DE ÉPPAERE E OC ESS

dans laquelle les signes et — se succèdent d’une ma: nière quelconque ; en la multipliant par le facteur x—4, qui donne la racine positive x = &, on aura |

+" ++ p x" ++ @ I xls L lc : ‘eu ! ( k Æ Pa re T'as FU

Les coefliciens placés dans la première ligne de ce resultat , sont ceux de la proposée, pris avec le même signe dont ils étaient d'abord affectés; et les coelliciens de la seconde ligne sont formés de ceux de la première, multipliés par & , mais pris avec un signe contraire, et reculés d’un rang vers la droite. Cela posé ; tant que les coefliciens supérieurs seront plus grands que les inférieurs , ils détermineront le signe du terme dans lequel ils se trouvent ; et comme ils n’ont pas changé de signe, il y aura entre eux les mêmes variations et les mêmes permanences que dans la proposée; mais le dernier terme = Ua ayant toujours un signe contraire à celui du coeflicient supérieur + U de l’avant-dernier, il en résultera une nouvelle variation que la proposée n'avait point. Û er

Lorsqu'on rencontrera un coefficient inférieur designe contraire à son correspondant supérieur , et plus grand que celui-ci, il: y aura une permanence de la proposée qui se changera dans une variation; car le signe du terme où cela arrivera étant déterminé par celui du coefhcient inférieur, sera contraire au signe du terme précédent, qu’on suppose le même que celui de son coellicient supérieur. |

On sentira la vérité de cette assertion , en observant qu'on ne peut être obligé de recourir au coefficient inférieur pour reconnaître le signe d’un terme, que dans des cas semblables à l’un des deux suivans,

+ Rx LS et MePymaI Ç 1x4 — Ra 5 —- an ?

en supposant qu'on ait R4>S ; l’ordre de la succession des signes sera dans le premier + — , et dans le second — +. Je n'ai point écrit le coefficient inférieur dans le

96 COMPLÉMENT premier terme, puisque, par l'hypothèse, il n'influe. point sur le signe de ce terme. AU

Il est donc évident que chaque fois qu'on descend de’ la ligne supérieure dans la ligne inférieure pour déterminer le signe, il y a alors une variation qui ne se trouvait point dans l’équation proposée ; et si après ce passage on reste toujours dans la ligne inférieure , on retrouve les mêmes variations et les mêmes permanences que dans la proposée , puisque les coefficiens de cette ligne ont tous un signe contraire à leur signe primitif. Quand on remontera de la ligne inférieure à la ligne supérieure , il en pourra résulter ou une variation, ou une permanence ; Car il n'existe aucune connexion entre le signe d’un coeflicient inférieur et celui du coefficient: supérieur du terme suivant. Maïs en supposant même: que ce passage produisit dans tous les cas une permanence, comme le dernier terme de la nouvelle équation fait partie de la seconde ligne, il faudra toujours revenir au moins une fois de plus dans cette ligne que dans la première, et par conséquent la nouvelle équation aura au moins une variation de signe de plus que la propo= sée: il en serait de même à chaque racine positive qu'on introduirait, |

Si l’on multiplie ensuite l'équation proposée par le facteur x + & , qui donne la racine négativeæ =—4,

On aura. {

lus 22 Lam... U Va Val 0 taf + Pal = mu “=

Les coefficiens placés dans la première ligne sont encore ici les mêmes et de même signe que dans l'équation proposée ; ceux de la seconde ligne sont aussi formés de ceux de la première, multipliés par « et reculés

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 07 d’un rang vers la droite ; mais dans le cäs actuel , ils ont conservé leur signe primitif. : ;

Ea raisonnant comme ci-dessus , on verra que chaque fois qu'on sera obligé deprendre le signe du coefficient inférieur, on obtiendra-une nouvelle permanence qui n'existait point dans la proposée. Les exemples ci-joints

+ Ram — S } Le sLnne — Rose S' dr Ra 9 j AE: Ra ?

analogues à ceux qu'on a donnés plus haut, rendront cette conséquence bien évidente, puisque R2 étant plus grand que $', on aura dans lun +- +, et dans l’autre — —. Lorsqu'on remontera dela ligne inférieure dans la ligne supérieure, il en pourra résulter indifféremment ou une variation, ou une permanence ; maïs en accordant que ce soit une variation qui ait toujours lieu’, on pourrd, malgré cela , conclure que le nombre des permanences sera au moins augmenté d'une unité ; puisque le dernier terme se trouvant dansla seconde ligne , forcera toujours à revenir à cette ligne au moins une fois de plus que dans l’autre. Il suit de là que chaque racine négative donnée à la proposée apportera avec elle au moins une permanence, En rapprochant cette conclusion de la précédente , on verra que /e nombre des racines positives d'une équation quelconque ne saurait surpasser celui des variations de signe qu’elle renfèrme, et Le nombre des racines négatives celui des permanences. Si l’équation proposée n'avait que des racines réelles, on prouverait aussi par là qu’elle doit avoir précisément autant de racines positives que de variations , ét autant de racines négatives que de permanences. En effet, quel que soit le nombre de variations et lenombre-de ‘permas nences qu'ait apporté chaque racine positive et chaque racine négative, le nombre des unes et-des autres, dans Compl. des Elém. d'Alg. 7

le résultat final, doit être égal à celui des termes diminué de l’unité, ou à l’exposant du degré de léquation, ou enfin au nombre des racines ; mais les variations ne sont produites que par les racines positives, et les permanences que par! les racines négatives : il faut donc qu'il y ait autant de variations que de racines po= sitives, autant de permanences que de racines négatives, et vice VErsae

44. Les racines imaginaires modifient cette proposition, parce qu’elles ont lieu , soit avec des variations , soit avec des permanences. Cela se voit sur l'équation même du second degré, x 2px+q=—=o, dont les racines sont imaginaires , quelque signe qu’ait p, tant que p* est moindre que q.

On peut assez souvent reconnaître immédiatement la présence des racines imaginaires par la règle ci-dessus , lorsqu'une équation manque de quelques termes. Dans l'équation a°+ px + q — 0, par exemple;, si l'on remplace par Æ o.x* le second terme qui manque, il. vient UNS

æmto.x +px+q—=o;

et quand on n’a égard qu’au signe supérieur, on ne trouve que des permanences, tandis que le signe inférieur donne deux variations. Ces résultats, dont l’un semble indiquer trois racines négatives , et l’autre deux racines positives, ne s’accordant point entre eux, font voir que la proposée a des racines imaginaires:

Si l’on avait. A

L—pxr +q—=0, |

‘en l’écrivant ainsi, Toit: non 91 1 Gi

LE O.x pr 0 :

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. -94 Quelque signe qu'on employât , on trouverait toujours deux variations et une permanence : l’accord de ces résultats prouve que cette équation peut avoir ses trois racines réelles, mais non pas qu’elle les ait en effet; car on sait d’ailleurs que cela m'arrive que quand Æp > } q°.

45. Cela posé, je désigne par (D) l'équation aux quarrés des différences (42), qu'on peut former d’après le n° 9. Il est évident , par la règle du n° précédent, que si tous ses signes sont alternativement positifs et négatifs, c'est-à-dire si elle n’a que des variations , elle n'aura que des racines réelles et positives, et toutes celles de la proposée seront réelles. En effet, si celleci avait des racines imaginaires, parmi les racines de l'équation (D), il s’en trouverait nécessairement de réelles et négatives (42) ; elle aurait donc des permanences, ce qui est contre la supposition.

Le détner terme d’une équation étant, comme on sait, Le produit de toutes ses racines prises avec un signe contraire, sera négatif, si le nombre des racines réelles positives est impair; car le dernier terme du produit d'un couple de racines imaginaires est toujours positif. En appliquant cette remarque à l'équation (D), on verra que si son dernier terme est négatif, elle aura un nombre de racines négatives pair ou impair , selon qu elle sera d'un degré impair où pair. Dans le premier cas, la proposée aura un nombre pair de couples de racines imaginaires, et un nombre impair dans le second. En général, il suit de la nature des racines de l'équation (D) et de ce qu'on a vu n° 42, que la proposée ne saurait avoir plus de couples de racines imaginaires qu’il ne se trouve de permanences de signe dans l’équation (D).

Les considérations précédentes ne mènent encore qu’à s'assurer si une équation donnée a des racines ima-

y Re

ginaires , et à trouver une limite que’ leur nombre ne püisse excéder ; mais en suivant l'esprit della méthode, onformerait de nouvelles équations auxiliaires, les unes qui ne. pourraient avoir de racines négatives qu ‘autant que le noïmbre dés racines imaginaires de là proposée ne serait pas moindre que quatre, les autres qu ‘autant qu'il ue serait pas moindre que six, et ainsi de suite. Il faudrait Former, dans le premier cas, l'équation: qui donne les quarrés des différences qui se trouvent entre les sommes des racines ajoutées deux à deux; dans le second, celle qui donne les quarrés des AP een qui se trouvent entre les sommes des racines ajoutées trois à trois, , EC.

46: Si l’on parvenait à \ troüver d'une manière quelcon- | que les racines négatives et inégales de] ‘équation (D), ori'en déduirait les racines imaginaires de là proposée.

En effet, en substituant dans cette dernière a ee b hi —7 au lieu de Eos et en égalant séparément à Zéro la partie réelle et la partie imaginaire, on aurait deux équations pour déterminer les inconnues a et b; mais si l’on connaissait à priori la valeur de b, et qu on la substituât dans l’üne et dans l’autre de ces équations , « serait donné par le ‘diviseur Commun des deux résultats, égalé à Zéro Élém., 189). Or, en nommant — z'l' une.des racines négatives dé l'équation (D) ; cette racine exprimerä ‘le quarré de la différence entre les deux, racines

imaginaires comprises dans Ja formule a+ ue b Wa 1. et

Lons aura par. conséquent | tout RE ste frs

RTS 0H Ô 2 ge {hs 07 ; HO S9 9 12

où: loup asiisnise 1.06 49/4009 3) mia ASE 2 VOST LS HBATIOE 8

19 19 HG

” . 5 . N . : ns x TA rm e rÀ * € L fucy EyCLE D, ME! 2 €: 6 FT “R£fii j LE CG: D SH 924 è F 2H) NL i L n

De Pexträction des racines des quantiiés en parlie commensurables et en partie incommensurables.

47. On a vu dans les numéros 29 et 31, combien il pourrait être utile de savoir quand une expression compliquée de radicaux est une ‘puissance parfaite ; aussi les analystes se sont-ils occupés de la recherthe des caractères auxquels on reconnait ces puissances.

Soit Va+yb +4/b; l'expression a +8 ne peut être

que le quarré d’une autre de cette forme, W/4+V/B,

dans laquelle se trouve comprise celle-ci, 4:44 B, en supposant que 4—= 4°?. Cela posé, on aura

a+VbB=(VA+VB) =A+8B + 2/48; comparant d'un côté la partie commensurable, et de

l'autre la partie incommensurable, on formera ke deux équations

a—=œ A+ B, V/b—2y 48 ; quarrant de nouveau , il viendra di 4 +04B LB, b—4AB;s \.

retranchant la seconde équation de la première, on aura drb=A—24B+ 2; |

et prenant enfin la racine quarrée de chaque membre de cette dernière, on en conclura

V&—Bb— À — B.

Si l’on combine cette équation avec a— 4+ 8, ünen türera les valeurs H3

AZ=;a+s Va, Ba: Va — D, d' après lesquelles les quantités 4 etiB.ne peuvent. être

102 COMPLÉMENT rationnelles comme onle suppose, à moins que a —bà ne soit un quarré parfait.

Soit, pour exemple, V9 + V/48 ; on aura a—=7, b—48, &@ —b— 49 — 48—1, A=5t+3:—4, B= 7 — 3 —=8, VA+ VB =Vi+ VE = 2 +V8

Soit encore l'expression littéraie

V'4mn + 2(m + n) (m— n)Y—1»

équivalente à

Vämn+V 4m +n) (nn) ; il viendra, pour cet exemple , a—=4mn, b=—4{(m+4n) (m—n), — b= {mi + 8m°n° + {nf = A(m° + n°}?, V/ 4 — V/emn+m*+n?, V/B—=V/2mn—m—n?, VA+VB=V(m+n) +V/(m—n) Xi:

=m£bnt+(m—n)V 1

Enfin si l’on avait

Vm: — mn+in+oV/mn—emnr Fra mn »

on trouverait V/mn+ V/m° — 2mn + 5 n°.

Quand , au lieu de Va +ÿ/5, on a Va—v6, il faut prendre W4—V/B, 4 et B conservant les mêmes valeurs que ci-dessus.

Dans ces deux cas, la racine cherchée est double, comme toutes celles hi second degré ; car on a Gad

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE, 103 le premier cas,

+V4+VB, ou —V4—VB, et dans le second, | EVA UV A, où VA <LVR.

48. Je vais chercher actuellement les cas où il est possible d'extraire la racine cubique d’une expression

de la forme a+4/b. Pour y parvenir, il faut découvrir la forme que l’on doit donner à cette racine. On:

ne peut supposer qu’elle soit W4+Y F, car le cube de cette quantité étant

AVA+SAVB+5BVA+BVE — (4+31)VA+GA+B)VB, contient deux radicaux quarrés essentiellement différens, Il n’en sera pas de même de la forme 4+VB ;

mais pour Ja généraliser un peu, j'écrirai . — 3 a ” (4+V8)Vc:

son cube sera alors \ C(A +34 VB +34B+ BV D).

En comparant la partie rationnelle de cette expression

avec a , et la partie irrtionnelle avec VD, je trouverai les équations

a—=C(4#+534B), Vb— C(34°+ B)V B; quarrant l'une et l’autre , j'obtiendrai

= C( A+ 6AÏB+ 94:B), vb = C(94fB+64°B + B5);

d’où je conclurai ' 111088 Fier 2 PP y GABA (AD),

et par PE IE

La lettre € étant indét en el on peut en disposer pour que la quantité (a? — b) C soit un cube parfait ; lorsque cette détermination sera LEE on aura, en

faisant pour abréger ——— v@—Dc sn > l'équation AB —=<c, d'où B— A —0c;

substituant dans l'équation a — C(4° + 3AB) . viendra

4CA —3cCA — a—=0.

Cette dernière aura nécessairement une racine com— mensurable, si À et B sont rationnels.

En prenant pour exemple la quantité 2 +11 —1 du n° 29/, il viendra

a—90,11W/—1=ÿb, où b——191, «—b—105, A — B— SV 135 C C:

Le nombre 125 étant un cube parfait, on ER faire C=1, et on aura

c—5, A—B—5 et 44—154—9—0.

L'équation en 4, ayant pour diviseur commensurable

DES ÉLÉMENS D’ ALGÈBRE, | 105 A — 2, donne | A 92 ; puis on trouve d’où il résulte | Mo dr Vo+uiy—i=2+y/Zx

on obtiendrait er le même procédé,

ny —- = 2 —f/—1.

Soit encore la quantité Bo +30 V3, qui donne a—52, Vb—303, aa D— * | JC 4—B= Vic.

Là

* Ici, pour rendre 4C un cube parfait, il faut faire C2;

il vient ensuite AÆ—B—=1, 84° —64—659—0o.

Maintenant, si l’on pose 24— y, on aura l'équation 3 —53y—b2=0, Xon y— — 4 est un diviseur, et l’on arrivera enfin à Y—4, PR 9 B=53, d'où $ ———— 3 …__. V52+30ÿ/3—(2+y3)V2.

49. Ces ‘exemples suffisent pour montrer comment on peut parvenir à extraire une racine quelconque d'une expression irrationnelle donnée. La difficulté consiste à

deviner la forme sous laquelle cette racine doit se pré- ‘senter ; et lorsque cette forme est trouvée, et qu'on en

106 COMPLÉMEMT

compare la puissance ayec l’expression irrationnelle proposée, on obtient des équations en nombre égal à celui des indéterminées, et qui doivent conduire à une équation finale ayant les diviseurs commensurables.

Ainsi, pour ramener à la forme (4 +V 5) VC

a+Vb=C(4+V8)",

équation qui se partagera dans les suivantes :

l'expression Va+ Vb, on aura | |

ao ar" gp no=nn-2 NT) pp

Vb= (a V FA) ass V'B+ ete.

D'après ces valeurs , il est visible que a} C{(44+V 8) +(4—V5)}, Vb=:C{(4+V 8) —(4—y5)}; et comme bi C{ (44 V BŸ"+2(4—BYH(A—V B)" —(4+V Cr Ce vB)"}

on aura, ADFES les réductions,

a’—b—=C(4°—B), ou 4° —B— IR

Il faudra donc premièrement , par une détermination

g— une Puissance exacte du degré n; lorsque cette condition sera remplie, on aura une valeur rationnelle de Z, qui,

substituée dans l’expression de À, devra conduire à une. »

re convenable de ©, rendre la quantité

rs.

équation ayant des diviseurs commensurables, si 4 peut être rationnel.

De l'abaissement des Equations.

bo. Il y a des circonstances où une équation peut être ramenée à un degré inférieur à celui sous lequel elle se présente; cela arrive toujours lorsqu'il existe entre ses racines des relations particulières, ou qu’elle devient divisible par un facteur rationnel. La recherche des caractères auxquels on reconnäît qu’une équation est susceptible d'abaissement, et celle des moyens d’effectuer ces abaissemens , font partie de la résolution des équations ; c'est pourquoi j'en traiterai succinctement ici. :

Je supposerai d’abord qu’on ait l'équation

xt + pr? + gx + rx Hs —=0,

dont les racines soient représentées par &, b, cet d, et qu'on sache qu'entre deux de ces racines il existe une relation indiquée par l'équation ma+nb=k,m, net k étant des quantités connues: on pourra trouver a et b d’une manière fort simple; car a et b étant les racines de l'équation proposée, on aura

af Æ pa + qu + ra +s—o, b5 Æ pb + qb? + rb + s — 0; | mais si de la dernière de celles-ci on élimine b, au

moyen de l'équation ma + nb—k, l'équation résultante devra nécessairement s’accorder avec l’équation

+ pi + qq +ra+ks—o; et puisque l’une et l’autre seront satisfaites par la même

valeur de a , elles auront un facteur commun qu’on obtiendra en cherchant leur plus grand commun diviseur,

et qui fera connaître la valeur de & (Æ/lém., 189) : on trouverait b de la même manière. Il convient d’observet que dans le cas où les deux racines & et à entreraïent semblablement dans la relation donnée, ce qui arriverait si l’on avait m—n, d'où il résulterait

im(a+b)=k,

le. diviseur commun dont je viens de parler monterait au second degré. La raison de ce fait est facile à apercevoir ; car algrs, soit qu'on élimine a, soit qu'on élimine b, on tombe sur des équations semblables, et qui par conséquent doivent conduire à une équation donnant en même temps l'une et l’autre de ces inconnues, Où ayant deux racines.

* Stlatolatioh proposée était /a + mb=nc=k, on y joindrait les équations

af + paf + qu + ra + s — 0, b& + pl$ + qh + 7b Es = 0, FA ct + ps + ge + re + s = 0;

et éliminant, au moyen des deux dernières, b et.c de l'équation /a + mb<Ænc—k, on parviendrait à une équation finale qui, ne renfermant plus que &, aurait nécessairement , avec af pa + qa + ra+s—=o,.

un diviseur commun qui déterminerait a : On trouverait b et c d’une manière semblable. Si l’on‘avait /— m, ce

qui changerait la relation dounée en. /(a+-b).4+ nc =k, comme il serait indifférent d'y écrire.a pour..b, ,et .b pour.@, le diviseur commun qui donnerait #, donnerait aussi b, et serait par conséquent du deuxième degré.

Enfin, dans le cas où la relation donnée serait.....

l(a+b+c)=k, les trois racines à, bd, e entre raient dans le même diviseur, commun ; qui serait pAr

conséquent du:troisième degré,

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 109 Ce qu'on vient de lire par rapport à l'équation dn quatrième degré et à des relations exprimées par des équations du premier, peut s'appliquer à un degré et à désrelations quelconques ; et on en cogclura qu'il faut traiter chacune des racines qui entrent dans la relation donnée commeüne inconnué distincte, former les équations résultantes de leur substitution dans l'équation proposée , et joindre ces nouvelles ‘équations avec celle qui éxprime la relation donnée, puis éliminer ensuite toutes les inconnues, hors une, que l’on conservera en même temps dans deux équations , lesquelles admettront par conséquent un diviseur commun , qui, sniyant le degré dont il sera , fera connaître une ou plusieurs des racines comprises dans la relation donnée.

51. Je- prends pour premier Fr omple l'équation du troisième degré ,

D + pat — fr gp=o, et je suppose que l'on saché d'avance que parmi ses racines, il y en a deux quirsont égales , mais dé signe contraire : en nommant g et b ces deux racines, on tirera d’abord de “équation proposée, ;

& + pe — ga — gp | DH pb — gb — gp. | La relation donnée entre a et b fournit de plus cette troisième équation, b—— «, en vertu, de laquelle la seconde devient .

| —@ à pas + ga—gp=0o, ou: en changeant tous.les BH la fois. et:metiant x pour @, fi SN Fe PARTIE En ni flREsr ee à PE LT :Cherchant ensuite le diviseur-comimiün à cette dérnière

Oo,

110 COMPLÉMENT équation et à la proposée, on trouve x? — qi ce qui donne WW 2 —q =0; ou

T=+g et x—=—4.

Le diviseur est du second degré, car la relation b=——@, équivalente à a + b —0, demeure la même lorsqu'on y change a en b et b en a (bo).

La question précédente aurait pu se résoudre de cette autre manière : le facteur qui renferme les deux racines a et b étant x°— (a + b)x+ ab, devient x° — a°, lorsqu'on y suppose, d’après la relation donnée, b——0a; il faudrait donc, si a était déterminé convenablement, que l’équation proposée fût divisible par .x°—a°. Or, après ayoir poussé la division par ce facteur aussi loin qu'il est possible, on a pour reste |

—(g° — ax — (jp—&p),

quantité qui , devant être nulle indépendamment de x (Élém., 210), donne ;

g—d—0o, j’p—dp=0;

la seconde de ces équations est identique avec la prez mière , dont on tire g—=a, et par conséquent, D? mm 2 == DL meme g°, comme ci-dessus.

Il sera facile, avec un peu d’ättention, de réconnaître que cette dernière méthode, généralisée convenables ment, doit résoudre toutes les questions relatives à l’a babseient des équations.

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 111 52. Si les deux équations g*— a*=0 et g’p—ap=— 0 ne s'étaient pas trouvées comprises l’une dans l’autre, l'équation proposée n'aurait pas été divisible par un facteur de la forme x°— «*, et il n’y aurait pas eu par conséquent entre deux de ses racines la relation qu'on supposait exister ; mais si les quantités p et q, ou en général les coefhiciens de l'équation proposée, eussent été indéterminés, on aurait pu les déterminer de manière à satisfaire à cette condition, Les mêmes circonstances se rencontrent dans le premier procédé, car on pourrait éliminer a et b des trois équations

Œ + pa — q’a — gp = 0, DS Æ pb? — gb — gp — 0, a +b—=o,

et il existerait encore une équation entre p et q, qui se trouverait identique dans le cas actuel, parce que l’équation proposée satisfait à la condition donnée, mais qui, si cela n'avait pas lieu, exprimerait la relation qu’une pareille condition suppose entre les coefficiens de l’équation proposée. /

53. On a vu dans le n° 205 des Ælémens , que lorsqu’une équation avait des racines égales, elle était sus ceptible d'abaissement ; c’est aussi ce qu’on pent prouver par les considérations précédentes,

L'équation xf+pzx*+qx?æ+rz+s—o, par exemple, fournissant , entre deux quelconques a et b de ses racines , les équations identiques

at + pa + q@ + ra + s BE + pl qùt + rh

conduit à

di bi p(ar— 0) q(at 8") + r (a —5) = 0 :

Il 1

divisant ce résultat par a— b, on aura l'équation

CA M ax 2 Li qui devient :

Ja + 3pa° + 2qga+r=o, lorsqu'on suppose a == b : il faut donc que, dans cette bypothèse, les équations dé + pas + qe + ra +s—=o, MU An + 8pa* + 2qa+r—0o

aient entre elles un diviseur commun. En suivant cette voie , on parviendrait, avec le secours de la proposition du n° 158 des Elémens, au résultat du n° 205 du même volume.

. On peut encore trouver lès racines égales | en considérant qu'une équation qui à deux racines égales est nécessairement divisible par un facteur de la forme

XL? — 24x +&;: " | par un facteur de la forme À = 5x? + Gex — 6,

si ellé a trois racines égales , et ainsi de suite.

On parvient à un résultat plus élégant et plus général, en cherchant ce que devient alors la fonction désalée par (4). dans le n° 4.

Si l'équation proposée est de la forme

Ga)" (r—D (e—9....x @—9 (20,

c'est-à-dire si elle a 7 racines égalés à @, P ELLE à D,

g égales à c, etc., la fonction (4), qui exprime la somme des divers HUbens qu’on obtient en divisant l'équation” proposée par chacun de ses facteurs du prémier degré,

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. ag devient visiblement égale à

n(a—a)" 1 (x—bÿ (x—c}....... (x—g)(x—h) +p(x— a)! (x—b}P! (x—c) Me di SRE (x—2) (x—h) ee g(x—a)" | (x—b}P (x—c)T 4 Fat .(x—g)(x—h) + {LE ST EM doedr

+ (a—a)" (x—b) (x—c).... 1. (xæ—p),

en observant que les facteurs égaux donnent le même quotient , répété un nombre de fois égal à leur degré de multiplicité; et l'on reconnaît, à l'inspection de cette quantité, que tous ses termes ont, pour facteur commun , le pros

(x — - a} (x — db}: (x —c)1"1, Mais si l’on qubstitue dans l'expression de la fonction CA)

les valeurs trouvées pour les coefficièns qui y multiplient les diverses puissances de x, elle deviendra alors

mr (m—1)PArT? Æ (im — 9) O2"... HT; il suit donc de là que , quand la proposée aura la forme qu'on lui a supposée plus haut, lés deux quantités a Pari LE Oum. Tr LU, MAMIE (m1) Parma) Qrrs + 7), auront pour diviseur commun le produit (c— a)" 7 (x— bPTE CDS)...

qui renferme tous les facteurs égaux, élevés à un degré moindre d’une unité que dans l'équation proposée.