On a vu {Élém. i83, note) que la recherche ira

hiédiate des racines d'inie équation par leurs relations avec ses coefficiens , fait toujours retomber sur la proposée ; mais il n'eu serait pas de même si l'on cherchait d'autres fonctions des racines ; et si l'on pouvait trouver dé ces fonctions qui dépendissent d'équations d'un degré moins élevé que la proposée , il en résulterait un moyen de résoudre celle-ci, comme on va le voir pour les 2^, 3^ et 4^ degrés^

Soit d'abord l'équation du second degré

* x'^-^-px-^- q-=o\

.que a et b représentent ses deux racines : on aura

a-j-3=:— p, ab ^=: q (^Elém. iS5).

Eh cherchant à déterminer a et è par ces deux équations , on trouverait en a ou en b une équation semblable à la -proposée; mais si, par quelque moyen que ce fût, on parvenait à obtenir, entre les racines a et è et les coefHciens p et q , une seconde équation du premier degré , on aurait sans peine la valeur des racines. Il faut donc que la fonction des racines qui composera cette équation soit de la forme la -{- mb ; en sorte qu'on ait la-j-mb = », /, 7/1 et z étant des-quantités indéterminées.

Gettç fonction , /a -f- 7n&, est susceptible de deux

DES ÉLÉMENS D'aLGÈBRE. Si

\aleurs différentes , en y changeant a en è , et réciproquement; car on forme par ce moyen les deux expressions la-\-mb et Ib -{-ma. Il suit de là et de ce que l'on a vu n° 8, que la fonction ia-}-mb, ou z, dépend d'une équation du second degré , excepté dans le cas où m=l\ car alors elle devient /(a -f b) , et ne donne que la somme des racines qui est déjà connue.

Puis donc que la fonction cherchée dépend nécessairement d'une équation du second degré , il faut, en disposant convenablement dt-s quantités indéterminées m et n , faire en sorte que cette équation soit seulement à deux termes , aGn qu'elle puisse se résoudre par une simple extraction de racine. Or, dans une équation du second degré à deux termes, et qui ne contient par conséquent que le quarré de l'inconnue , les deux racines sont nécessairement égales et de signes contraires •, il faut donc qu'entre les quantités la -\-mb ei Ib -\- ma, qui sont les racines de celle qu'on cherche , on ait la relation

/« -f- mb z= — Ib — ma ,

d'où l'on tire

l(a + b):=~m(ia-{-b),

et en divisant tout par a -f- i ,

Cette condition étant la seule à laquelle il faille satisfaire pour remplir l'objet proposé , je prendrai pour plus de simplicité, /= — m=:i ; la fonction cherchée sera donc a — b, et, d'après ce qu'on a vu dans le numéro cité , elle dépendra de l'équation suivante :

Sa COMPLÉMENT

OU, en développant,