On a fait voir, dans le n° 1128, qu'en dfésB gnant par

la suite des fractions convergentes vers la quantité a, déduites de la fraction continue équivalente à cette quantité, on avait

D' C^ ciy'

E' D' ~ jyE' '

il en résulte, pour a, cette suite de taleura, de plus en plus approchées,

etc. ,

ce qui offre encore une transformation de l'expiession de a en série convergente , finie si a est rationnel , et infinie dans le cas contraire.

Cette dernière transformation est d'autant plus remarquable , qu'Euler en a tiré un moyen de convertir «n fraction continue toute série dont les termes sont g]-

DES ÉLÉMEKS D^ALGÈBRE. 285

ternatJvement positifs pt négatifs. {J^oyez le chap. XYIII de V frUroductio inAnahsm injinitorum.) 11 y est revenu depuis , dans 2" volume de ses Opuscula analytica (pag. i38); mas ces recherches sont trop compliquées pour trouver place ci.

143. On peut généraliser la réduction des fractions ordinaires en fractions d'^C'males, en se proposant de convertir une fraction quelconque en une autre d'undé-

nominateur donné, -r- étant la première , et è le deno- B

minatetr donné, la seconde aura évidemment pour nu-

hC

mératfur le quotient -^ évalué en nombres entiers. Si

l'on représente ce q\^otient par n et le reste par Cy on a exactement

bC C ^, . C n C

=n+-gr, dou =+^,

et poursuivant ces divisions , on arrive à

C n' C" B ~ b ^ bB*

etc. ,

résultats desquels on tire

B~b'^ bB'

etc.

L'application des raisonnemens faits en Arithmétiquesur les fractions décimales , conduit facilement aux conséquences que fournissent les expressions ci-dessus ; et les considérations, qu'on y a développées dans le n° 97,

montrent en particulier que si la fraction — est rationnelle , les quotiens n, n' , n" , etc. doivent nécessairement avoir des retours périodiques.

i44' Les diverses transformations dont je viens d'exposer succinctement les principes , se déduisent de l'équation

qu'on obtient en comparant deux fractions — et r pour

connaître leur différence, dont le numérateur est alor$ exprimé par D.

1°. Si l'oH^veut, en supposant, le numérateur c= 1, trouver pour b un nombre entier tel , que la différence D soit la plus petite possible , il est visible qu'il faut faire b égal au quotient du dénominateur B par le numérateur C; et désignant ce quotient par 77, on retombe sur l'équation

£ ^ n Bn

trouvée dans le n° \Ai. Traitant de même la fraction -—■

IP

et les suivantes, on opérera la transformation indiquée

dans ce numéro.

2°. Il est visible qu'en se donnant le dénominateur, oa tombe sur la transformation du numéro précédent.

3°. Enfin si, laissant les deux termes de la fraction T indéterminés , on parvenait à découvrir la plus petits.

DES ÉLÉMENS D'aLGÈBRE. 285

Valeur dont ils sont ausceptibles en vertu de l'équation Cb — Bc = ±i,

dans laquelle D estleplus petit possible, on reproduirait, dans un ordre inverse, les fractions convergentes qui

résultent de la fraction continue équivalente à --.. Cela

est évident par les équations

BJ' — JB' — 1 , CB: — BC ~ - \, DC — CD' — i , ED' — DE' = — 1 , etc. , .

déduites de la comparaison des fractions -> , jp , -rj ,

jy , etc., dans le n° 128 ; car la dernière de ces fractions

étant la proposée , l'avant-dernière sera identique avec

7 ; faisant ensuite ch' — 6t' = ± 1 , la fraction -n , déo o

terminée comme y , sera nécessairement 1 antépénultième convergente , et ainsi de suite.

C'est sur ces rapprochemens qu'est fondé l'excellent Mémoire de Lagrange sur la transformation des fractions ) on y trouve les moyens d'obtenir les nombres b , c, b' , c ; mais comme il ne cofftient pas toute la théorie des fractions continues , j'ai cru devoir encore préférer le texte de ses Additions à t Alg;èbre d' Euler^ qui, plus complet , se lie d'ailleurs mieux avec les divers ou^Tages où l'on traite des fractions continues. Les lecteurs que cette matière peut intéresser auront à consulter.

sBS COMPLÉMENT

Les Œuvres de TVallis ;

Descriptlo automati Planetarii, (Euvres d'Huygenâ j

lu^ Introductio in Ânalysin infinhonim , d'Euler ;

Plusieurs Mémoires de l'Académie de Pétersbourg (^Anciens Comm. , tom. IX et XI -, nouveaux, tom. IX> XI et XVIII, Actes 1779, T" partie);

Ceux de l'Académie de Berlin (années 1767, 1768, 1769, i'7J^)\

Ceux de l'Académie des Sciences de Paris (ann, 1772, F' partie);

Le 2* volume des Élémens d' Alcrèhre , d'Euler;

Les Opuscula analytica , d'Euler ;

Le Traité de la Résolution des Équations numériques, de Lagrange ; *

La Théorie des Nombres , de Legendre ;

Et enfin le 5^ cahier du Journal de t École Poly* technique.

Notions générales sur l'Analyse indéterminée.

145. Lorsque l'énoncé d'une question fournit moins d'équations que d'inconnues , cette question est indéterminée, parce Qu'elle est susceptible d'un nombre infini de solutions. S'il s'agissait, par exemple, de trouver deux nombres dont la somme fût égale à 10, onamait

réquation

X + y=io,

et quelque valeur qu'on donnât àj', on en trouverait une pour X j mais en se bornant à ne prendre pour l'une et l'autre de ces inconnues que des nombres entiers positifs , il est évident qu'on ne peut avoir que les licuf solutions suivantes :

Des élémens d'algèbre. aÔ/

et îes quatre demièreà ne doivent pas êti-e regardées fcomme dilTérentes des quatre premières, puisqu'il suffit de changer x en y pour rendre celles-ci identiques avec les autres.

L'exclusion donnée aux nombres négatifs et fractionnaires ne limite pas toujours le nombre des solutions des problèmes indéterminés ; mais il faut souvent recourir à des artifices d'anal3'se très remarquables , pour ne tomber jamais que sur des valeurs entières et positives des inconnues.

L'équation du premier degré à deux inconnues peut être représentée par

ax -\-byz=c,

n, b, c, étant des nombres entiers donnés. Il faut que les deux premiers, a et b, n'aient aucun facteur commun, à moins que ce facteur ne le soit aussi du troisième. En elfetj ai on avait

a = km , b =: kn ,

il en résulterait

kmx -f- kny = c ou mx + ny = - ,

tt il serait par conséquent impossible que x ety fussent des nombres entiers, si c n'était pas divisible par k.

L'équation ax + 6y =c ne demande aucune préparation, lorsque l'un des coefHciens a ou 6 est égal à l'unité; car soita:= i , on a sur-le-champ

X = c — by ,

et ne prenant pour^ que des fiombres entiers , on n'eu trouvera non plus que de tels pour x.