Je passe à l'équation
<i -\- bx -{- cy -{- dx^ -f- ^xy "rfy^ =^ o j •
oij les deux inconnues montent au second degré; en la mettant sou^ la forme
r + Q^s)y=-tà±^
on en tire
ou , ce qui revient au nit'nie ,
2jfy + ex -f- c = ± \/{ex-^cy^4f{a-\-bx+dx-).
En développant et ordonnant par rapport à x la quantité soumise au radical , on lui donnera la forme. m'\-nx-\-px'^, dans laquelle
c"" — 4af=m, 2.ce — 4bf=n, e* — 4df=p.
Si on ne demande pour x ety que des nombres rationnels, soit entiers, soit fractionnaires, la difficulté du problème se réduira à trouver des valeurs de x qui rendent la quantité m-\- nx -\-px'^ égale à un quarré parfait; et ce quarré étant désigné par f% on aura
sfy -|- *x 4- c = ±: f .
- -La résolution de l'équation m + nx + p^^ = i*, conduit à
- n ,Vn^ — Amp -\- Apf^
ou
Qpx 4- 71 = rh {/4pt^ + 71* — 4pm ,* faisant 4p == -^ ^^^ "* — 4P'^ = ^ , on aura
apx + ra = ih v/I^F+ïf .
Par ce résultat, la question est ramenée à déterminer t de manière que \/^i''-|~-^soitunquarré',carcequarré étant u^, les deux inconnues x ety ne dépendront plus que des équations du premier degré,
ùfy -^ ex -{- c z= t , Q.px -\- n-=iu,
dont les coefficiens c, e,fy n et p sont rationnels , ainsi que les quantités t et u.
La détermination de t, par la condition énoncée cidessus, ou, ce qui est la même chose, la résolution de l'équation u = y AV^ -\- B en nombres rationnels , renferme en général de grandes difficultés. L'un des cas les plus simples a lieu lorsque A est un quarré; en repré-* sentant ce quarré par «% oh aura
u = y/u't^ -\- B l et supposant uz=ut-{-v , il viendra
quarrant les deux membres et réduisant, on trouvera
2ciVt -f- v^ = i? , et par conséquent
DES ÉLÉMENS d'aLGÈBRE. 3o3
prenant pour v un nombre rationnel, t deviendra un nombre rationnel , ainsi que u, et il en sera de même de X et de y.
Lorsque B est un quarré représenté par /3*, l'équation proposée se résout encore avec la même facilité que tout-à-l'heure , en supposant u =z t-f -f- /3 , ce qui donne
équation qui se réduit à
ou en divisant par t, à
et d'où il résulte
aj3v
Enfin si la quantité -<^f*+ B peut être décompos ee en deux facteurs rationnels, at -\- ^ , ut-\-fi', en sorte qu'on ait
on fera
u = V («f -f /S) jl on en déduira , .
V' («f -I- Hy- = {ut + /3) (/£ 4- /i') i
supprimant le facteur commun ut-{- /3 ^ on trouvera
v'(«f + ^) = «'f+/3' et f = ^-P^'.
«Cl'" «f
i58. Quand on connaît une valeur rationnelle de t, on peut eu déduire facilement une iaiimté d'autres qui satisfont à l'équation proposée. Pour le prouver, soit a
5o4 COMPLÉMENT
la valeur donnée de f , et /3 celle de u qui en résulte ; oa
aura
/i=^\/Au'-j-B; ou /i^~Jx^-^B; retranchant cette équation de u^=At'^ -f-5, il vient u''—/3' — J(t^—u^)j ou u===^(t»— «^)-f /3\ Mais si l'on fait M=r: (f — es) v + /3 , il viendra, après l'élévation au quarré et la substitution dans l'équation, précédente ,
v'(f — «)» -f- Q/iv(t — «) = JQ"-—»') ; divisant tout par t — u, on trouvera
V^ (ê — «) + 2;Si; = ^(i + «) > d'où on tirera
formule qui donnera des nombres rationnels poUr t> lorsqu'on en prendra de tels pour V\
159. Il est facile de faire autant d'applications qu'où voudra des formules ci-dessus, c'est pourquoi je me bornerai aux suivantes : Trouver deux nombres x et y , tels que la somme ou la différence de leurs quarrés ^oit égale à un quarré donné ^^. Les équations à ré» soudre sont
^* + cr" = /8', j-» — a;' = ^«, et conduisent à
expressions qui se rapportent immédiatement au second cas du numéro précédent. On f era y = t'x-'-^/î , ce qui donnera pour l'une
DES ÉEÉMÈNS d'aLGÈBRE. Sqd
et pour l'autre
(vx — ^y = /3» 4- x\
En développant ces équations , on tirera de la première
et de la seconde
substituant ces valeurs dans celle de^, on aura
assignant ensuite des valeurs rationnelles à /3 et k v , on en obtiendra pareillement de telles pour x et pour y.
Si l'on prend /i = S, les équations proposées deviendront
y -f x^ = 25 , y^ — X"' = 25 ; on aura dans la première
dans la seconde
On ne peut supposer i/ = i , car l'une des expressions àey donnerait alors f , et l'autre^; mais en faisant successivement i/= 2, v=3, v=4, etc. , les solutions de la première équation seront
X = 4, X = 3, X =:^, etc., 3^ = 3, j/ = 4, y = ^, etc., Comp/. rfej £'/fm. d'Aigu 20
3o5 - COMPLÉMENT
et celles de la seconde.
On ne parvient point à des nombres entiers dans cette dernière , lorsqu'on ne donne que des valeurs entières à V -j mais si on fait v = | , il en résulte
a: = 12 et ^ == i3.
Rien n'est plus facile que de résoudre la seconde question en nombres entiers, lorsque /S^ est impair; car la différence tntre le quarré de a et celui de c -f- i étant aa -f- 1 , il suffira de poser l'équation
de laquelle on tirera
et prenant x-=a et y=a-\-i , il en résultera
^y^ — x^ = fi".
Dans l'exemple proposé , où /i^ = 2,5 , on trouve
et par conséquent
X = la et ^ = i3,
comme ci-dessus.
Il est bon de remarquer qu'on peut supprimer les dénominateurs des valeurs de a; et de jr, sans change leurs relations.
Pour la première question on trouve
DES ÉLÉMËNS d'ALGÈBRE. 3o^
et la racine de la somme des qiiarrés de ces quantités devient
Si l'on écrit — au lieu de i-, il viendra ;i
et
On fera disparaître les dénominateurs de cette formule en prenant /3 r= /i", et il viendra
d'où x^ +^* ■= ('"^ 4-^*)^- On trouvera des résultat» analogues pour la seconde question (*).
Je ne pousserai pas plus loin la résolution des équations indéterminées ; ceux qui voudront s'appliquer en particulier à cette branche d'Analyse , pourront con-
(*) Ces formules, qai sont très simples, donnent tons les nombres entiers qui peuvent mesurer des côtes de triangles rectangles.
Le rapport des côtes de Tanglc droit , ou la tangente de Van des angles aigus, a pour expression
d'où il suit que ces triangles renferment des angles de toutes le« grandeurs. (Voyez les Tables de Schulze, tome II, p. 3o8.j Il est visible, par la formule
que >*=;-- tang^ X, X repre'seuiaat l'angle oppose' an côté a-,
ao. ,
3o8 COMPLÉMENT
sulter les Mémoires de V Académie de Berlin, a.nn. 1769,
et le 2* volume de YAlgèbre d'Euler; ils v trouveront la
solution complète de l'équation u =y At'' -{- B , par
Lagrange , et beaucoup d'autres recherches non moins
intéressantes.
Des propriétés des nombres.
iGo. Les nombres, considérés en eux-mêmes , indépendamment de tout système de numération et de toute question particulière , ont des propriétés très remarquables; plusieurs sont relatives à leur divisibilité les uns par les autres ; telle est la proposition qui termine le n" 16 , et dont voici la preuve.
Soit 77 un nombre premier, v un nombre non-divisible par n ; le produit vp divisé par n laissera toujours des restes difFérens , tant que p sera -^n.
En effet , soit
v/î = En -f- r , vp' = E'n -f- r ,
JE et E' désignant des quotiens entiers de la division des produits vp et vp' par n , et r un reste qui soit le même pour ces deux opérations ; on aura , en retranchant la première équation de la seconde,
yp' — ypz=(^E'^E)n, d'où 'SRZIBI^E'—E;
et comme v n'est pas divisible par n , il faudra que p' — p le soit (Élém. 97), ce qui ne saurait arriver tant que p et p' sont <C«-
161. On possède aussi plusieurs théorèmes remarquables sur la décomposition des nombres en puissances parfaites. Bachet de Meziriac, qui commenta le pre-
DES ÉLÉMEXS d'aLCÈBRE. 3og
niîer arec succès l'ouvrage que Dinphante nous a laissé sur l'Arithmétique, ou plutut l'Analyse numérique, remarqua qu un nombre quelconque est toujours ou un quarré, ou la somme de deux quarres , ou celle de trois , ou enfin celle de quatre au plus.
10, par exemple, est la somme des deux quarrés i et g,
24, celle des trois quarrés, 4> 4 ^^ i^j
39, celle des quatre quarrés, 1, 4» 9> ^* ^^^
Cette proposition fut démontrée ensuite par Fermât, l'un des plus grands géomètres dont la France s'honore > et qui enrichit de remarques le commentaire de Bachet; mais l'écrit où il se proposait de réunir les grandes découvertes qu'il avait faites sur la théorie des nombres, ne nous est point parvenu , et la propriété précédente n'était qu'un simple fait prouvé par l'expérience , jusqu'à ce que Lagrange l'eût démontrée en 1770 , dans les Mémoires de C Academie'de ^fr//n.Euler a prouvé cette proposition d'une manière un peu plus simple , dans la deuxième partie de l'année 1777 des Aites ds T Académie de Pt tersbourg (*).
En 1770, Wilson fit connaître la propriété suivante des nombres premiers : Si n dé^is^ne un nombre premier quelconque, le pi odnit i.2.3....(n — i), augmenté de r unité , sera divisible par n.
Par exemple, soit nr=7, on a
(*) Fermât avait joint h cette remarque celle que tnul nombre poui'ait être ramené à la somme de trois nombres 'rian^uiaires , ou cinq pentagonnur , et ainsi de suite. ( Kof tle la page 196.) Cette dernière partie de son beau tlieorème a enfin e'te <U-montrce par M. Caucly. ( Voyez le Supplément à P&sai sur la Théorie des nonii/w, par M. Lcgendrc, p. i3. )
5lO COMPLEMENT
en ajoutant l'unité, il vient 721, qui, divisé par 7, donne io3 pour quotient, et il s'ensuit que ce même nombre, divisé par tous ceux qui précèdent 7, à partir de 2, laisserait toujours pour reste l'unité. C'est encore Lagrange qui démontra le premier la vérité de cette proposition. ( Mémoires de r Académie de Berlin , année 1771.)
Il est bon de remarquer que les propriétés des nombres correspondent à des questions d'Analyse indéterminée -, celle que nous avons citée la première revient à prouver que l'équation
u" -\- x"" + y^ ■\- z" zzz A
peut toujours être résolue en nombres entiers, quelque nombre entier que l'on prenne pour A ; la seconde propriété suppose que dans l'équation
