MN—NM N—N + HAE TM RÉ SO

Mais pour parvenir à l'équation de laquelle dépend la fonction & + 8+ Mab, il faut former toutes les valeurs qu’elle prend , en y mettant successivement, au lieu de # et de B , toutes les racines &, 8, y, à’, etc. , de la proposée, combinées deux à deux (8), ce qui donne

— ] , e e 4 p (pi) résultats, et fait voir par conséquent que a

l'équation cherchée , que je désignerai par (Q), monterait au degré P(PyEa ), 1°, Si l’on admet d'abord que cette équation ait toujours une racine réelle , en donnant à M une infinité de valeurs, on formera une infinité d'équations semblables, dont chacune aura une racine réelle, renfermant une des combinaisons qu'on peut faire des racines de la proposée dans la formule & + 8 + Mag; or, le nombre de ces combinaisons étant limité, il faudra nécessairement que la même combinaison soit répétée plusieurs fois avec diverses valeurs de 47. On peut donc affirmer qu'il existe au moins deux fonctions de la forme |

a + 6 + Was, a+ B+ Map,

contenant les mêmes racines « et B, et dont les valeurs IV et. NN’ sont réelles ; d’où il résulte que les valeurs correspondantes de # + 8 et de 46 le sont aussi.

2°, Si l’équation (Q) n’a point de racines réelles , mais seulement un facteur réel du second degré , dont les racines soient imaginaires, en donnant à A une infinité de valeurs , on obtiendra une infinité de fonctions & + 8 + Mas, dont l'expression sera de Ja forme

A + BV/— 1; et on prouvera, comme ci - dessus, qu'il doit s’en trouver plusieurs qui ne diffèrent que par les valeurs de 47. On aura donc a +E+ ME = A+ BV—TS RL Mas AL DU EE 1)

d'où l’on tirera

MARS Ve) RM AE BV)

M—M HEC DV MR BU ES 1 A A M 7 de LD

En réunissant les termes réels entre eux et les termes imaginaires entre eux, on pourra représenter Ces expressions par

2(CHDV—i) et E+FW—i; et par là, le facteur x°— (& + 8) x +- «8 deviendra

DDC D Vi) cit EE 1.

L'existence de ce facteur entraîne celle d’un autre, qui serait

Æ GC —DV/—1)x+E—-KV—:; car soit X— YW/—1 le quotient que donne l'équation (P), lorsqu'on la divise par le premier facteur : les quantités X et Ÿ doivent être nécessairement telles , que les parties imaginaires contenues dans le produit de ce facteur, par X—Y4/—1, se détruisent , puisque le dividende est entièrement réel; et si l'on multiplie le second facteur par XL Y4/—;, on aura un nouveau produit , dans lequel la partie réelle sera encore la même que celle du précédent , et la partie imagi-

84 COMPLÉMENT naire n'ayant fait que changer de signe, s'évanouira aussi:

En général, toute expression réelle qui a unfacteur de la forme a + b/—1, en a nécessairement un de la forme a—by/—1.

Maintenant si les polynomes

2 — 9(C + DW—i)x + E + FY—a et 2. 9 (CC: — DV/—i) x L'E =URY EE: n'ont point de diviseur commun , ils renferment entre eux quatre facteurs simples de l'équation (P), qui, multipliés l'un par l’autre, donnent un facteur du qua-

trième degré dont les ÉGUE EUS sont réels, et l'on a montré , numéro 36, que toute équation du quatrième

degré peut se décomposer en facteurs réels du se-:

cond (*).

(*) On peut aussi former immédiatement deux facteurs réels du second degré, au moyen des facteurs imaginaires rapportés cidessus. Il suffit pour cela de décomposer ceux-ci dans leurs facteurs du premier degré, qui seront de la forme à

x — (C + DV =) + Va + 5 Va

x (CE DV) = Ma EE

2 MC IDVED + Wa VE # + D D Bt ET) PV PETE groupant ensuite le premier avec le troisième, et le second avec le quatrième, en mettant pour les expressions

VV = + Va Va + bV/—1 — {a — bV—r ?

leurs valeurs qui ont été trouvées dans le n° 30, on obtiendræ

deux produits féels. Par ce changement, on rend les raisonne=

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 85 Si les deux polynomes

EME d(C + DYV=DNr+E LV.

M — 9(C— DV—i)x + E — Fa,

ont un diviseur commun, en les mettant sous la forme

x =— 9Cx + E — (2Dx — FIVE, x — 9Cr + E + (2Dx = FyV sr;

on verra que ce diviseur doit être commun aussi aux deux quantités 3°— 2Cx+E£E et 2Dx—#F, et l'on en conclura qu'il ne peut être que de la forme x — 1: on aura donc |

24 — 2Cx + E — (2Dx — F)V ai = (x — K— LV —:1) (x — D, x — 9Cx + E + (2Dx — F)V =G—K+LV—i) (x — D,

d'où il suit que x — KX LV —:1 RAA ENT VUE et x— I, seront trois facteurs de l'équation (P). Le: deux premiers, multipliés entre eux , donnent un facteur réel du second degré ; et en pape à l'équation (P) par le troisième, on obtiendra , si elle est d’un degré pair , un quotient de degré impair, qui aura lui-même un facteur réel du premier degré, formant avec celui par lequel ona divisé ‘un second facteur réel du deuxième degré. Il est donc bien prouvé qu’une équation,(P), de degré pair, aura au moins un facteur réel du deuxième degré , si l'équation (Q) a toujours un facteur réel ; soit du premier degré, soit du second.

nome

mens du texte tout-à-fait indépendans de la résolution des équa= tions des degrés supérieurs au second , ce qui peut être ütilce poux qaelque cas particulier de lPensei *etiment

39. Cela posé, tout nombre pair étant nécessairement le produit d'un nombre impair multiplié par quelqu’un des nombres 2, 4,8, 16, etc. , c'est-à-dire par une puissance de 2, séra compris dans la formule 2», m représentant un nombre entier quelconque, et z un nombre impair ; le degré de l'équation (Q), exprime en général par GR , .séra donc égal à

mn 7 = ] | a 1 C Le 2 - — op (2°n — 1), > | *

sip—2"n. Faisant (on —1)n==n, n sera encore un nombre impair, puisqu'il est le produit de deux nombres impairs , n et 2" —1;et, d'après ce qui précède, l'équation du degré 2"n aura un facteur réel. du second degré , si l'équation du degré 27» a un facteur réel, soit du premier, soit du deuxième. Par la même raison, l'équation du degré 2"—17' aura un facteur réel , si l'équation du degré 2"—?n'(a"in" 1) ou 2"—?n" a un facteur réel, soit du premier, soit du deuxième degré. En continuant ainsi, on: passera par une suite d'équations dont les plus hauts exposans seront de la forme

EC ner 2 Ÿ

DUC UTL D NO LR LRU RUE

les nombres n, n°, n°, n",.. étant tous impairs , et on arrivera énfin à une dernière équationvde degré impair, qui aura nécessairement un facteur réel du premier degré (Élém., 213); par conséquent l’avant-dernière en aura un du second degré, ainsi que chacune des'autres, jusqu'à la proposée inclusivement. Si l’on conçoit ensuite que celle-ci soit divisée par le facteur du second degré dont on vient de prouver l'existence, le quotient étant encore de degré pair , contiendra au moins un

Tacteur réel du second degré, par lequel on pourra le

diviser de nouveau. Sans qu'il soit besoin d'aller au-

delà, on voit qu'une équation quelconque d'un degré

pair est toujours décomposable en facteurs réels du second degré ; et puisqu’une équation de degré impair se ramène à une équation de degré pair, en la divisant

par le facteur réel qu’elle a nécessairement, il s'ensuit

qu'une équation de degré quelconque ne peut avoir que

des racines réelles, ou des racines imaginaires sembla-

bles à telles des équations du second desré , c’est-a-

dire réductibles à la forme À BW,

4o. Il semble qu'après avoir vu la forme des racines imaginaires des équations en général et celle des racines quelconques des équations dés degrés qu’on sait résoudre, on doit revenir sur la remarque faite dans lé

° 181 des Élémens , que, si pour une équation algébrique quelconque il y a toujours une expression réelle ou imaginaire qui, soumise aux opérations indiquées dans’ cette équation , donne un résultat dont tous les termes se détruisent, la même équation sera nécessairement le produit d'autant de facteurs simples que son plus haut exposant renferme d'unités. La résolution des équations des quatre premiers degrés fait voir la vérité de cette proposition même dans les équations du cinquième, qui ont nécessairement une racine réelle (Æ/emens, 213).

Il est visible qu'en général la question se réduit à prouver que toute équation d’un degré pair a au moins une racine, soit réelle, soit imaginaire. La proposition du numéro précédent n’a été démontrée qu’en’ regardant l'équation proposée comme le produit d’un nombre de facteurs simples égal à l'exposant de son degré ; en sorte que la difficulté subsiste encore dans son entier.

Il était nécessaire de l’écarter des Ælémens, qui ne doivent contenir que les notions les plus évidentes; mais il convient de la montrer tout entière à ceux qui ont déjà pénétré assez avant dans [Analyse pour en saisir l'esprit. Si l'on n’a pas encore de démonstration complète à leur offrir de la proposition dont il s’agit, on peut du moins leur donner des raisons assez fortès pour qu'elle ne soit plus douteuse.

« L'esprit du calcul algébrique (Lagrange, De la » Résolution des équations numériques, 2° édit., p.105), » qui est indépendant des valeurs particulières qu’on » peut donner aux quantités , fait qu'on peut regarder » tout polynome (x" + etc.) comme formé du produit » d'autant de facteurs simples x — a, x—b, x—c, etc., » qu’il y a d'unités dans l'exposant m du degré de ce » polynome, quelles que puissent être d’ailleurs les » quantités a, b, c, etc.» | Développons un peu cette remarque.

La formule x =— ip # V3 prnai qui repré sente les racines de l'équation 2’Æpr+q—o, ne cesse pas de le faire, quoique cette équation devienne absurde; seulément elle se réduit alors à un symbole purement algébrique, qui ne correspond plus à aucune quantité existante , mais qui, étant soumis aux opérations indiquées dans l’équation, n’en rend pas moins la somme de tous les termes égale à zéro. Par cetexemple, on doit comprendre que s’il existe pour un seul cas une expression de la racine d'une équation de degré pair, cette expression doit encore subsister pour tout autre, Or on à vu ( Elém., 214 ), que toute équation de degré pair a au moins deux racines réelles, lorsque son dernier terme est négatif; mais la valeur de ces racines dépendant de celle des coefliciens de l'équation proposée ,

‘doit nécessairement être composée d’une certaine manière avec ces coefliciens , ou en être une fonction. Quoiqu'on ne puisse pas assigner la forme de cette fonction , son existence n'est pas moins évidente; la méthode des séries et le calcul différentiel fournissent les moyens d'en avoir des développemens. Cela posé, il est visible qu'elle devra encore subsister lorsqu'on y changera le signe du dernier terme de l'équation proposée , et qu’alors elle deviendra la racine de l’équation dont le dernier terme est positif ; elle pourra, par ce changement, cesser d’être réelle, mais non pas d'exister comme expression analytique ; il sera donc toujours permis de la représenter par un symbole qui jouira des propriétés communes à toutes les racines des: équations.

On pourrait opposer à ce raisonnement les remarques des numéros 67 et:69 des Ælémens; mais on y répondrait en faisant observer que les exceptions indiquées dans ces remarques ne peuvent se rencontrer dans les équations aïlgébriques à une seule inconnue. En effet, ces équations ne peuvent être identiques sans qu'on le reconnaisse à leur simple inspection ; et il est évident (Ælém , 212) qu'aucune valeur infinie n’y saurait satisfaire , lorsque leurs coefficiens sont finis.

41. D'Alembert démontra le premier que les expressions imaginaires pouvaient toutes se réduire à la forme A+ BV/—1. La vérité de cette proposition à l'égard des expressions résultantes des opérations algébriques, suit naturellement de ce qui précède ; car en les éga- Jant à des inconnues , et faisant disparaître les radicaux qu'elles contiennent , on parviendra à des équations dont les racines imaginaires seront de la forme

A+ BV.

90 COMPLÉMENT On peut encore s'assurer directement de cette vérité, en observant :

°, que ab Vic DV 1 pied —=(a—a +a"+etc.)+(b— <b'dbtietc.)1/ 1 ;

2°, que (a+bV/—1)(& +0 VER |

— aa — bb! + (ab + ab')V/ —1 ;

go Re ni À A (a+ bV—i}(a—bV—3) si d+b' VA CH BV) (a — by —:) aa + bb’ d'b— ab }—.

CS CET CL 4°. que (a + V3) = 4 LBV ie

Pour prouver cette dernière proposition, on changera

{aHby/—:1)" en an(r+ Ti)" : et en observant que Vi = + Vi | (== + (1/1) te (V1) = — à (HER | (VND (VSN EEE JEU on verra que si l’on désigne par z un nombre entier que conque , on doit avoir en général

(y/—:1)" = (y jrs = HER (Ve, (= Eyes ce qui renferme tous les cas ; car il est évident qu'il

n'existe aucun nombre entier qui ne soit compris dans l'une des quatre formules

Ho Me 1 F0 i45,

: DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. F4 c'est-à-dire qui ne soit divisible par 4, ou qui ne le devienne quand on en Ôte1,ou2, ou 8 unités.

. Cela posé, on trouve, par le AE MB ner QUE de la puissance m du binome,

nb = mm) Emme) —2)D y

——… ——s 7 ms

1Q" 1:00 fa° 1.2.3 a en à. “air 4 Ti m(m ee (m—58) b Fete.

et en réunissant les termes affectés de ÿ/—1, qui sont ceux de rang pair, il vient Ÿ

(: Un ET

m(m—3) b., m(m—1)(m—2)(m—8) bt idiote che EP Ciel. 45 40 at FE (mb m(m—1)(m—2) b$ ) ] + à Mi N'h 0.0 a ete. JW x.

Pour passer de ce développement à celui de...

( — Vs), il suffit de changer le signe de la

b quantité = — dans oi les termes où elle se trouve élevée

à une St impaire , et l’on a ainsi