P IST

et le contraire ne pourra avoir lieu , à moins que d ne soit négatif, c’est-à-dire à moins que les deux dernières racines “de. ‘là proposée ne soient imaginaires. '

? En faisant d=—0 Jon a | 194,4 fr]

ap = 2 g 2 et les trois racines, qui sont encore réelles ; ont entre

elles une relation RATES indiquée par les valeurs suivantes @, 25a, se rl |

Il est donc\prouvé;, ‘par Ge qui précède; que $z une équation du troisième degré, a au moins, dans tous: iles cas, une de $es racines qui soil réglle, toutes le guiers nent lorsque p est névatifs et que > p° surpasse + qd Or, on a vu (Ælém., #15) que toute équation d'un degTé impair «a a moins une racine réelle ,\guelques ‘vd Tel güatentises coefficiens : donc toutes les trois sont réelles dans le cas cité. ”

63: En siténdant que j'expose les séries qui expriment les Valeurs approchées des racines des équations du troisième degré dans le cas irréduétible , je rap-

DES ÉLÉMENS D’ALGÈBRE. 71 porterai ici un procédé beaucoup plus simple , donné par Claïraut dans ses Élémens d'Algèbre.

Ce procédé consiste à ramener l’équation...,.... x — px + q —0 à la forme z°—z—7r, en faisant x = mz, et déterminant la quantité m de manière à

rendre le coefficient de z égal à l'unité. Par la substitu-

tion indiquée , il vient

25 un Ps ee Lu m° m° ?

posant M—p, ona q LS un 7 Si nie 37

et

mais pour que la dernière de cés valeurs soit toujours positive, on prendra m du signe contraire à celui de q. Cela posé, l'équation zŸ—# = 7 ne peut tomber dans le cas irréductible , que lorsque + > +r°, c’est-à-dire lorsque

—— 9 . & 0 9 QU < 313 » Ce qui ne peut avoir lieu qu'autant

que la valeur positive de z est entre les limites 1 et 2 Û Re : 1 OS V5 En effet, il est visible que z doit surpasser l'unité

pour que la quantité 3 — £ soît positive ; maïs si l’on Po. 2 s ) 2 faisait 2=—-—=% À, on aurait pour résultat —— , V3 3y/3 nombre plus grand que r.

Si.donc on suppose z—1+ 0, la lettre d ne pourra représenter qu'une petite fraction moindre que la diffé-

rence 0,147, qui se trouve entre x etf/#; lecube 0,0037

72 / COMPLÉMENT de cette fraction peut être négligé, et le résultat de la substitution de 1 + d à la place de z dans l'équation proposée, en omettant d, conduit à

20 + 39? = 7, d'où l’on tire

et par conséquent,

z=1+0 = RSR ne

puisqu'on ne cherche que la valeur de Z qui surpasse l'unité. La limite de l’erreur que l'on peut commettre par cette méthode, ne s'élève, sur la valeur de z, qu'à un millième d'unité. En effet, si l’on suppose z— 7Æ , Valeur qui répond à r — 1V2 , et pour laquelle d'est le plus grand possible , la formule ci-dessus donnera

22 HRViH VE a$ 3

ce qui ne diffère du vrai que de 0,00126.

Soit pour exemple l'équation x°— 159x + 5—=0; on

* EX , au lieu de V’+;

T7 ; fera x—=—24/13 , et l’on aura

d’où l’on déduira

13/15 \ 5 — 2/13 — 154 = Dre 3 Vase nets,

Si l’on veut pousser plus loin l'exactitude ,:on em-

CS

ploïera la méthode donnée dans le n° 215 des Élémens,

et l’on trouvera AN x —= — 3,78434.