Si on avait une équation à trois inconnues

ax -^hy-^cz.z=zd, on passerait le terme cz dansl'autre

agS COMPLÉ.MENT

membre, et il yiendrait

CUV -^ by == d — cz;

on ferait d — czr= c, et on n'aurait plus à traiter que réquation ax + Z>y = c'. Lorsqu'on serait parvenu à l'équation dans laquelle l'une des inconnues n'a pour coefTicient que l'unité , on remonterait successivement aux valeurs de cç et de ^ , en substituant d — -cz à la place de c' ; et en supposant que v fût la dernière des, inconnues auxiliaires (146), l'expression de a: et dey renfermerait alors deux nombres entiers , v et z , qu'on pourrait prendre arbitrairement.

Soit 5x + 8y + 72- = 5o ; on a , d'après ce qui précède ,

et en faisant a=:5, 6=8, on trouve

ce qui donnç.

x •^-yzzzt, y -j-t^u, t + u-=v , u-f-2i/=:c',

d'où on tire

u=:c — zv, t-=.Zv — c',y=z2.c — 5l/, X=::8l/ — 3i',

et remettant pour c' sa valeur , on a enfin

x=^^v -\- 2.1Z — i5o, y = ioo — 142 — 5v,

expressions dans lesquelles on pourra prendre z et v arbitrairement, mais de manière cependant à ne doimer pour X et pour^ que des valeurs positives.

i53. La difficulté de trouver dea solutions , soit entières , soit au moins rationnelles , dans les problèmes indéterminés qui passent le premier degré,, est beaucoup

DES ÉLÉMEN'S d'aLGÈBRE. 297-

plus grande que celle d'obtenir des nombres entiers dans les problèmes de ce degré; c'est pourquoi je ne m'arrêterai que sur un petit nombre de cas les plus simples.

Je m'occuperai dabord de l'équation

py ^= a -\- bx -\- ex"" -]- dx' -^ ex^ . . . + ftx"*,

dans laquelle y ne passe pas le premier degré , et qui dorme

__ g -4- ^.r -t- ex' + dx"^. . . 4- ^J* •^ ~~ P

n est facile de voir que lorsqu'on connaît une seule solution de cette équation , on en peut trouver une infinité d'autres-, car si la supposition de a: = « rend la quantité

a + èx 4- ex' -f dx'^ . • . + hx""

divisible parp , tous les nombres compris dans la formule ti -f- np jouiront aussi de la même propriété , puisque par leur substitution , au lieu de x, la quaatité a -f- bx-\-cx^ -f- dx' -f- et-c. prendra la forme

a-^bu -\-c»:'- -\- ^«^ 4- etc. + Anp -{- BnY + etc. ,

et que la partie a -{-btt-{-ce*'^-^da^-{- etc. est divisible par p , d'après l'hypothèse.

Ce qui précède prouve encore que si le problème proposé peut se résoudre en nombres entiers, il y aura nécessairement une ou plusieurs solutions entre - et :

car îi a. était hors de ces limites , il serait possible de prendre n de manière que u±np s'y trouvât compris. Si , par exemple, « tombait entre 3p et 4p > niais plus près de 5p que de 4p, ^^ prenant n=: — 5 , on obtiendrait

fi^S COMPLÉMENT

un résultat moindre que ".Il suit de là que pour tomber sur une solution , .il suffira d'essayer pour x tous les nombres entiers compris entre - et — -.

Par ce moyen on s'assurera aisément que l'équation <yy = /^ -\- Sx -{- 6x*

n'est pas résoluble en nombres entiers, puisqu'on ne trouve que des fractions, en prenant pour a; tous les nombres compris depuis -f-4 jusqu'à — 4*