Je passe maintenant à l'expression
Si dug VAE
x=V A+VB. |
Pour obtenir toutes les racines de l'équation de laquelle
HAL: meg ide
doit dépendre la quantité VAT V8, il faut combiner
de toutes les manières possibles les diverses expressions
dont sont susceptibles les racines cubiques de 4 et de £.
On formera ainsi neuf valeurs de x, dont on tirera les facteurs suivans ,
[a A v'ecua 9! 9h inotiar gi x— Va V5, Ge COS Ke + Léa VF, ceVAaVR, eV 4er, so Aa Vr, z—sV A6 B, 2—sWA— VEsx— VAsV;
et si on les multiplie entre eux, on parviendra à un produit qui ne renfermera que des fonctions - symé- . triques des quantités « et 8. Ces fonctions s’obtiendront en cherchant, par les formules du n°15, les sommies
14 a+ 8°, 1 + «5 85 des puissances des racinés de l'équation LA —1—0O; mais ce calcul peut s effectuer d'une manière plus Simple, en faisant à chaque multiplication partielle les réductions qui se préséntent en vertu des équations 1+aæ+8—=o,a+8 + as —=o, «8 — 1, rapportées plus haut, et en observant que a? — 8 et 8° — a : l'opération étant finie, il ne restera aucun terme irrationnel. |
66. Il est facile de voir que le procédé Res cidessus n’est autre chose que l’élimination effectuée par un moyen analogue à celui du n° 10. En effet , ayant posé les équations à deux termes #—4=—0, if An d’où il résulte x—t—u—= 0, si l'on bath dans cette dernière , au lieu de w ét de t , toutes les valeurs que peuvent avoir ces inconnues, et qu'on multiplie entre eux les résultats, ils seront des fonctions symétriques des racines des équations #— 4 —0o, u° — B —=0o, et pourront par conséquent s'exprimer d’une manière rationnelle.
En commençant par éliminer £, ce qui se fera en multipliant entre elles les trois AE
ai nu bg Eh y His, qui résultent de la substitution des trois racines de l'équation #— 4 —0o, dans x—t—u==0, il viendra (x—uÿ— Æ A(x—u)+ à VÆ A2 ](x—u)—aBA—0, | —a V2 4 À VF Æ
2 V2 A Ja À | ce qui se réduit ë à |
(x — uÿ — À =
Mettant ensuite, au lieu de v , ses trois valeurs LT FE RUES VB, aVB, &VB, il viendra ;
al 0 Ce (VB) —A, (a—aV B)—A, (p—8V B)— 4; développant ces quantités , et faisant leur produit avec l'attention de réduire toujours les fonctions de # et de £, d'après les relations établies dans le.n° précédent, on retombera encore sur le même résultat.
Je ne rapporte point ici le calcul , qui serait assez long , et je n'ai un peu insisté sur la méthode, que parce qu’elle a l’avantage de faire voir à prior: à quel degré doit monter l'équation rationnelle dont on a la racine.
J'observerai que l'exemple ci-dessus peut encore être traité d'une manière beaucoup plus simple, ainsi qu’on l’a fait n° 30; car si l’on élève au cube les deux membres
CRAN EURE de l'équation x=V/4+yB, on aura 3 3 x A+5V AB+5V AB +R ; transposant dans le premier membre les termes 4 et B, il viendra » ; 3 ee -s 5 nee 2 x — A—B—3V 4B+53V AB; mais 3 8 MSN PER S FREX D nt V’ÆB+Y AB —=V AB(VA+LVB)=xV 45; donc PF jh.
L— A B—3xV AB; cubant les deux membres de cette équation , on aura (x° — À — BY — 27ABx, résultat rationnel facile à développer.
67. On peut, par ce qui précède , trouver le facteur par lequel une fonction irrationnelle proposée étant multipliée, il en résulte un produit délivré de radicaux, En effet , si l’on forme toutes les racines de l'équation d'où dépend l'expression irrationnelle proposée, leur produit, abstraction faite de son signe, étant égal au dernier terme de cette équation , sera rationnel; et par conséquent le produit de toutes celles qui sont différentes de la proposée, donnera le facteur demandé.
à 3 — 3 rt , Ayant, par exemple, x = V’ 4 +V/B, si on fait le produit des huit autres valeurs de +, ce produit sera tel,
NU air Sie ci 5 el qu'étant multiplié par W/Z+44/B, il en résultera une quantité rationnelle égale au dernier terme de l’équation finale en x, pris avec un signe contraire.
68: Euler ayant remarqué que dans les équations du deuxième et du troisième degré, sans es à igrme, les
racines étaient de la forme pes V4, Êe ÿ4 æ VF. conjectura que celles des équations du quatrième et du cinquième degré pourraient être représentées par
SAN MONA da 5.7 5 19 NETRSNNRR x=VA+VB+VC, x=V'A+VB+V CHVD;, et qu’en général la racine de l’équation du degré n serait de la forme
n n # » z c=VWA+VB+VC+VD+HVE + ete, le nombre des radicaux étant n —1.
Après ayoir mis ainsi en évidence dans chaque degré les radicaux de ce degré, il pensa que les quantités AB, Cy Diet, ne pouvaient renfermer que des mire d’ un Here inférieur, et ne dépendraient par cons équent que d'équations d'un degré inférieur à la
proposée; mais une observation plus attentive de la Forme des racines des équations du troisième et du quatrième degré , et la difficulté qu’il éprouva à former l'équation du cinquième, d’après la racine qu’il lui supposait , le déterminèrent à modifier la forme de cette racine. Il prit la loi suivante :
2° degré s= AV a
3° = AVi+BVE 11
4e = AV +IVE+ CV,
p° SVT EP +CVR+DV a,
et en général,
nu
Le LEZ
md À VabB VE+CVF+D Vat. + M V ur, les quantités 4, B, C, D.... M et u étant indéterminées.
Les formules ci-dessus contiennent implicitement toutes les racines de l'équation dont elles dépendent: Pour le troisième degré , par exemple, la racine cubique de w ayant trois expressions, savoir,
%/ ANS tt Sas Vu, aVu, BVu, son quarré en aura pareïllement trois, qui seront LS Le 10e Vu, &” Vus, EV/ui,
ten combinant chacune de ces valeurs avec sa corresondante, on formera les trois racines
ai qe CEA + EN dpi Le AV u+BVu, x—AaVu+ Be Vi,x=A8Y 1+Be V/u°:
lien n'est plus facile maintenant (8 et15) que de
138 | COMPLÉMENT remonter à l'équation d'où dérivent les racines ci-dessus, et on trouyera a — 3ABux — Au — Bu = En comparant cette résultante ayec x +pr+q=o, il vient p——34Bu, q=—Æ#u— Eu.
Comme il y a dans ces deux équations trois indéter-
minées, À, Bet u, on peut s’en donner une . volonté.
Euler a fait 4= —=1, ce qui donne B= — = Substi.
tuant dans l'expression de,g on obtient p°
g=—u+ et par conséquent ,
w+qu=E, d'où u=—1qEVEipÆlg sp +: F
De qg=— Au — Bu”, on tire PÉRREEe donc enfin AV =V=: VE p + Hi , BVE—\ TS
. Ces expressions donnent pour x, la valeur du n° 19. Au lieu de former l’équation
2x3 — 5ABux — Au— Biu® = 0
à priori , comme je l'ai indiqué ci-dessus , Euler.st
DES ÉLÉMENS D’ALGÈBRE, 139 sert d’un moyen qui peut être commode dans beaucoup d'occasions , pour reconnaître si une expression proposée est la racine d’une équation donnée. Il substitue dans l'équation x°+ px + q=—o, au lieu de æet dex°, les valeurs.
AVi+BV®, Gva+sVe }';
ce qui donne 3 Sir Au + 34*BuVu + 3AB'uyu° + Bèu° DES PAL hePAWu à pEWa-ha
Pour que la valeur 4 Va +2 VE convienne à tous les cas de l'équation x° + px + qg=—=0, il faut que
Fr 7 ci-dessus puisse avoir lieu , quand même Va u
et VE séraient des quantités irrationnelles différentes. Il suit de là que les termes rationnels doivent se détruire à part, ainsi que les termes irrationnels : on doit donc avoir séparément
A'u4-Bw+q—=o, 534°Bu+p4=0o, 3.4B°u+pB—o;
les deux dernières équations ne sont autres que. ... 3ABu + p —=0o, multipliéé d'abord par 4 et ensuite par B. Ce procédé conduit, comme on voit, au même résultat que le précédent.
69. Je ne suivrai point Euler dans les détails de T application de sa méthode au quatrième et au cin-quième degré ; je me bornerai à donner l'expression des racines, et pour cela, je ferai d'abord observer que celles de l'équation yf—1—o sont
Y—=1, Y——1, Y=+HV TT, y=—V —1.
L ; L'id En multipliant par ces valeurs la quantité V/u, on aura les quatre expressions dont elle est susceptible; formant ensuite leur Rte et leur gr on trouvera les diverses
expressions de VE et de Va et combinant ensemble les résultats fournis par une même valeur de y, on aura
af at, 4 AV BTBV EE TR Cp x = — AVi+BVE CV,
+ ve AV—1 Vu BV CV. Va x=— AV —i. WE BYE CEE L'équation dont on vient de former les racines étant obtenue, on la comparera à æt+ pr? + gx +r—= o!; et comme on n'aura encore que trois équations, a pourra prendre arbitrairement l’une des quatre indéterminées 4, B, C, u. Euler faitici B—:1, et parvient, par ce moyen, à une équation du troisième degré én 4; mais s’il eût fait u — 1, et qu'il eût voulu déterminer 2, il serait tombé sur une du sixième , et sur une du vingtquatrième, s’il avait cherché 4 ou C.
En HE an par 4, 8, y et À les quatre racines de l'équation yÿ°— 1 —0, autres que RER les cinq ex-
pressions de Vu seront 0e Es 1 D LR Vu, Vu, eva, Vu, Vu;
et en formant leurs puissances , on trouvera que les rar cines de l'équation du Fame degré seront +
Re Va BV a, ca + D, AeVa+ Bu Va + CV à + Da Vi,
mes
| DES ÉLÉMENS D ALGÈBRE. 141 x pate Ve + Va + DAV, gba ArVu + By Va + CAVE + DATE, = AV a+ BV ECS + DNV ui.
+ Pour former l'équation à laquelle appartiennent ces facines, Euler emploie le procédé du n° 9 ;mais, quoique bien sinplifé par cemoyen, le calcul est trop long pour ‘troùver place ici. (Voy. les Novi Comment. Acad. Pe- Hop, tom.IX , pag. 88.) | 7o. On peut aussi se servir du procédé indiqué dans le n° 66, pour former l'équation dont la racine Le
+= AY ü4D Vië+c VB+D Va. A MTV,
on fera Va u= y, et on aura à éliminer y entre les deux
Squations 1—U—O,
x = Ay+ By + CS + Dyf....+ My, L'équation finale ne montera qu'au degré n (10), et vaura point de second terme ; en la comparant terme À terme avec la formule générale Pari Ours + U—O, on obtiendra un nombre n =—1 d'équations ; et comme l'y entrera n indétérminées, 4, B,/C,.... u, on )ourra se donner une de ces indéterminées à volonté. Si ’on fait, par exemple, u—= 1, on tombe sur les deux iquations auxiliaires ; | | Y° 10.
ls, x —Ay+ By + cÿ LD + My", employées par Bézout dans la méthode qu'il a proposée pour résoudre les équations (Mém. de l sa à de Paris,
142: | COMPLÉMENT année 1765 , p. 533), et qui revient , ainsi qu'on le voit, à celle d'Euler.
Pour former, par l’une ou par l'autre des méthodes exposées ci-déssus ; l'équation dont on a la racine, on ne rencontre d'autre difficulté que la longueur des “1 culs ; mais lorsqu'on cherche à déterminer les quantités À, B, C,.:.u, par la comparaison du résultat.avec l'équation générale du degré n,.on tombe dans des calculs presque impraticables qui conduiraient à une équation finale, ou une réduite, dont le degré surpasserait de beaucoup celui de la première.
71. Il est visible que lorsqu'on prend une expression radicale qui ne contient pas autant d’indéterminées que l’équation générale du degré auquel elle se rapporte renferme de coefliciens, l’évanouissement des radicaux ne conduit qu’à une équation particulière; je vais.en donner un exemple. |
Soit seulement l’expression
L2 " | x=VA+VE ; l'équation qui la détermine s’obtiendrait bien par le dernier procédé du n° 66; mais on parvient plus aisément à la loi que suivent les termes de cette equation, en formant les valeurs des expressions
VAHVE, VAAHVR @e, | au moyen de cette relation générale, VAS +R (VÆ+VE) (va +V2) (VAS EV2S)V25,
fpalques à celle qui est désignée par (4) dans le n° 56.
Si l'on dr V4 +yF B par x, et qu'on fasse
DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 143 bail b, où aura la formule : ;
VA +V Br = ( VA Æ+V F). z —(V2S+ V2) VE, dont on tirera le tableau ci-dessous, - VA+ Bis nt 8) P VA+ VE = 2 524/5, VALVE 2 40/5 + VF, VALVE = a — 50/45 P,
r. elc. | Les coefliciens numériques compris dans ce tableau sont et doivent être les mêmes que ceux du tableau de
la page 118, et par conséquent une induction semblable
à celle qu'on a indiquée dans le n° 56, fera voir que
AV Dan on) 3) ami F
un m(m—4)(m—5) L spuro) V5 +- etc.
VIN 2-0 | Posant maintenant m—n et 44+B—&à;, on aura, à
cause de L<4 + /B"— A + B, l'équation, D Lans V 2 D) —3) tte, VE n° n(n—4)(n— 5) n-6 VE 55
PARLE LG - 7) yn 8 5 —
‘dont une racine ést
etc, 104;
LA
En la comparant avec les équations générales des 3; 4, 5°, etc. degrés, on reconnaîtra quelles sont les équations de ces divers degrés ayant une racine de la forme
VA+VE 1°. Quand n —3,ona
“REX a+ px +q—=0O, x—3xWb—a—=o;
il vient perse q=—4;, d'où M 'b= spi et comme on à fait Pt A+B—=a, AB—=b,.
A et D seront les racines de l'équation A+ qA— RP =
ce qui rentre dans les solutions du troisième 1e degré données n° 19 et 68.
