LL

On fera encore x + 25 et il ne s'agira plus que

d'en tirer successivement les valeurs des fonctions 1 SE M 1 A0 .

Mn dirais Pure or, C’est à quoi l’on parvient sans peine en observant que

(e+ 2 Xe+ Le Mu gg D x?

car on tire de là

PRE E = (+ ii — \.. (4,

relation au moyen de laquelle l’une quelconque des fonctions ci-dessus se déduira des deux qui la précèdent. En partant de

x += —=3z Te

118 | COMPLÉMENT et faisant n—=1, 2,3, 4, etc., on trouve

Re Me ST 0 70 at + == À 42 Lo,

25 + — — 25 — Bz8 LE 57, etc. M nb de 1] est évident, par la marche de ces expressions, que l’équation proposée du degré 2m sera ramenée au dégré m. Si elle était d’un degré impair, par exemple,

æ PT Pt qui gé +pr+iso;,

on l’écrirait comme il suit :

a hi + pr (x +1) + gr (x H1)—=0, ce qui ferait voir qu’elle serait divisiblé par x'+ 1 ; et la division faite, on aurait pour quotient, | + (pi) (pq —1)et (pit 0,

équation réciproque du quatrième degré.

Il seraifacile d' opérer sur toute. équation réciproque de degré i impair, comme sur celle du cinquième degré. ‘Un examen approfondi de la série des valeurs de

LÉ x : apportées précédemment , en a fait conclure

3 ds)

par induction à DE er ne lunte purs UMTS, zh A? 50) zn6 be — 5) (n — à (a Dors. SR

etc. ; 1.953/4 es

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 119 et rien n’est plus aisé que de le vérifier au moyen de l'équation (4); car en y substituant ce développement et celui qui en dérive, lorsqu'on change n en n—a1, puis réduisant ensemble tous les termes affectés de la même Loan de z, il viendra”

nt Po rm), Cr) (=) a} a+ É + 3 SL AS CAR

résultat 4 n'est autre que ce que en VER 1 LP nr | 4 . de x° + Ta quand on y change nennHi,edoù

il suit que-la loi indiquée, ayant lieu pour les valeurs n—=4.et n=5, par exemple; aura lieu lorsque 2—6, et ainsi de proche en proche , pour un nombre quelconque entier et positif. Bien entendu aussi qu'on ne poussera pas la série jusqu à ce que l’exposant de z y devienne négatif.

57. Ce qui précède s'applique à l'équation PUITS + JS. + +y+izo,

déduite de l'équation y"—1=0, divisée par y—1, et qui renferme les m — 1 racines de l'unité , différentes de 1 (Elém., 159). Il:se présente d’ abord deux cas à examiner , savoir, celui où l’exposant .m.est pair, et celui où il est impair.

Dans le premier, le nombre m—1 étant impair, l'équation y"T' + y"? etc. — 0. est divisible par

y + 1,.et donne pour quotient une équation réciproque -" degré m—2, laquelle se ramène à une équation en

z du degré . On peut aussi parvenir immédiate-

ment à l'équation du degré m—2 en y» en observant que , puisque la PuIancé m est paire, on satisfait à l'équation y"—1—0, en faisant y = + 1, et que

\ etc. ,

120 COMPLÉMENT par conséquent cette équation est divisible par CYCY ET) = YEN Lorsque m est impair, l'équation. DO R 4 7 + y" + etc. = 0 est, réciproque. et de de-

gré pair, et l’on en tire une équation en z du degré M —1

De ces deux cas, le dernier est le seul auquel il soit nécessaire de s'arrêter, puisqu'il suffit de connaître les racines de l'équation y" — 1 = o, lorsque m est premier, et par conséquent impair, pour obtenir celles des autres équations de ce genre (17); mais comme Ce n’est qu'en s'appuyant sur certaines propriétés des nombres premiers que l’on peut résoudre l'équation du ‘degré m — 1, qui contient toutes les racines imaginaires de la ptétédente , jen renverrai la recherche à la fin de cet Ouvrage, où je ferai connaître la découverte remarquable de M. Gauss, sous la £ forme simplifiée que lui a donnée Lagrange (*).

58. Les équations ab—1,cd—1, ef —1,du n°54, peuvent être regardées comme n ‘expriindit qu’une seule relation commune aux trois couplesaetb,cetd,eet f des racines de la proposée. En Sen al oNt ce point de vue, on peut se proposer d’abaïsser une équation d'un degré pair, dont les racinés, distribuées parcouples, auraient dans chacun de ces couples une relation donnée ; et l’on y procéderait comme nous allons l'indiquer.

Soit l’équation

24 2 Par Æ QE U—I0}

(*) La considération des propriétés du cercle donne, pour tous les degrés, des expressions des racines de l’unité, qu’on trouvera dans l’{ntroduction de mon Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral, et dans le Traité élémentaire sur le même sujet.

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. AE télle qu'on ait entre deux de ses racines a et b une équation quelconque commune aux couples c et d, e et f, etc.; on fera a Æ+ b — 32, puis substituant à h place de b sa valeur z— a, dans l'équation donnée entre a et b, et éliminant a entre cette dernière et l'équation

Ce PONT ER QE. TU —= Oo,

on formera celle qui doit déterminer z. Mais il est visible qu'en opérant de même sur chaque couple de racines désigné ci-dessus , on trouvera toujours la même équation en 3; qu’ainsi cette équation doit comprendre au nombre de ses racines les 7 sommes fournies par les couples qui satisfont à larelation donnée; or, ces sommes font également partie des racines de l'équation formée en prenant pour l’inconnue z la somme de deux quel- conques des quantités a, b, c, d, etc. : cette dernière, qui s'obtiendrait par le procédé du n° 8, aura donc avec la précédente un diviseur commun du degré n, qui fera connaître les valeurs de z relatives aux couples désignés ci-dessus (*).

(*) La première équation en z peut aussi se former par ses ra eines, qui s’obtiennent en faisant passer successivement toutes celles de la proposée dans l’équation entre z et a, déduite de la relation donnée. Si, par exemple, entre les quatre racines a, b,c, d, on avait les relations b= a?, d=c?, on trouverait les quatre valeurs

z2=a+a?, z2—=b+Hb2,, z2=c+c, 2—= d+ d?,

dont la première et la troisième seules expriment la somme d’un couple des racines de la proposée. ‘ Si la relation donnée était symétrique entre les racines qu’elle contient , plusieurs des valeurs de z deviendraient égales entre elles. La seconde équation en z pourrait à son tour s’obtenir par V’élimination de a et de b entre les équations

a2n + Parn-1,,.,. + ban en Pban=s,,, +

Lorsqu'on connaîtra z, on aura le deuxième terme du facteur du second degré, formé avec les racines a et à de la proposée, et qui est

X—(a+b)xz+ab, ou x— 2x + ab; puis, pour obtenir ab , que je représenterai par q, on diviseräà l'équation proposée par x? 2x + q, et quand on sera parvenu au reste, on égalera séparément à zéro les deux termes de ce reste (Elémens, 210) : les deux équations qu’on se procurera ainsi, ne renfermant que la seule inconnue g, doivent nécessairement avoir un

diviseur commun, dont on tirera la valeur de cette inconnue.

bg. De même, si l’équation proposée était du degré 8n, et que ses racines fussent assujetties, trois par trois, à une relation donnée, c’est-à-dire que cette relation ayant lieu entre les trois racines a, b et c, subsistât aussi entre d, e et f, et ainsi de suite, on ferait a+ b+c=—2; et mettant pour c sa valeur z—a— b dans l'équation qui exprime la relation donnée , on éliminerait ensuite a et b au moyen des équations

an + Par + Qam.... + Ù bin ph DE Obs... U

résultantes de la substitution de a et de b au lieu de x dans la proposée. L’équation finale en z contiendrait toutes les valeurs des sommes a+ b+c, d+e<+f, etc. dont le nombre est n, et qui feraient également partie des racines de l'équation formée en prenant pour inconnue la somme de trois quelconques des quantités, a,b,c, d, etc. Cette dernière et la précédente auraient donc un diviseur commun du degré z , comprenant seulement les sommes des racines dé chacun des groupes désignés ci-dessus.

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. | 199 Lu ensuite le facteur — (a+ + c)x° + (ab + ac + bc) x — abc, "a par les trois racines a, b, c, et mettant z au

lieu de a+b+c,gq au lieu di RUE be. et r

pour abc, il viendrait x — 22° = Q% cg Le)

facteur qui devrait diviser exactement la proposée si q et r étaient connus. En égalant donc à zéro le reste, qui serait composé de trois termes, on aurait entre les deux inconnues g et r trois équations; et par l’élimination , on parviendrait à deux équations finales entre la même inconnue r : le diviseur commun de ces équations donneraït r.

Il y aurait beancoup de remarques importantes à faire

‘sur cette partie de la théorie des équations ; mais je ne puis m'y arrêter. J’observerai seulement que l’abais-

sement a liéu, en général, lorsqu'on obtient entre les inconnues d’un problème possible k plus d'équations qu'il ne renferme d’inconnues, ce à quoi lon parvient souvent en considérant le problème proposé sous plusieurs facés ; on trouve alors entre une même inconnue deux énuationg finales qui, devant s’accorder entre elles, ont un diviseur commun duquel on tire la solution la plus simple dont le problème proposé soit susceptible.

60. Toute équation qui peut se décomposer en deux facteurs, s’abaisse nécessairement par ce moyen; il est donc utile de sayoïr reconnaître quand cette décomposition peut s'effectuer. Le procédé indiqué dans le numéro 210 des Ælémens, et déjà rappelé plus haut,

| suffit pour obtenir l'équation finale de laquelle doit

dépendre la décomposition d’uré autre en deux facteurs de: degrés donnés ; mais je vais revenir sur cette

recherche, par une méthode plus simple, fondée sur les nedérations du n° 183 des Ælémens.

Soient « , 8, y les trois racines de l'équation

x + Px + Qx+R—=Oo;

elle sera nécessairement le produit des facteurs x —*, x — B et x —7y. Si on la décompose en deux facteurs

x°+ Ax + B et x + 4", il est évident que le premier doit comprendre deux déelo ao des facteurs rapportés ci-dessus, et que x + 4” est identique avec celui qui reste. Mais on peut combiner les facteurs x — à, x—£, x—"7, deux à deux de trois manières différentes; ainsi l'équation proposée pourra subir trois décompositions distinctes : et comme rien n'indique celle qu'on cherche en particulier, elles doivent se trouver comprises toutes dans le résultat qu’on obtiendra.

Si l’on multiplie Pun par l’autre les facteurs x + 4x+8B et x +4", et que l’on compare le produit à la proposée, on trouvera, pour déterminer les coefficiens 4, B et 4”, les équations

A+ A =P; BLAA TE Q, et WA BE=R.

Quelles que soient, parmi les inconnues 4, 4’ et B, les deux qu'on élimine , on arrivera à une équation finale du troisième degré.

Cette dernière peut aussi s'obtenir & priori ; car si c'est 4° qu'on cherche, la question revient à trouver l’une des racines de la proposée, puisque x + 4'= 0 donne x=—— 4"; on doit donc rencontrer pour équation finale celle qu’on obtiendrait en changeant x en — 4” dans la proposée : si c’est À qu’on cherche, ce coelli-. cient , dépendant de la somme de deux quelconques des racines de la proposée, a nécessairement trois va-

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 195 leurs, qui sont — (4 + 8), + (a + y) ; —(B+ y), et, par conséquent , il est égal à à —z dans l'équation du numéro 8. Pour parvenir à l'équation en B , il faut observer que Best le produit” ‘de deux do tcod aies des racines de la proposée , et qu’ainsi B a trois valeurs, savoir : 48, «y, Ry ; multipliant donc entre eux les trois facteurs B— 48, B—ay, B — By, et chassant les lettres æ, B, 7, on aura l'équation demandée. De quelque manière qu'on opère, on n'obtient dans ce cas qu’une équation du troisième Le aussi difficile à résoudre que la proposée. =

61. Soit maintenant l’ Fos M bio degré ti Pas 4 Ox° LRr+ÆS ep ayant pour racines æ, B, y et à; la décomposer en deux facteurs x +-Ac + Bet x°+ A'x + B', c'est combiner deux quelconques-.des quatre Factébrs X + à, x —R@,x—7y, x—d),.ce qui peut se:faire de six manières différentes. Aussi, en cherchant à déterminer par la comparaison du. produit des facteurs x°+ 4x + 5 et L 4x + B', avec la proposée , les Coefliciens À, B, 4'et B', trouvé-t-on, après élimination de trois sega ques d'éftre eux, que l'équation finale d où dépend le quatrième est du s sixième nr cs En effet, le produit: box} — x# + (4 + Ar Fi (B + DE AA B' Ps + (4B + 4B")x + BP, comparé terme à LT" S avec at + Ps + Qz° +RE+S, donne les équations à Yi CAX A = P, | | of olio6t © B' + AA' + B'— a£ toldri AB SAP EE AR BB)

196 COMPLÉMENT On tire de la seconde et de la troïsième, A(Q0—A4A)—R

MEN =D ar à.

PARLE TENT) Arkia

Mais la première donnant ”—. P—'A;, On aura ALTO CEE AIR, |

Pa” 5 9 dm LD RS | ne m4) 10 Ale 4, . 2A — P |

et substituant ces valeurs dans la quatrième, on obtiendra, après les réductions,

AS 3p + (GP + 20) A PUP-4O)A a] H2P°QO+PR4+OQ!—4S)4—P(PR4+Q— RPM le (D +POR= — PPS R=6.

Cette équation pourrait aussi se déduire immédiatement de la formation des coefliciens A, 4’, ie 15, no des racines de la proposée.

À, par exemple, étant la somme de deux quelconques des racines æ&, 8, y, d, a les six valeurs suivantes :

Da$9, —C+MPCRO

GE pr. = 6 +R ee) B en a pareillement six ‘qui sont |

8, ay, | dd, PAR vd: |

et les équations qui doivent donner 4 et B* se foriieron comme il a été indiqué dans le n° 8. Il est facile de voir que les équations en 4! et B':seraient semblables aux équations en et B.

D um or 4 — "=.

ES EEE

Au reste ; quänd 4 ét B sont connus, on a LS p'é 4,

Il est remarquable que la süpposition de P == o fait disparaître tous les termes affectés des puissances impaires de À, dans l'équation (R), qui par là devient résoluble à la manière de celles du troisième degré. Les commençans verront sans doute avec plaisir la cause de cette simplification.

L' équation proposée se réduisant alors à

%t HR Qx + Rz+S—=o, où étant sañs second terme , il faut que la somme de ses racines, fant positives bn négatives ; soit nulle ; C Abd dires que la somme des unes soit égale à celle des autres ; abstraction faite du signe ; on aura donc

niet: 8 RAA + À — 0, d’où Fon voit que “RER L'HS t+y—=—(@+d, ét que par conséquent , dans cètte hypothèse, trois des valeurs de À sont respectivement égales aux trois autres

prises avec un signe, contraire. Il faut donc que l’équation en À soit de la forme

AS & bA* 4Æ dA? +f= (e) (Et, 208).

62. Sans sapposer P—0o dans l'é équation (R), il suffit d’en faire disparaître le second terme ; tous ceux de degré impair disparaîtront en même temps, ce qui la réndra encore résoluble à la manière du troisième degré.

« En effet, le coëfficient du second terme de cette équa-

tion , étant la somme des valeurs de 4 prises avec un

signe contraire, sera, d’après ce qui précède, égal à (Ba + 38 + 3y+3d), ou à —3P,

et pour faire disparaître le second terme , on fera | P à.

A= A" + — (Elém., 209), P

ton ta mettant pour P sa valeur, et substituant successivement chacune de celles que doit avoir A, on trouvera ces

résultats,

a LOU ER à, (ei), AT TES 1h nent ta — +0) qe SR eeEr où Rs (3) D ho TI 0 {8 FORTE he x — À (e) À RNA PET re à

parmi lesquels ceux sont suivis des mêmes chiffres ne différent que par le signe. Les’six valeurs de 0 seront donc deux à deux égales et de signes contraires, et par conséquent l'équation en 4” ne renferméera aucune puissance impaire de cette inconnue,

L’équation qui donnerait B serait, dans toutes les hypothèses, du sixième degré et CombIEE

On voit, par ce qui précède, que l'équation du quatrième Huie peut toujours s’abaisser à une du second,

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. | 199 àu moyen de la résolution d’une du troisième. Les coef-

ficiens des facteurs x° + 4x + PB et x° + A'x LB

étant déterminés , la résolution de ces facteurs, comsidérés comme équations du second degré, dénnetd les racines de la proposée : voilà donc une méthode propre à résoudre les équations du quatrième degré, et c'est en effet celle que Descartes a donnée ; mais elle est particulière à ce degré. Son succès, tient aux circon< stances que nous venons de faire connaître, 1 gprés Lagrange.

En général, la décomposition d’une emo dù degré men facteurs du degré p, pouvant se faire d’autant de manières qu'on peut combiner les m racines el \ nombre p, doit dépendre d’une équation du “RE UE

À m(m—1) met où #6 mer 13 19:08 p ee NA LÉ da si toutefois: m est un nombre Rs car, dans le cas contraire , cette décomposition peu 8 Hp plus simplement d'après la remarque qui termine le n° 27. Pour le sixième degré , par exemple , la formule ci-dessus en

y faisant p—3, donnerait es 20! tandis que la

même décomposition peut être ramenée à une équation du 10° Se

63. Ce qui précède rdmène encore à la possibilité de décomposer toute équation du quatrième. degré dont lés coefliciens sont réels , en deux facteurs réels dû se cond, mais par un do qui présente quelques circonstances remarquables. Je suppose , pour simplifier les calculs, qu'on ait fait disparaître le second terme de cette équation; l'équation (R) devenant

AS H+2QAT+ (Q°— 45) 4 — R— 0 CR’), Compl. des Elém. d'Ale. 9

150 ( COMPLÉMENT son dernier terme sera essentiellement négatif ; elle aura donc deux racines réelles, l’une positive et l’autre négative ( Elém., 214). L'expression de B, trouvée dans le n° précédent, réduite à

pus A(Q+A4)—R " 24 .

donnérà nécessairement une valeur réelle pour B, et les équations

d'=P—4, où d=—A, à BE

en donneront aussi de réelles pour 4’ et B'; ainsi les facteurs supposés seront réels.

Il y a cependant un cas particulier où on ne pourrait les déterminer par les formules ci-dessus. Ge cas répond à R=0o; on a alors

A=oœe B—=3, expression indéterminée (ÆElém., 69). L'expression générale de B se trouve en défaut dans ce cas , parce qu'à une même valeur de À il en correspond deux de B (Elém.; 191). En effet, si l'on reprend les quatre équations primitives entre les inconnues À, A', Bet PB, on les réduit à 4=0o, B+B'=Q, BB=S,

à cause de 4 = 0, de P= 0 et de R —=0; en sorte que Bet B'sont les racines de l'équation du second degré B=-QB+S=0o, et que les facteurs sont par conséquent

x + D, x + B', ou

DHIQHVIO ES, +10 —VIQ—S:

on les déduirait de même de la proposée, qui devient af Qxt+S = 0.

Ces fnnteuni seront imaginaires,si, $, étant-positive,

surpasse + Q;mäis ils conduiront à d’autres isgteñrs réels. En “faisant, pour abréger,

reQ=e, 70° —S—=— 0? 7 et résolyant ensuite les équations | À À hate, | tee 0,

on aura les quatre Facteurs du premier degré :

x + V—=a—b As (1), «+ NT er (3), 2 Va TG), 2 = Va #65

dont, le produit forme la proposée. Si maintenant on multiplie entre eux les facteurs (1) et (@); puis (2) et (5) 7 en observant que

VE == Nr vrzn

on aura deux nouveaux facteurs du second degré,

PV EAVE Es Ve d” . +VeFr

2 Vives = AE bec *s + Va bi

qui ; d’après le n° 35, reviennént à

2 + 2 Va + o0 + VE FT TA) Ë 2 9 VaV/a + + —2a+VaRE +6, et sont par conséquent réels.

On voit par là que les facteurs FACE degré trou-

152%. “7 COMPLÉMENT vés en 'fremièr liéu, n ‘étaient imaginaires que par] effet d'une combinaompect AE facteurs du premier.

De l'évariouissément des radicaux, et de la manière de forrer une équation , AUS on a lexpressibre; de sa racine. JE at HSE Gi 64. Outre les moyens analogues à celui dont on s’est servi dans le n° 186 des Elémens, pour faire évanouir les radicaux, il en existe un autre qu'il est bon de connaîtré Fetiqui consisté à former en même temps toutes les racines de. l'équation d’où.doit. dépendre la quantité Da e TE :

(Pour. prendre: d'abord. l'exemple le plas simple ; soit L{ VA; uliest ‘évident que/puisqu' un radical quarré peut être afFecté indifféremment du signe + où du signe

— ;,0n “doit regarder XV A, comime là séconde” racine de l'équation d’où dépend la première. Molti=

pliant les deux facteurs x —4/ 4, x + V4, l'un a

l'autre, et ‘égalant. Je produitià-zéro , on trouvera.

ras LA O AE Tel

AUS fi

pourl équation rationnelle: à laquelle appartieuta= V2.

} ctamentm - “à,

si l'on avait. Rare on Me sucCEVEMeNt dans cette. équation. les trois-racines cubiques de e

aire A (Elém., 159), et faisant; “pour abrégèt,— * =I + /—3 D Sol / 8.

Fame 7 4 2 JF PUOTIO ab Ci EL

1l viendrait + “go . mb Sy NEA VW: + cg LA fa-== VU En

ce qui donnerait les Fee Ur 1 tostee acc 1

& An x — ÿT x — ges

Le)

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE, 13 dont le produit serait vä + VA TX — a8A “HE | ay A À +eVA Po. ! 6 Et A — BV AT) +asv # | Mais puisque 1, « et 8 sont les trois racines de l'équation ÿ—1=0, qui n’a ni second ni troisième terme, il s'ensuit que | 1a+8=o, :a+B+al=o, IXaXB—=aB—] ,

et que par conséquent le produit ci-dessus se réduit à

x — A—=0, comme on devait s'y attendre.