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formule générale du cas irréductible , puisque * REG) 2 (20) +2 (— 54 a + DEP = = b?, Si b=0o, on aura su Æ = 2 V/a ; il faudra donc prouver que b ayant une valeur quel-

conque réelle, x aura aussi une valeur correspondante réelle. Or l'équation précédente donne

+ | et éleyant au cube, on trouve

LI == Fax + 19a°x$ — 8a 27x°

a +b= d'où

pa LU ART 6ax5 — 1ba°x$ — 8a

Eu 272% ’

équation qu’on peut mettre sous cette: forme,

nu (2° — 8a) (x? ka)

ou bien sous celle-ci,

bi LS (x* + a} » Cette dernière forme fait voir que b est nul, lorsque x° — 8a, qu'ensuite b augmentera toujours sans interruption , lorsque x augmentera ;, car le facteur (xŸ+ a)° augmentera toujours, et l'autre facteur augmentera aussi, parce que le dénominateur x° aug-

mentant, la partie négative is qui est d'abord — te

__ DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 67 deviendfa toujours moindre que 1. Ainsi, en faisant augmenter par degrés insensibles la valeur dé +3 de: puis 8a jusqu'à l'infini, la valeur de 62 augmenterà

aussi par degrés insensibles et correspondans, depuis

zéro jusqu’à l'infini. Donc, réciproquement. à chaque valeur de D?, depuis zéro jusqu'à l'infini, il répondra une yäleur de x° comprise entre 8a et l'infini; et comme cela a lieus quelle que soit la valeur de &, on en péut conclure légitimement que, quelles que soient les valeurs de a et de B, la valeur correspondante de x’; et par conséquent aussi de x, sera toujours réelle. Mais comment assigner cette valeur? Ilne paraît pas qu'elle puisse être représentée autrément que par l’expression imaginaire, ou par une expression en

\série , qui en est le développement (que je ferai côn-

naître par la suite) ; aussi doit-on regarder ces sortes d'expressions imaginaires , qui répondent à des quanütés réelles, comme faisant une nouvelle classe d’expressions algébriques, qui, quoiqu’elles n'aient pas, comme les autres expressions, l’ayantage de pouvoir être évaluées en nombre dans l’état où elles sont ont. néanmoins celui qui est lé seul nécessaire dans les opérations algébriques, dé pouvoir être employées dans ces opérations comme äi elles ne contenaient point d'imaginaires (*}. »

Cest l'impossibilité de réduire sou uge forme en

même temps réelle et composée d’un nombre limité de termes algébriques , lès racines d’une équation du troisième degré, quand :-p5. est négatif, et surpasse

Le le "ES 1} e (} ÿ1

l'Algèbré à là Géométrie,

(*) On emploie ces expressions avec succès dans l’application de

par rapport à la division des angles. Cette

théorie se trouve développée däns Plütrodnction dé mèn Traité dun Calcul différentiel et du Calcul intégral.

a PE

3 g°, qui a fait donner à cette circonstance le nom de cas irréduchble; l'expression dela première racine n'est alors qu'un cas particulier de celle-ci :

nt ñ Va+oV—i+ Va—by—i)

qui appartient aussi , comme nous le verrons dans la

suite, à une quantité réelle, mais inassignable algébri-

quement et d’une manière finie, par tous les moyens

connus jusqu'ici, quand n n’est pas une puissance de 2.

31. Non-seulement dans le cas irréductible, la première racine est réelle, mais les deux dernières , qui sont imaginaires dans tous les autres cas, deviennent réelles dans celui-ci. On peut d’abord le voir immédiatement lorsque les quantités a + bW/—1 et a — bÿ/—ù sont des. cubes parfaits ; car en substituant leurs racines AH BW et A— BY —1, à la place des radicaux:

cubes, dans la deuxième et la troisième racines (19), eteffectuant les multiplications, conformément au n° 192 des Élémens, on trouve

(RES or V TH (Ca EVER =) ;

—œ— A BV3, (ESS “kate LES HS PET

32. On peut, sans le secours de l'extraction des racines, démontrer que lorsque les trois racines de l’équation xŸ + px + g — o sont réelles, pest négatif, qu’on a ci Gb NE 2 p° > :q°, et que, réciproquement, lorsque ;° p° shrpasse + q°, les trois racines sont réelles.

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 6g En effet, soit a une racine réelle de l'équation x Lpr+#+9g—o, on aura … .

a +pa+q—0o, dou! qQ=—@—pa, L ‘et par conséquent, = Lp(x — a) =0o; divisant alors par x — a ; on obtiendra l'équation | Hart a+kp—o; dans laquelle sont renfermées les deux autres racines de la proposée, et dont on tire z=—1aty 3 ep.

On voit d'abord, à l'inspection de ce résultat, que les racines qu'il fournit ne pourront être réelles, à moins que p ne soit négatif, et qu'en même temps, il égale ou surpasse © a°.

En changeant donc le signe de p, on aura

x—px+q—=0o, &—pa+kq—=o; et faisant p—$ a+ d, les trois racines seront: y a, —}a+Vd,—ja-Vd:

puis mettant pour p sa valeur dans l'équation... ... @-—pa + q —=0o, on trouvera Pour comparer cétte valeur de q à celle de p:, sans connaître celle de &, il fäut élever p au cube et q au

quarré, afin que la plus haute puissance de a soit la. même dans les deux résultats ; il viendra ainsi

p° ss = af -L + aid + 2 ad + à, q° Fa — Fald + a, |

d'où SP = de + old + Le HE) ig= me add ad, ef par conséquent, BP—ig = ed io 4e

Bd (sat = dard + gd!) Bd (4° — LS ÉY

La dernière valeur 3 (& d— à sd}; étant tétot positive tant que d sera positif, Puisque son second facteur est un quärré , donne évidemment