Quand 7—=4, on a

s+pe tante, D À PV A MN VA 2 on La' comparaison de!ces deux formules donne :

* #2 p==4Vb, qg — ©, = VD a, L’ équation g—0 est la condition qui restreint l’'équation proposée ; et lorsqu'elle a lieu, on trouve

b= spl, apr — A — (5p° —7) Ali ES l'équation du quatrième degré qu'on résout par ces for“ mules, est AU

xt + pr? + f—=0o.

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 145 39, DES EUR on a Le 25 + pat gare Hs = 0, où. — SA VB+ VF ao, d'où l'on déduit ;

sus, 1 D Must. Nas ct —54/b, :s—— a.

On retrouve dans ce degré la condition g —=0o, déjà

| exigée pour Île précédent; et les équations

p=—5 5, ea, VA donnent de plus, par l’élimination de b, cette relation entrep et r: D pr Dr:

Lorsqu'elle a lieu, ilen résulte

et l'équation résolue est. 1

| a + px° + ip°x +s—o.

Je me pousserai pas plus loin cet examen; mais je ferai remarquer ; 1°. que les quantités 4 et B étant données par. une équation de la forme

raie -A°—= aA +b=o,

la racine de l'équation proposée sera

= Via+Via—b+ Via Vie, résultat auquel on peut appliquer les réflexions du n° 29, et qui fait voir par conséquent que le cas irréductible a heu dans les équations des degrés supérieurs au troisième.

Compl. des Elém. d'Alg. x 10

n rm l 2, Que l'expression {/ 4+-4/ B donne en même temps toutes les racines de l’équation correspondante, lorsque l’on combine deux à deux les 7 valeurs dont

n n est susceptible chacune des quantités V4 et VB, de S g n manière que leur prodnit se réduise àÿ/ 4B ; c’est-à-dire

n LL que si l’on prend æÿ/ 4 et BV/B, on ait «8 — 1. Avec cette attention, on trouve (15) que les n valeurs de x sont

x y4 V4 ha VB, x = VA + a V’B, x = VA +asyE,

z= WA + ay (.

De quelques transformations qui conduisent à la résolution des équations des quatre premiers degrés.

72. Le nombre des moyens que les algébristes ont tentés pour résoudre les équations littérales, est trop grand pour entreprendre de les faire tous connaître ; il en est cependant encore deux que je vais exposer, parce qu’ils sont remarquables, soitpar la source dont

OR à + - ; , 7 E 7 ETAT LS

(*) Lorsqueles équations particulières queje considère ici tombent dans: le cas irréductrible, elles ont toutes leurs racines réelles et se rapportent à la division d’un arc de cercle en x parties égales, ce qui fourni un moyen très simple de les résoudre avée le secours des tables uigonométriques. Voyez mon Traité du, Caloul diffés rentiel.eë du Caloul integral,t. 1, Introduction. :

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. 147 ils dérivent , soit par leur simplicité : le premier est la méthode de Tschirnaus.

Cette méthode semble promettre la résolution des équations d'un degré quelconque, et. elle offre le moyen le plus naturel qu'on puisse désirer pour résoudre les équations du deuxième , du troisième et du quatrième degrés ; mais malgré son succès dans ces degrés, elle est inférieure à toutes les autres méthodes connues > par la longueur des calculs qu’elle entraîne : cependant , j'en vais tracer une esquisse, en fayeur de ceux qui veulent connaître toutes les richesses de l Analyse.

En faisant disparaître, par la supposition de. .... y—x+ 0, le second terme de l’équation Y'+Ly+ Q—o, on la réduit à la forme x°+ B—o , laquelle se résout sur-le-champ par l'extraction de la racine quarrée, et

donne x — y B. En effet, en substituant x + a à la place de y dans l'équation proposée, elle devient x? + oax + LE Pr Pa =

et, si l’on égale à zéro la pen 2a+-P, coefficient de x , elle se réduit à

m+a+Pa+Q=o, ce qui donne B=@+Pa+o; mais de 2a + P = és il résulte a—=—3P?, B=—;rP+o, et par conséquent, | = Vie ©, et y=a+z—=—}? HVIP—Q.

1481: : COMPLÉMENT 75. De même, si l’on pouvait faire disparaïtre le 2° et le 3° terme de l'équation Y+PY +Qy+R—0, la transformée, réduite à son premier et à son dernier terme, se résoudrait par la seule extraction de la racine En iel

La substitution de 4 a à.la place de y, dans une équation en y, n’est propre qu’à faire disparaître un seul terme , puisqu'elle n’introduit qu’une seule quantité indÉthinée a (*); maïs si, au lieu de l'équation hypothétique y—=2x + a, on CA ÿ=x+a+ by, on peut faire disparaître deux termes de l ‘équation en x, en déterminant convenablement les quantités a et b, sur lesquelles il n y a rien de statué par l'énoncé de la question.

Dans ce cas, l'équation en x n'est pas aussi aisée à former que lorsqu'on change seulement y en æ+a; mais cependant elle est encore du même degré que la proposée, comme on peut s’en assurer par le procédé d'élimination indiqué dans le n° 10; car si l’on désigne par æ, 8et les trois racines de l’équation

Y+Py +Qy+R—=o, d’après ce procédé, l'équation finale en x résultera du produit des trois quantités æ& — ba — (a + x), EU ER (a x), y — by — (a + x),

(*) Ceux qui n’ont pas encore l'habitude de l'Analyse croiraient peut-être gagner quelque chose , en supposant ÿ=æ#a+ b; mais s'ils font le calcul, ils se convainctont bientôt que la quantité a +b se comporte comme si elle-était monome, et qu’on ne peut pas déterminer séparément a et b, ni par conséquent faire évanouir plus d’un terme." |

DES ÉLÉMENS D'ALGÈBRE. +49 qui, nécessairement , ne passera pas le troisième degré; et après qu'on aura chassé les lettres «, 8 ety, comme il convient, on aura un résultat que l’on peut représenter par se

ax + Ax° + Bx +C—=o:

posant alors