Occupons- nous donc du cas général , et suppo
û88 COMPLÉMENT*
sons que dans l'équation ax-\-by=:c, on a\ta<^bi Soit ma le plus grand des multiples de a que puisse contenir b, en sorte que b = nia -f- '', r étant moindre que a, il viendra
ax -j- may -{- ry rr=: c , ou a(x + "^y) + O' ^^ ^* Faisons x -\- tny = i , nous aurons ry -{^ at =zc.
Si r était l'unité, la question serait résolue, car on aurait alors les équations
X + "ij = t et j' -{- at = c ,
desquelles on tirerait
y ^= c — at, X ■= i — my ,
qui donneraient par conséquentdes nombres entiers pour X ety, en prenant de pareils nombres pour t.
Si r surpasse l'unité, nous aurons, à cause de r<^a,
a =: m'r + /, mV étant le plus grand multiple de r que puisse contenir o; et substituant cette expression dans l'équation ry -\- at ■= c , nous trouverons ry -f- m'rt -j- r't =c, ou r(^y + m'i) -{-/t=c], nous ferons y + mt = u , ce qui donnera
r t ■}- ru :=■ c :
nous aurons donc les équations
x-\-my = t, y -{• mt z=u, rt-i-ru=zc , qui , si r' = 1 j donneront
X = t — my, y := u — m^t , f = c — TU '^ et prenant pour u un nombre entier, on en déduira aussi des valeurs de f , de y et de x, en nombres entiers. Si r' suroasse l'unité, il fa.dra opérer sur la dernière
DES ÉLÉMENS D'aLGÈBRE, ûSq
équation r't~{-ru =z c , comme sur les précédentes ^ et puisque r est •<]/•, on aura
m"/ étant le plus grand multiple de r que puisse contenir r. Par cette expression, l'équation r't~{-ru=c se changera en
faisant ( + m"u = v, on aura
r"ti -f- r'v = c ,
et dans le cas où r" serait égal à l'unité, il en résulterait les équations
x-{-myz=t , y-\-Tîit=iu, t'\-m" u^=.v ^ i/-f-rV=c,
dont on tirerait
X— f — my, y=ii — Tn't, t=\/ — m'^u , uz=c — /v,
valeurs qui seront toujours entières, si v est un nombre entier.
Il est facile de voir que ce procédé conduira nécessairement à une équation dans laquelle l'une des inconnues aura l'unité pour coefficient, car les valeurs de
r, /, r", s'obtiennent par la même opération que
celle qu'il faudrait faire pour trouver le plus grand commun diviseur des deux nombres Z? et a , et qui donnerait pour dernier résultat l'unité , puisque ces nombres sont premiers entre eux. En effet, dans la suite des expressions
b^^ma-^-r, a=zm'r+/y r = mV -{-r", etc.,
t est le reste de la division de b par a , / celui de la division de a par r, r" celui de la division de c^arr', et ainsi de suite.
Compl. des Élém. d'Alg. ig
147. Je prends pour premier exemple cette question î Quelqu'un qui n'a que des pièces de Sfruiia et des pièces de 2.4 > se propose de payer une somme de 'io^fr.', combien doit-il donner des unes et des autres ?
Soit X le nombre des pièces de 5 francs, y celui des pièces de 34 ; il viendra
hx-{'24y = 109 ;
on aura dans ce cas
et on trouvera
m = 4> T = 4i rn' =.1 , r'=:i,
ce qui donnera
x+4y = tj j + t=:«, i+4a = iog;
d'où l'on déduira
remontant de la valeur de f à celles de^ et de x, on trouvera enfin
x = 545 — 24ii, y =zhu — 109.
Pour ne tirer de ces valeurs que des résultats positifs, il faut ne prendre pour u que des nombres tels , qu'on ait 5u>»i09 et â4"<C545; ces nombres doivent donc être compris entre -3^ et ^ , c'est-à-dire ai et 23; il n'y en a par conséquent qu'un seul , savoir 32. En supposant u =1 22 , on trouve
x=zij, y~i',
et en effet, 17 pièces de 5 francs font 85 francs, qui, ajoutés avec 24/ donnent 109.
DES ÉLÉMEXS D'aLCÈBRE. 2f)i
La question ci-dessus revient à partager le nombre 109 en deux parties , dont l'une soit divisible par 5 et l'autre par 24 ; et ce cas particulier est remarquable en ce que le problème est déterminé et n'a qu'une seule solution , lorsqu'on exclut les nombres fractionnaires et les nombres négatifs : il n'en est pas de même de la question suivante. ^
148. Quelqu'un achète des chevaux et des bœufs ; il paie les uns 3i pièces de 5 francs chaque , et les autres 20, et il se trouve que le prix total des bœufs surpasse de 7 pièces celui des chevaux : combien pouvait-il y avoir de bœufs et de chevaux?
En désignant par x le nombre des boeufs , et par y celui des chevaux , on trouvera
•20J: r=:oi y -f-7, ou a.ox — 01^ = 7;
dans le cas actuel, on a
a r=z zo , b =z — 3i, c z:=z j ,
et il en résulte par conséquent
m = — 1, r= — 11, m'= — 1, r'==-f-9, 771"= — ij r''r=-2, m"'=-4, r"=:-Hz;
on fera donc .^^ ^^^ ^^,
X — y=-i, y — t=su, t-^u-=Vy u-^4t-'=^»
et il viendra en dernier lieu
V — 2wr=7,
ce qui donne, en remontant aux valeurs de x et de y,
f=:7+2W, Zi = 28 + 9vv, t=zo5-\- iiw , ^ = 63 + 20^, x= ^S-{- onv.
Bien ne limite ici les valeurs de x et celles de y , qui
aga COMPLÉMENT
sont positives , lors même qu'on donne à w les valeur*
négatives — 3, — 2, — 1 ; et si on fait successivement
jv = — 3, on trouve^ = 3, a; = 5,
r= a = io3 ?= i6o
etc. etc. etc.
Les valeurs de y et celles de x font, comme l'on voit, deux progressions par différences ; dans la progression relative à y, la différence est égale au coefficient de ce , et dans la progression relative àx, la différence est égala au coefficient de y. Il est facile de s'assurer que cetta circonstance a toujours lieu *, il suffit pour cela de re-« monter des valeurs générales de v, u, t (146), à celle* de a: et de ^ ; mais on va le voir encore plus sim-* plement.
149. Si on connaissait à priori, ou qu'on eût trouvé par hasardj une solution d'une équation indéterminée, oa pourrait en obtenir une infinité d'autres, ainsi qu'il suit. Soit a: = «, ^ = /3, les deux valeurs données; on aura par hypothèse
aoi-\~ bli ■=. c;
retranchant cette équation de la proposée ex -|-iy=c, il viendra
4'où oq tirera
DES ÉLÉMENS d'ALGÈBRE. SgS
maïs puisque les nombres a etb sont premiers entre euxy
la quantité - (^, — y) ne peut être entière , a, moins que
y8 — y ne soit un multiple de a , condition qu'on remplira en faisant^ — y=.pa, p étant un nombre quelconque : par ce moyen, on aura, pour déterminer x et y , le» deux é(juations
x — x = bp, ^—yz=pay
gui donneront
X ■= a -\- hp , y = /i — pcir.
Ces expressions prouvent d'une manière très simple que les valeurs de a: et de^ doivent former des progressions par différences , telles qu'il a été dit plus haut.
i5o. La théorie des fractions continues donne aussi la solution immédiate de l'équation ax — èy = d2cj car si l'on suppose d'abord c=:i, que l'on développe
la fraction T en fraction continue, et qu'on représente
par — la fraction convergente qui précède la proposée, on aura (128)
an — bm = ±: 1 ;
puis multipliant les deux membres de cette équation par c, on aura
acn — bcm = rt c.
Ainsi on pourra prendre x:= en, y=icm; on aura de cette manière deux multiples de a et de h , qui diffère^ mnt entre eux de la quantité donnée i: c.
î.5i. La méthode exposée n'' 14S est générale, e*
aij4 COMPLÉMENT
s'applique à quelque nombre d'équations que ce soit.' Yoici un exemple qui en présente trois : trouver un nombre qui , étant divisé par 2 , donne pour reste i , étant divisé par 3 , donne pour reste a , et étant divisé par 5 , donne pour reste 3. Soit N le nombre cherché, et X, y, z, les quotiens respectifs qu'il donne lorsqu'il est divisé par 2 , par 3 et par 5 ^ il suit de l'énoncé ci-dessus , que
ces équations se réduisent immédiatement aux suivantes,
2x + 1 =: oj' -}- 2 , 3y -f- 3 = Ss + 3, ou
On résoudra d'abord la première comme si elle était seule , et on trouvera
y =z at — 1 , a; = 3i — i; substituant la valeur de y dans la seconde, elle deviendra
— 5z + 6f = 4, nouvelle équation qu'il faudra résoudre ; on en tirera
z — t-=u, —bu-^t-=z/^, et par conséquent
t = bu-^4> 3 =: 6u -f- 4- En remontant aux valeurs de x et de y, on aura
x=i5u-\-n, y:=:iou-\-j, z = Ôu-j-4>
et l'une des équations proposées , N^zx-^i, par exemple, donnera
N = Zou -f- û3.
^a plus petite valeur que puisse avoir N s'obtient en
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. SgS
faisant u=.o; il vient alors iV= 23, nombre qui, étant divisé par 2, par 3 et par 5 , donne en effet pour restes J, 2, 3,
Cet exemple, quoique fortsimple , montre assez comment il faut opérer dans les cas plus compliqués. Le lecteur pourra s'exercer encore sur les deux équations
il trouvera, en éliminant z, cette équation
1 2r + 10^'= 1 oco ,
qu'on simplifie en divisant tous ses termes par 2 , et qui donne
6x -\~ 5y = 5oo.
Faisant ensuite x -^y^= t , il vient
