CR RS

xt + pe + gr +r—o.

Ces racines dépendent de celles de la réduite 2 = 0pz° ÆE (p° — 4r)z — q = 0O..... : (R),

et l’on a, par le n° 20, les deux systèmes de valeurs,

UE VEEVERVT)) (cyr par),

avr Var Ve) JV Ve Ve), VV) V7 Ve),

(12 va+ve). tv za verve,

dont il faut choisir celui dans lequel le produit des trois

| termes est du signe contraire au signe du coeflicient q ; or, ce signe résulte de celui dont chaque radical est Macé et de: celui que prend le produit

suivant la nature des racines z’, z”, z” de la réduite. On doit d’abord observer que 1 combinaison des

| signes des termes de chaque valeur de x donne +- dans Je premier système , et — dans le second.

Cela posé, 1°. l’équation (AR) ayant son dernier terme négatif, doit, lorsque ses trois racines sont réelles, lés avoir toutes positives , ou seulement une positive ét les deux autres négatives ; car le dernier terme étant

| le produit de toutes les racines prises avec un signe

contraire, ne peut être négatif que lorsque ses trois facteurs soft négatifs, ou qu'il n'y en a qu'un seul.

Dans le premier cas , les racines 2”, 2", 2” étant posi= tives , le produit ÿ/z’. V/z'.V/z" ne peut avoir que le signe +, et par conséquent c'est le premier système de valeurs qu’il faut prendre, si g est négatif, et le second , si g est positif.

Dans le second cas, si l’on AipRe par z la racine positive de l'équation (R), et qu’on pose z'—=—#, z'—— 8 ,il vient, suivant la da du n° 272 des Élémens ,

Vz.V'r. Vz"—=V7. VEVSE VE

ce qui change l’ordre des signes caractéristiques de chaque système, en sorte qu'il faut prendre le premier

lorsque q est positif, et le second lorsque ce coefficient est HER

°. Quand l'équation (AR) a une racine réelle et AE imaginaires, sa racine réelle est nécessairement positive, car les deux imaginaires ne pouyant provenir que d'une équation du second degré, dont le dernier terme soit positif, et qui soit par conséquent de la forme z° + 42 + B — 0, il faut que le facteur du pre mier degré , qui contient la racine réelle, soit de Ia forme Z — y, Sans quoi le dernier terme du produit du premier facteur par le second, serait positif,

En résolvant l'équation z* + 434 B—=o,on aura.

LE CT EN / 5 08; 2 4 "40 mais pour que ses raçines soient imaginaires, ilfaut que A2: °«

faisant donc, pour abréger ,

CODES ff : BTE Le

11 viendra à | 2e za REV.

ps par z la racine see pe

et pour etre le tbe ‘signe de Der V/2 3 il faudra faire attention à celui de «. Si ce dernier est positif , il viendra

VA VE VA VE FES ; ce produit étant positif, le choix du système des valeurs de x se fera comme si les trois racines de l’équatiom (A). étaient-réelles et positives; mais si + est négatif , il faut observer que V—a+ eV Vi Va— BV —1»

| Va EI — V1 Ve LEV 1 >

parce qu'il-en-résulte-

VV VT= VE FE, et qu'alors, le choix «du système des valeurs de æ doit

être le même que si la réduite avait deux racines négar tives (*).

(*) Télles sont, à peu de KA près, les remarques faites par M: Bret. Depuis on a proposé (Journal » ‘de l’École Polytechnique, 7° et 8° cahiers, p. 239) d’éviter l’'ambiguité des systèmes | des valeurs de zx, en tirant de l'équation Vz. Va # Vzt ass + q (20), la valeur de l’un des trois radicanx , ce qui réduit les deux

35. Quant à ce qui regarde la nature des racines de l'équation du quatrième degré proposée, on voit 1°. qu’elles seront toutes réelles , lorsque celles de Te (A) seront réelles et positives ;

Que si cette dernière a deux racines négatives! la proposée aura ses quatre racines imaginaires excepté le cas où les deux quantités négatives z', 2” seraient égales entre elles ; car alors elles se, détruiraient dans deux racines qui deviendraient réelles et égales, à

— 1/2 dans le premier système, et à +: V’z dans le second ;

3°, Si ES des racines z” et z” de la kéduite a imaginaires , deux des quatre valeurs de x contiendront l’expression l

VateV—it Va sy,

qui, quoiqu ‘affectée de symboles i imaginaires, est réelle et égale à

Vaa + ed (30) ; ces deux racines seront par conséquent réelles : les deux autres contenant la quantité ;

qui revient à

Voa—2yV ae + F— V1 Vav arr: Era, à

seront par conséquent imaginaires (*). Le

systèmes de valeurs à un seul , auquel on peut donner la forme

LAC + =) | Vz+Vr— =); Ê

mais ces formules n’ont pas la symétrie qui règne dans les autres. . (*) Geci suppose que à est positif; le contraire aurait lieu 51 &n était négatif, Voyez La note de la page65. : }

Pour reconnaître par les coefficiens mêmes de la pro-

| posée, dans lequel cas l'équation (R) a ses trois racines

réelles, il n'y-a qu’à faire disparaître le second terme

de cette dernière, afin de pouvoir la comparer avec

la formule y + Py + Q — 0; pour cela, on SUPpO- 3p

SEA Z — y — Fr cequi donnera

2 3 IT NN ATOS Le:

Ne À (+4) PU g —0, équation dont les trois racines sont réelles quand 2 3 9p° Sr 2 sea) +).

36. Je ne quitterai pas ce sujet sans faire remarquet que les racines imaginaires des équations du quatrième

degré sont de la même forme que celles deë équations du second et du troisième, c’est-à-dire de la forme

A BV/—1. En effet, lorsque la réduite a deux racines négatives 2”, 2”, en les représentant par — »? et — 8?, les quatré valeurs de x deviendront

2 = (VF ++ LR CAE x A(V2 — Ce + 8) —i1)

LRO (eo — Es = —i(Vr —(@—9y—) Les deux premières, combinées ensemble, donneront un facteur réel du second degré; il en sera de même des deux dernières. | Quand la réduite a deux racines imaginaires de la

forme a + BV —1 et a— 8/1 , les deux racines imaginaires de la proposée deviennent

#$ ss he se

ge Da ve AA qu y; = — y — KT pers aV += 3y #05; |

en faisant W/2 —y et 2œ— 2W/a Li —— do

La proposée pourra donc encore , dans ce cas , être formée par la multiplication de ‘der facteurs réels du second degré.

87. T'els sont les résultats algébriques de la résolution des équations générales des troisième et qua trième degrés ; ils s'accordent bien ayec les lois de la composition des équations, mais leur application numérique est souvent très pénible et fort péu satisfaisante. L'expression des racines des équations du troï* sième degré est composée de deux parties (19), de telle sorte qu'en effectuant séparément les extractions de racines indiquées dans chacune, on ne parvient quel: quefois qu'à des valeurs approchées ; pour des racines qui sont cependant des nombres entiers. Cet inconvénient augmente encore pour le quatrième degré; cat si l’on voulait exprimer immédiatement par leurs coef: ficiens les racines des équations de ce degré , il faudrait, sous les radicaux du second, degré qui affectent les racines z', z”, z” de la réduite, mettre des expressions contenant déjà des radicaux du troisième degré, sur des radicaux du deuxième, La difficulté du cas irréductible du troisième degré, s’introduisant alors dans le quatrième , et ayant de même lieu dans les degrés supérieurs , augmente encore beaucoup l'imper: fection de la Ro tuti on littérale des équations de ces degrés. Ce sont ces défauts que Lagrange avait en vüe, lorsqu il disait: & On peut assurer d'avance , que quand » même on parviendrait à résoudre généralement®lé

» cinquième degré et les suivans , on n'aurait par là » que des formules algébriques précieuses en elles- » mêmes, mais très peu ütiles pour la résolution efféc- » tive et numérique des équations des mêmes dégrés., » et qui, par conséquent, ne dispenseraient pas d’avoir » recours aux méthodes arithmétiques (*). »

D'après des motifs d’un aussi grand poids, j'ai cru ne devoir donner dans les Élémens d'Alsèbre que la résolution numérique des équations, qui« est, à » proprement parler ; une opération arithmétique fon- » dée-, à la vérité , sur les principes généraux de la 1» théorie des équations, mais dont les résultats ne sont ,» que des nombres où l’on ne reconnaît plus les pre- » miers nombres qui ont servi d’élémens (c’est-à-dire » les coelliciens de l'équation à résoudre) , et qui ne » conservent aucune trace des différentes opérations !» particulières qui les ont produits. L’extraction des » racines quarrées et oubiques est l’opération la plus 1» simple de ce genre ;. c'est la résolution des équations l numériques du second et du troisième degré , dans :» lesquelles tous les termes intermédiaires manquent.» | Viète a sürement été guidé par des considérations de ce genre , lorsque , dans son Traité de numerosa potes- \tatum adfectarum resolutione, il a cherché à résoudre -immédiatement les équations numériques par une suite | d'opérations purement arithmétiques et combinées entre ‘elles, à peu près comme le sont celles qu'on emploie pour extraire les racines des nombres. Si sa méthode f était uniforme pour tous les cas qui peuvent se présen- |ter en sorte que, par une succession régulière des mêmes procédés , elle conduisit infailliblement à la ra-

| (9 De la Résolution des Equations numériques de tous Les | degrés (ae édit, Avertissement, page viij).

cine cherchée, lorsque cette racine est assignable exac* tement en nombres, et dans tous les autres cas , à une valeur de plus en plus approchée, elle ne laisserait rien à désirer dans la résolution numérique des équations, que l’on pourrait alors regarder comme aussi complète que l'extraction des racines : maïs il n’en est pas ainsi. Malgré les efforts que Harriot, Ougtred, Wallis, Pell et d’autres , ont faits pour perfectionner la méthode de Viète , elle est toujours demeurée très défectueuse; et Lagrange, en dernier lieu , a montré « qu'elle ne peut » réussir d’une manière certaine que pour les équations’ » dont tous les termes ont le même signe, à l'exception » du dernier tout connu; car alors ce terme devant être » égal à la somme de tous les autres, on peut, par » des tâtonnemens limités et réglés , trouver successi- » vement tous les chiffres de la valeur de l’inconnué » jusqu’au degré de précision qu’on aura fixé. Dans » tous les autres cas, les tâtonnemens deviendront plus » ou moins incertains, à cause des termes soustractifs. n Lagrange fait voir, de plus, que l’on peuttoujours raener une équation quelconque à cette forme, « pourvu? » qu'on ait deux limites d’une racine, l’une en plus, » l’autre en moins, et qui soient telles, que toutes les’| » autres racines , ainsi que les parties réelles des racinés » imaginaires, s’il y en a, tombent hors de ces limites.»| Mais ces limites étant au moins aussi difficiles à trouver | que les racines mêmes de l'équation, la méthode donnée! dans les Ælém., n° 221, est préférable à cette recherche

Des Racines imaginaires en général. * 1!

58. On a vu, dans le n° 36, que les racines. imagi naires des équations du quatrième degré pouvaient se distribuer par couples, tels que

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 8r z—A+BV—1, z— A—B/—x,

en sorte que chaque couple donnait un facteur dn second degré , dont les coefliciens étaient réels,

Les analystes ont aussi reconnu que toute équation de degré pair est décomposable en facteurs réels du second degré : voici la démonstration qu’en a donnée M. Laplace ( Journal des Séances de l'Ecole Normale, Leçons, 1°° édit., t. Il, pag. 315, et Journal de l'Ecole Polytechnique, 7° et & cahiers, pag. 56).

Il faut prouver d’abord que toute équation d'un degré quelconque p aura un facteur réel du second degré,

« ? — } A st toute équation du degré ED) a un facteur réel,

soit du premier, soit du second degré.

Je représente par (P) l'équation du degré p , et.ses racines par #, 8, y, d', etc. Cela posé , j’obierve que les facteurs du second degré de cette équation , formés

nécessairement par la multiplication des facteurs du premier degré, combinés deux à deux, seront

2 — (a + sr + a, D — (a + y) x + y, | MERE HNz + 8,

fes,

et dépendront par conséquent de Ja recherche des fone-

e 108 . ° tions de la forme % + 8 et #8. Ces fonctions seraient déterminées si l’on en connaissait deux de la forme

LE + Mes, a LB+L M, les lettres A et M désignant & en faisant

+8 + Mas —=ÛN, œ + BE + Mas — N’, Compl. des Elém. d'Alx. | G

es nombres donnés ; car

on trouverait