CN =Y
2 LP D Rem LE 2) 1.2 om 1.2.3
(= D m(m—1)(m—2)b$ n = la 1370 a 7 L
a"( Nu
Multipliant ces résultats par a”, et faisant |
m(m—1)(m—92)(m—A4) b{ À 1.2 ét 1.9. 454 eo PIX m (TR b m(m—1) (m—0) b?
° D'ANT 1.2.3 met.) = Frs il viendra
(a+bV "= A4+LBV TR, (ab WE DS 4—BV/ +.
Lorsque j'aurai fait voir que le développement de la puissance m du binome convient également au cas où l'exposant m est fractionnaire ou négatif , il sera démontré, par ce qui précède, que , quelle que soit m,
(a bi)" 4,0 4/0
Au moyen de ces résultats, on ramènera à la forme A + BV/—1 toute expression résultante de la combi
vaison de plusieurs quantités de la forme a + bW—1, par addition, soustraction, multiplication, division et élévation aux PONSREES he. entières, soit fractionnaires.
42. Il suit de la proposition démontrée n° 39, que pour obtenir les racines imaginaires d’une’ équation quelconque, il faut la décomposer en facteurs du second degré ; mais ce moyen exige la résolution d’une équation
du degré Z AU 5 ) (38), avant mième qu’on puisse
savoir si la proposée du degré m à ou non des racines imaginaires. Les géomètres ont cherché des méthodes pour reconnaître l'existence de ces racines indépe ndam-
ment de la résolution d'aucune équation , et je vais exposer ce que Lagrange a trouvé de plus général à cet égard.
Si l’on désigne par «, 8, y, d\, etc. , les racines réelles d'une équation de degré quelconque , ses racines imaginaires pouvant être assemblées par couples de la forme ASE EAP TT, D BV, etc: (39) , les différences des racines combinées deux à deux seront nécessairement de l’une des formes suivantes :
æ— B entre deux racines réelles , æ— a + bV/—4à entre une racine réelle et une racine imaginaire, | (a—a') +(b—b") ÿ/—1 entre deux racines imaginaires de couples difFérens,
2bÿ/—1 entre deux racines imaginaires du même couple.
En faisant les quarrés de ces expressions , on trouvera pour la première un résultat réel et positif, et pour la quatrième un résultat réel et négatif; les deux autres donneront des résultats imaginaires, à moins qu’on n'ait æ—a;ou a—a«, où b—= b"; mais chacun de ces cas introduit des racines égales dans l'équation aux quarrés des différences. Il suit de là qu’en faisant abstraction des racines égales, l'équation dont les racines sont les quarrés des différences qui se trouvent entre celles de la proposée, aura autant de racines négatives que cette dernière a de couples différens de racines imaginaires.
43. On voit, par ce qui précède, combien il serait à désirer qu’on eüt au moins une règle sûre pour connaître, sans calcul , le nombre des racines positives et celui des racines négatives d’une équation quelconque , puisqu'on sérait alors en état d’assigner, au moyen de l’équa-
94 COMPLÉMENT | tion aux quarrés des différences, le nombre des racines réelles et celui des racines imaginaires de la proposée.
Malheureusement la règle qu'a donnée Descartes pour remplir cet objet, généralisée autant qu'elle peut l'être, se réduit à ce que :
Toute équation ne saurait avoir un nombre de racines positives plus grand que celui des variations de signe qui se trouvent entre ces termes, nt un nombre de racines négatives plus grand que celui des permanences du méme signe; et s1 elle ne contenait que des racines réelles , elle en aurait précisément autant de positives que de variations de signe, et autant de négatives que de permanences du même.
Les variations de signes sont les changemens de + en — ou de — en +, qui ont lieu d’un terme à l’autre;et il y a permanence chaque fois que lesigne d’un terme est le même que celui du précédent. L’équation
af — 8x + 7x + 9x —4—0, par exemple, a trois variations de signe, savoir, de + xt à — 8x°, de — 8x? à + 7x°, et de + gx à — 4; du terme +- 71° au terme < 9x, il y a une permanence du signe
Parmi les diverses démonstrations qu’on a données de cette règle, je choisirai celle qui est due à Segner, parce qu’elle m’a paru la plus simple de toutes,
Soit l'équation |
