f-p, parmi lesquelles l'unité se présent» ra deux fois

11 faut pour obtenir le nombre nécessaire m, combiner de toutes les manières possibles, par voie de multiplication , les n racines de ^" — ir= o , avec les p racines de y^ — 1 = o, ce qui donnera np valeurs qui satisferont à la proposée , puisque

Toutes ces valeurs seront différentes; car si on prend r<C", s<Cp , et que « et «' ne soient pas tous deux égaux à 1 , on ne saurait avoir a.'^ ' =z aa.' , puisqu'il

en résulterait « '"' = -:— > et que -— - étant racme de

l'équation y" — i == o , cette équation aurait avec yP — 1 = o , une racine commune autre que l'unité. On verra de même que l'on ne peut avoir tcu=i.

On n'aura pas non plus (eicc'y =^ i , tant qu'on prendra q <^m ou <^ np, et que u et » différeront tous deux de l'unité , puisque «' et « * ne deviennent pas simultanément 1, lorsque q n'est pas à la fois un multiple de n et de p, et il n'y en a pas au-dessous de np. Donc, sous les conditions précédentes, la racine «««'donnera, par •es puissances, toutes les racines de l'équation y^ — i=o.

Enfin , quand m = n% on tirera de la seule équation

y" — I = o , les racines àe y'" — i =: o, en observant

que \ c/'j =r «" =:: 1 , et mettant danS'aa , au lieu de et',

les 71 valeurs de \/ a.

Lagrange étend ces diverses remarques aux cas où le

nombre m a plus de deux facteurs premiers ; mais ce qui

précède suffit pour l'objet de cet ouvrage. (Voyez le

Traité de la Résolution des Équations numériques ,

,fl* édit. , p. 243.)