens pris tantôt en excès et tantôt en défaut ; les considérations analogues développées dans le n°^ 124 me
PF.S ÉLÉMENS D'aLGÈBRE. cSl
dispensent d'eutrer ici dans aucun détail à cet égard ; je me bornerai à faire remarquer que l'on aura une approximation plus rapide, en prenant touiours le quotient au plus près, soit en-dessus, spit en-dessous. Je ferai encore remarquer que l'on peut obtenir,
pour le nombre fractionnaire —, des expressions semblables aux précédentes , en substituant celles-ci à la
place de — dans l'équaticn — - = 7a-f- — .
Si l'-on applique ce qui vient d'être ^it à la fraction
iio3 5 5.47 5.47-5o
5 . 4? • 5o . 367 . 55 1 . 1 I o3* On peut employer aussi ce procédé pour obtenir des valeurs approchées de fractions décimales, en ayant égard à ce qui a été dit au commencement du n** laS, Si l'on en fait usage pour déduire de la fraction j^^^'^, des valeurs approchées de \/2, on trouvera
V 2 = 1 -\ p- H ;.- etc.
En partant de la fraction de laquelle dépend le rapport de la circonférence au diamètre (120), rt prenant les quotiens au plus près (i23), il vient
circonf. ^ , 1 1 l
diamet. 7 7.113 7.113.4709
SJs GOMPLÉMEN»
