COMPLÉMENT L

car les quantités écrites sous les radicaux deviennent

identiques avec 6’, 6", 6", 8%, lorsqu'on remplace 8,

y; ® par leurs valeurs respectives «°, «?, af; et prenant ensuite pour n les nombres depuis 5 j re 1, On re= tombe sur les expressions du n° cité, C’est le changement que subit l'exposant n, qui indique ici la multiplicité des valeurs dont les Etre sont susceptibles, puisque cela revient à mettre pour # ses diverses valeurs.

Vandermonde ( Mém. de l' Acad. de Paris, 1771), qui a le premier donné à cette remarque toute l'étendue dont elle est susceptible, a conçu que le problème de la résolution des équations générales consistait & former, avec les diverses racines de l'unité ( qui servent à caractériser la multiplicité des valeurs d’un radical quelconque ) et avec les racines de l'équation proposée, une fonction qui pût devenir successivement égale à chacune de ces dernières. C’est à ce point qu'on doit arriver par toutes les méthodes ; car quelle que soit Fa composition du résultat, en y remplaçant les coefficiens de l’équalion proposée par leurs expressions con= nues, on le changera toujours en une fonction des racines, fonction qu’il faudra déterminer, soit immédiatément, soit en la faisant dépendre d’autres fonctions. C’est aussi ce que Lagrange prouvait en même temps par l'examen des diverses méthodes proposées antérieurement pour résoudre les équations Jittérales ( Mém. de l'Acad. den Berlin, année 1770); et dont nous donnerons une idée male dans la suite.

D'après ces principes, le point fondamental de laquestion était la découverte d’une fonction non symétrique ! établissant entre les racines de l'équation proposée une relation différente de celles qu'exprimé la composition des coefliciens, et qui dépendit d’une équation plus facile à résoudre que La proposée. Lagrange, à la fin de son

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 64 beau travail, ne put donner que des vues générales pour déterminer a priori le degré de l'équation d’où doit dépendreune fonction desracines dont la composition est connue. En poursuivant ces vues, M. Paolo Ruffini a prouvé qu'avec cinq lettrés on ne pouvait déjà plus former des fonctions non symétriques qui n’eussent que quatre valeurs (Mémoires de la Société Italienne,

tom. XII , et T'heoria generale delle equazioni); et M. Cauchy ( dans le 17° cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, p. 9) a démontré ce beau théorème : Le nombre des valeurs différentes d'une fonction non syméiriques de n quantités, ne peut s’abaisser au-dessous du plus grand nombre premier p contenu.dans n , sans devenir égal à 2. C’est ainsi qu'on a pu former des fonctions de trois lettres qui n eussent que deux valeurs (19), et des fonctions de quatre lettres qui n’en eussent que trois (20); .mais celles de cinq et de six lettres, qui doivent admettre plus de deux valeurs, n'en ftp ayoir moins de cinq. Telle est la vraie difficulté de la résolution des équations générales. M. Paolo Ruffini, qui, dès 1798, avait entrepris de prouver qu'elle était Rental a reproduit et perfectionné ses raisonnemens dans ses Ri- flessiont interno alla soluzione delle equazion: alxebraiche generale (Modena, 1813) , et dans le +. XVII des Mém. de la Société italienne. Mais s'il faut renoncer à obtenir, par un nombre limité d'opérations algébriques généralement indiquées, les racines d’une équation quelconque au moyen dé ses coefliciens , on doit y avoir d'autant moins de regret, que la forme de ces expressions en rend l'application numérique toujours très longue et quelquefois impossible , âinsi qu’on va le voir (*).

(*) L'emploi des permutations n’est pas seulement wtile pour résoudre les équations des degrés supérieurs au premier ; il s’offre . Aussi dans la recherche des valeurs des. inconnues déterminées par

Observations sur les expressions des racines des équations du troisième et du quatrième degré.

29. Lorsque l’équation du troisième degré est de la forme x? + px + q = 0, c’est-à-dire que le coefficient p est positif, des trois racines qu’elle comporte , deux sont imaginaires, une seule est réelle (19); mais si p est négatif, ou qu'on ait

a —pr+q—0, |

le radical quarré V2 p° + 1 q°, qui entre dans l’expression des trois racines , se changeant en V—2p +20, devient imaginaire , si --p° surpasse +q*. Toutes les racines sont alors affectées d'imaginaires , et paraissent par conséquent telles. Cependant on a vu (Ælém. , 213) que toute équation de degré impair avait nécessairement une racine réelle ; il y a donc, dans ce cas, une contradiction au moins apparente, et qu'il faut lever.

Cette contradiction tient à ce que l’on aurait tort'de prononcer qu'une expression composée, renfermant des imaginaires , est imaginaire, à moins Qu'on n’ait prouvé qu’elle les conserve lorsqu'elle est développée. La Formule

3 3 | ANT DURS NE FLVa + R EE — DEV GE PE gg

les équations générales du premier degré. M. Laplace avait montré par ce moyen, dès 1772 ( Mém. de l’Acad.des Sciences),

quelques-unes des propriétés des fonctions qui entrent dans ces va= : leurs. Vandermonde, en les trouvant de son côté , introduisit dans le calcul une notation bien ingénieuse , et qui pourrait devenir fort utile. Monge donna ensuite ( Journal de l'École Polytech« nique, 15e cahier) une interprétation géométrique très curieuse

“es fonctions dont il s’agit. Enfin, elles ont fourni, à MM. J. Binet

-t Cauchy, le sujet de deux beaux Mémoires. ( Journal de l'École

Polytechnique, 16e et 17€ cahiers.)

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 63 peut s’écrire ainsi, ein PUR PDO FPE OP

x —=WVa + bV/—1 + Va — DV —1 ;

si l’on fait, pour abréger , —ig—=es pp —iq —b;

et s'ilarrivait que les quantités a4-bÿ/—1 eta—b4/—1 fussent des cubes parfaits de la forme

(4+8 V—1} et (4— By —1}, Æ et B étant des quantités réelles, on aurait alors

T=A+BV—i+A—BW—i—04, valeur réelle.

Si l’on avait, par exemple,

FRE LT CR 3 V2+iiV—i + Va — 11W— 015

ou s’assurerait, par l'élévation au cube, que if PE APE PP 2 AS D

LT PE NNEN

Va — ]1 V/—1 — 2 VTT, et on trouverait 4 pour la somme des detix radicaux.

Les premiers analystes qui s’occupèrent de la réso-

lation des équations des degrés supérieurs , après avoir remarqué l'espèce de paradoxe développé ci- dessus, parvinrent, en effet, à tirer de l'expression même de Ja première racine un résultat délivré des imaginaires ,

lorsque les quantités comprises sous les radicaux cubiques étaient des cubes parfaits,

$0. « C’est de cette manière, dit Lagrange (*), que | RE RE EE DEEE EDR CREER A EIRE EG (*) Séances des Ecoles Normales (lecons , t. IIL, pag. 295,

première édition ) , Journal de l'Ecole Polytechnique (7° et 8e | cahiers, pag. 226),

64 COMPLÉMENT » Bombelli s’est convaincu de la réalité de l'expression » imaginaire de Ja formule du cas irréductible ( c'est le » nom qu’on donne à celui dontil s’agit ici) ; mais cette » extraction n'étant possible en général que par les » séries, l’on ne peut parvenir de cette manière à une » démonstration générale et directe de la proposition » dont il s’agit.

» Il n’en est pas de même des radicaux quarrés et de » tous ceux dont l’exposant est une puissance de 2. En » effet, si l’on a la quantité

Va + 'bV/ —41 4 Vas enre » composée de deux radicaux imaginaires , son quarré » sera

oa+oVa +, » quantité nécessairement positive : donc, en extrayant » la racine quarrée , on aura

V/2a +oV/a +b?

» pour la valeur réelle de la quantité proposée. Mais si, » au lieu Ge la somme, on avait la différence des mêmes

» radicaux, alors son quarré serait 2a—924/ a+ b?, » quantité nécessairement négative; et tirant la racine, » on aurait l'expression imaginaire simple,

/0a — 9 V/a° re

».Si l'on avait la quantité

VER by + Ve » on l’éleverait d'abord au quarré, ce qu donnerait Va be +- Va=Pyes HIVER TT Da Des a Voa + 2V/a + LE +oÿ/a + + b?;

» quantité réelle et positive; on aura donc aussi, en » extrayant la racine quarrée , une valeur réelle de la » quantité proposée, et ainsi de suite. Mais si l’on vou- » lait appliquer cette méthode aux radicaux cubiques, » on retomberait dans une équation du troisième de- » gré, dans le cas irréductible (*).

» Soit, en effet,

il AR ae aa de 7 à ENT TE VRP TE Va it » en élevant d'abord au cube , on aura 5 REED, y En 19 ————————— — 2a+3 Va Hp (V/a+ V—1+V/a—b VER 1) = x, » savoir : ‘ 3 " | 2a + 3x V a + — »3, » ou bien, |

x — 3xV//& +b—92a—0,

(*) Les formules rapportées ci-dessus ne sont plus exactes quand a est négatif; cela: s’aperçoit tout de suite en y faisant b—0, et changeant le signe de a; car il vient alors

LR NES FAGOR < CUR D AL 2 EU VA si V/—a—a re, ét Aix a +oVa eV 2a + aa: —0, résultats qui ne s’accordent point.

En général, AL E 471500 2 ART LE T Tee = Vi (Va Vi +Varivs) = V1 V/2a +2Va+8:.

Nous n’irons pas plus loin, n’ayant pour but que d'indiquer la festriction qu'il faut mettre à ces formules.

Comp. des Elém. d Alg. 5

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