On peut aussi prouver que l'équation
py — a H- bx 4- cx^ 4- dx^ . . . + hx"*
ne saurait , lorsque p est un nombre premier qui ne divise point a , admettre plus de m, solutions en nombres entiers y par des valeurs de x prises depuis o jusquà p ; et voici comme le fait M. Legendre (^Mém. de ï Académie des Sciences , 1785).
Si « est une de ces solutions , on aura
c 4. Z»« + r«^ -4- du.^ + ^^'"
n désignant un nombre entier, et par conséquent
pn = a + bci-{- c»^ 'j-du'^ + hu"" ;
retranchant cette équation de la proposée, on obtiendra
py—pn=b(x—u)-\-cix-'—u^)-\-d(x^—c^') ...-{-h (x'"-*'"),
résultat qu'on peut mettre sous la forme p(iy—n)=^ix—uXb'-[-c'x-\-d'x'-\-e'x\..+h'x'''-')
{^Élém. 180). Or, aucune des valeurs de x ne pouvant
DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. ^1)9
être divisible par p, tant que a ne l'est pas, si on pren4 », /3, y, etc. .entre o etp, les quantités /S — «s, y — «, etc. , toutes plus pRtites que p , ne pourront se diviser par ce nombre; le facteur jc — « ne sera donc divisible dans aucun de ces cas par p : il faudra par conséquent que ce soit le facteur
b'^ c'.r + ^V+eV. . . -h /z'x'"-'.
Il résulte de là que l'équation
pf— b' -H ex + d'x'' -f ex^. . . + T^'x'""^
sera résolue par toutes les valeurs /3, y, etc.; et que si le nombre de celles qui résolvent la proposée était seulementm4- 1 , la précédente en admettrait m. En descendant ainsi de proche en proche, on arriverait à conclure que l'équation py:=::La-\-hx devrait admettre deux valeurs entières pour .r entre o et p , ce qui ne saurait être , puisque les valeurs de x forment une progression dont la différence est p '(i49) • donc l'équation proposée n'en peut admettre que m au plus dans ce» limites.
i55. Soit encore l'équation
a-Jrbx-}- cx'^-'rdx'^-^ex^ -\-eic.
y ~ 'S-\-h'x -f-c'.r^ -^d'x' 4-e'xV }- etc. '
la plus générale de celles dans lesquelles une des inconnues ne monte qu'au premier degré.
Si l'on fait
a -\- bx -\- cx^ -\- dx^ -f- ex^ -\- etc. =: p, a' -f- b'x 4- c'x= + d'x'^ -f- ex^ -{- etc. = q ;
en éliminant x de ces deux dernières équations, on en
3oo COMPLÉMENT
trouvera une de la forme
u4-^Bp + Cq-\-Dp^-\. Epq -j- Fq"" + etc. =o^
«ntre p et q. Mais par l'hypothèse, y = ^, on p = qy j.
çubstituant cette valeur, l'équation précédente deviendra
A-\-Bqy-\rCq-^Dqy^-\-Eqy-^Fq^-\-etc. = o ;
tous les termes étant alors divisibles par q, excepté le premier ^, il faudra que celui-là le soit aussi, autrement X ei y ne pourraient pas avoir des valeurs entières. On cherchera donc tous les diviseurs du nombre ^; en les. désignant par u, (2, y, etc., et en px-enant successivement chacun d'eux pour q, on aura les équations
« = a' -f- b'x + cx"^ + etc., /3. = a' -f- b'x + cx"^ + etc., .
desquelles on cherchera les racines entières, et celles de ces racines qui rendront p divisible par q résoudront la question proposée.
i56. Voici un problème très simple qui se rapporte à l'équation précédente. Trouver deux nombres tels , que si l'on ajoute leur produit à leur somme , on ob~ tienne j^. Désignons ces nombres par x et par ^, l'équation à. résoudre sera
X'\-y^xy = ys} et prenant la valeur de y , nous trouverons
en faisant la division. Le dernier résultat fait voir que là.
CES ÉLÊMEN'S d'ALGÈBRÈ. 3ol
ïjuestion proposée sera résolue en prenant pour ir -|-1 les diviseurs de 80 , qui sont
1, 2, 4, 5, 8, ic, i£, ao, 40, 8c, et qui donnent respectivement X — o, 1, 3, 4, 7, 9, i5, 19, 39, 79, >■ = 79. 39, 19, 10, 9, 7, 4, 3, 1, o.
